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1、定定义义振动：振动：任何一个物理量在某一数值任何一个物理量在某一数值附近作周期性的变化，称为附近作周期性的变化，称为振动振动；机械振动：机械振动：物体在一定位置附近作物体在一定位置附近作来回来回 往复的运动，称为往复的运动，称为机械振动机械振动。简谐振动简谐振动 ；简谐振动合成；简谐振动合成；阻尼振动、受迫振动、共振。阻尼振动、受迫振动、共振。主主要要内内容容10.1 简谐运动简谐运动一、一、简谐运动简谐运动（Simple Harmonic Motion) 物体在一定位置附近的位移变化满足物体在一定位置附近的位移变化满足简谐函数形式，称为简谐函数形式，称为简谐运动简谐运动。弹簧振子弹簧振子 单
2、摆单摆 复摆复摆二、二、基本特征基本特征以弹簧振子为例以弹簧振子为例, 振子受力是振子受力是由牛顿第二定律得由牛顿第二定律得 物体受力和加速度与位移物体受力和加速度与位移 x 成正比成正比, , 且方向相反且方向相反（动力学特征）（动力学特征）式中式中: 上式可以改写为微分方程形式上式可以改写为微分方程形式其解为其解为式中式中A、是待定常数，此式称是待定常数，此式称为简谐为简谐运运动动的的运动运动方程方程。(称为称为角频率角频率） 位移位移 x 按余弦函数的规律随时间变化按余弦函数的规律随时间变化（运动学特征）运动学特征）三、三、简谐运动的速度与加速度简谐运动的速度与加速度速度速度：加速度加速
3、度： 位移位移x、速度速度、加速度加速度a三者与时间三者与时间t 的的关系关系如图所示如图所示。四、四、描述简谐振动的物理量描述简谐振动的物理量 2. 周期周期（Priod）1. 振幅振幅（Amplitude）离开平衡点的最大量值的绝对值。离开平衡点的最大量值的绝对值。给出振动量的变化幅度。给出振动量的变化幅度。注意注意：A、A、2A分分别别是位移、速度、是位移、速度、 加速度振幅。加速度振幅。 完成一次全振动所需的时间完成一次全振动所需的时间T，单位是单位是秒（秒（s）。）。表示表示：由运动方程由运动方程 简谐运动的周期是决定于系统自身的简谐运动的周期是决定于系统自身的常量，又称为常量，又称
4、为固有周期固有周期(natural neriod)。3. .频率频率（Frequency） 物体单位时间内做完全振动的次数称为物体单位时间内做完全振动的次数称为振动频率，单位是振动频率，单位是赫兹赫兹（HzHz）。）。表示表示: :由定义可知由定义可知式中式中是角是角频频率率, 单单位是位是rads-1 频率频率只与振只与振动动系系统统自身性有关自身性有关,也称也称为为固有固有频频率率(natural frequency) 。4. .相位与初相位相位与初相位(phase and initial phase ） 一是一是振动的周期性由相位来反映；振动的周期性由相位来反映； 二是二是相位确定了振动
5、物体运动状态。相位确定了振动物体运动状态。 t + 称称为为相位相位, , 称为初相位，称为初相位，单单位是位是rad 。1o 相位的意义是：相位的意义是： 2o 初相初相 ，由开始时刻振动物体的运动状，由开始时刻振动物体的运动状态决定态决定由运动方程可知：由运动方程可知：t = 0时刻时刻5. 相位差相位差( (phase fifference) ) 两个简两个简谐振动的相位之差称为谐振动的相位之差称为相位差相位差, 用用 表示表示 表示表示: 1o 反映两振动的步调情况：反映两振动的步调情况： =0（或或2整数倍整数倍)，同步振，同步振动动 =（或或奇数倍），振奇数倍），振动动步步调调相反
6、相反 0, x2振振动动超前超前; 0, x1振动超前振动超前2o 两振动到达同一状态的时间差是两振动到达同一状态的时间差是五、五、旋转矢量旋转矢量( (rotational vector) )在在 x 轴上的投影为轴上的投影为: :矢径矢径 A 与与 x 轴夹角为轴夹角为: :x = Acos( ( t+ + ) )( ( t + + ) )x参考圆参考圆 AA t+ ox tt = 0 xxpO旋转矢量旋转矢量10.2 简谐运动的能量简谐运动的能量以弹簧振子为例以弹簧振子为例:1o 动能与势能均为时间的函数，位相差为动能与势能均为时间的函数，位相差为/2，二者可以相互转化，总能量是与时间二
7、者可以相互转化，总能量是与时间 t 无关的恒量。无关的恒量。能量随时间变化能量随时间变化能量随空间变化能量随空间变化x2o考察一个周期内的动能与势能平均值考察一个周期内的动能与势能平均值 在一个周期内的平均动能与平均势能相在一个周期内的平均动能与平均势能相等，各是总能量的一半。等，各是总能量的一半。10.3 简谐运动的合成简谐运动的合成一、一、同频率同方向简谐振动合成同频率同方向简谐振动合成合振动位移合振动位移 x 就是就是 x1 与与 x2 的代数和的代数和特点特点: 1=2= , x1 / x2表示表示: 对如下两个振动对如下两个振动 合成结果为频率合成结果为频率 为为 的简谐振动的简谐振
8、动 1 1 2 2 x x2 2x x2 2x x1 1x xMM2 2MM1 1MMA AA A1 1A A2 2P P x xO O 由旋转矢量法得出由旋转矢量法得出 A、是：是：则：则：则：则：x1 x2 xt合振幅最大合振幅最大合振幅最小合振幅最小x1 x2 xt当当A1=A2时：时：合振幅最小值是合振幅最小值是0 0。合振幅最大值是合振幅最大值是2A1 ；则则A在上述两者之间。在上述两者之间。二、相互垂直同频率二、相互垂直同频率简谐振动的合成简谐振动的合成特点特点: 1=2= , 对如下两个振动对如下两个振动合成得到质点的轨迹方程是合成得到质点的轨迹方程是质点沿质点沿1、3(2、4）
9、象限直线作）象限直线作简简谐振动。谐振动。 = 0yx = yx = 3 /2 = 5 /4 = /2 = /4PQ质点轨迹正椭圆质点轨迹正椭圆质点轨迹是任意形质点轨迹是任意形状椭圆。状椭圆。10.5 阻尼振动阻尼振动 受迫振动受迫振动 共振共振一、阻尼振动（一、阻尼振动（damped vibration）振幅随时间减小的振动称为振幅随时间减小的振动称为阻尼振动阻尼振动。1. 阻尼模型阻尼模型摩擦阻尼：摩擦阻尼：摩擦阻力使振动系统能量逐渐转化为摩擦阻力使振动系统能量逐渐转化为摩擦阻力使振动系统能量逐渐转化为摩擦阻力使振动系统能量逐渐转化为热能热能热能热能辐射阻尼：辐射阻尼：振动系统引起临近质点
10、的振动，使系振动系统引起临近质点的振动，使系振动系统引起临近质点的振动，使系振动系统引起临近质点的振动，使系统能量逐渐向四周辐射统能量逐渐向四周辐射统能量逐渐向四周辐射统能量逐渐向四周辐射阻尼阻尼模型模型 称为称为阻尼系数阻尼系数条件：条件：适用于适用于物体低速运物体低速运动情况情况2. 阻尼振动方程阻尼振动方程以以弹簧簧振子振子为例例阻尼振阻尼振动微分方程微分方程或写为或写为定义固有角频率定义固有角频率0和阻尼因子和阻尼因子，有有通解：通解：（1）欠阻尼振动）欠阻尼振动令令A 与与 由初始条件确定由初始条件确定方程的解可写成方程的解可写成3. 三种阻尼形式三种阻尼形式txoT这时是准周期性振
11、动这时是准周期性振动:由通解由通解 两项都衰减，不是两项都衰减，不是周期振动，周期振动，不能往复不能往复运运动。如单摆放在粘滞的油筒中摆如单摆放在粘滞的油筒中摆到平衡位置须很长时间。到平衡位置须很长时间。（2）过阻尼振动）过阻尼振动（3）临界阻尼振动）临界阻尼振动方程方程解解 衰减函数衰减函数 临界阻尼达到平衡位界阻尼达到平衡位置的置的时间最短，但仍不最短，但仍不能超能超过平衡位置。平衡位置。三种阻尼振动比较三种阻尼振动比较过阻尼阻尼临界阻尼界阻尼欠阻尼欠阻尼欠阻尼欠阻尼过阻尼过阻尼 临界阻尼临界阻尼弹性力性力阻尼力阻尼力驱驱动力力二、受迫振动（二、受迫振动（forced vibration）
12、 物体在周期性外力持续作用下发生振物体在周期性外力持续作用下发生振动，称为动，称为受迫振动受迫振动，这个外力称为，这个外力称为驱动力驱动力以以弹簧簧振子为例，振子受力有振子为例，振子受力有则运动方程是则运动方程是式中式中受迫振受迫振动方程方程的解为的解为此式表明：此式表明： 第一第一项为阻尼振阻尼振动项，当，当时间较长时衰衰减减为0。第二第二项为驱驱动力力产生的生的简谐运动简谐运动。当系统达到稳定状态后，方程的解是当系统达到稳定状态后，方程的解是稳定的受迫振动是一个与驱动力同频率的稳定的受迫振动是一个与驱动力同频率的余弦振动，其振幅和初相是余弦振动，其振幅和初相是小阻尼小阻尼大阻尼大阻尼阻尼阻
13、尼0二、共振二、共振（resonance） 当驱动力频率接近或等于系统固有频当驱动力频率接近或等于系统固有频率时，受迫振动振幅急剧达到最大值的现率时，受迫振动振幅急剧达到最大值的现象称为象称为共振共振，其频率称为，其频率称为共振频率共振频率。由表达式由表达式利用关系利用关系小阻尼小阻尼大阻尼大阻尼阻尼阻尼0 共振频率与系统自身共振频率与系统自身性质和阻尼常数有关。性质和阻尼常数有关。相应的相应的最大振幅最大振幅和和共振频率共振频率是是小阻尼小阻尼大阻尼大阻尼阻尼阻尼0共振危害；共振危害； 共振利用。共振利用。振子共振振子共振 鱼洗鱼洗共振现象共振现象3 证明：在小角度下单摆作简谐运动。证明：在
14、小角度下单摆作简谐运动。mgFT0证明证明:1、细线质量不计、细线质量不计3、阻力不计、阻力不计约约定定质点重力矩：质点重力矩：质点动量矩：质点动量矩：由动量矩定理由动量矩定理mgFT0方程的解是：方程的解是：其中，单摆的周期是其中，单摆的周期是 1. 、 的确定：的确定：2. (结合周期T,结合旋转矢量法) ：3.振动方程：振动方程：4.振动合成：振动合成：5.振动能量：振动能量：1 一水平弹簧振子做简谐振动，振幅一水平弹簧振子做简谐振动，振幅A=4A=4 1010-2-2m m，周期周期T=2sT=2s，t=0t=0时，时，试分别写出这两种情况下的振动方程。试分别写出这两种情况下的振动方程
15、。解：解：1 由初始条件由初始条件1 1 ，且向负方向运动；，且向负方向运动；2 2 ，且向正方向运动；，且向正方向运动；2同理：同理： 说明说明：利用旋转矢量法可以更方便求解初利用旋转矢量法可以更方便求解初始相位。始相位。v0 0x0A/2-A/2如图：如图： 已知一简谐振动曲线已知一简谐振动曲线,求振动方程求振动方程.2解解: 由图可知由图可知xv0 00A/2t=5, x=0: 635 一质点作简谐振动，其振动方程一质点作简谐振动，其振动方程 （SI），试用旋转矢量法求出），试用旋转矢量法求出质点由初始状态（质点由初始状态（t=0的状态）运动到的状态）运动到x=-0.12， 0的状态所需
16、最短时间的状态所需最短时间t。 3解解: :由振动方程可知由振动方程可知t = 0tArw32p3p00 . 1 20 . 2 4- 0 . 1 2- 0 . 2 4x 一质点沿一质点沿x轴作简谐振动，其圆频率轴作简谐振动，其圆频率 ，试写出以下初始状态下的振动方程：其初始位移，试写出以下初始状态下的振动方程：其初始位移 ，初始速度，初始速度4解：解：设振动方程为：设振动方程为： 位移是振幅一半时位移是振幅一半时, , 动能和势能各动能和势能各是总能量的多少是总能量的多少? ?在什么位置动能和势能各在什么位置动能和势能各是总能量的一半是总能量的一半? ?5解：解：（1）x = A/2代入代入
17、中中（2）6 弹簧振子沿弹簧振子沿x x轴做简谐振动，其振动轴做简谐振动，其振动的最大位移的最大位移xm=0.3m，最大恢复最大恢复Fm=1.2N，最大速度最大速度 m=1.2 ms-1。t=0时刻的初位移时刻的初位移是是 , ,且方向同且方向同x轴正方向一致。轴正方向一致。求求:1:1振动能量振动能量; 2; 2振动方程振动方程. .解解:1:12 由初始条件由初始条件一弹簧振子沿一弹簧振子沿x x轴做简谐振动，已知其振动的最大位移轴做简谐振动，已知其振动的最大位移xm=0.3=0.3m m，最大恢复力最大恢复力F Fm m=1.2N=1.2N，最大速度最大速度 m m=1.2=1.2 ms
18、-1. .当当t=0t=0时的初位时的初位移移 , ,且方向同且方向同x轴正方向一致轴正方向一致. .求求:1:1振动能量振动能量; 2; 2振振动方程动方程. .xv0 007求：全振动表达式。求：全振动表达式。 一物体同时参与同一直线上的两个一物体同时参与同一直线上的两个简谐振动，其方程分别为：（简谐振动，其方程分别为：（SI）解：解：直接考察两个振动位相差：直接考察两个振动位相差： 一质点在一质点在x轴做谐振动，周期为轴做谐振动，周期为T，当质点从当质点从A/2处运动到处运动到 A处时经历的最短处时经历的最短时间为时间为 A （A） T/12 （B）T/6 （C）T/8（D） T/24
19、8解：解：x0 一质点沿一质点沿x轴作简谐振动，振动方程轴作简谐振动，振动方程 为为(SI)，从，从t=0时刻起，到时刻起，到质点位置在质点位置在x=-2cm处，且向处，且向x轴正方向运动轴正方向运动的最短时间间隔为的最短时间间隔为 C s。 （A） 1/8 （B）1/4 （C）1/2 （D） 1/6 9解：解：x0 一质点同时参与两个在同一直线上的一质点同时参与两个在同一直线上的谐振动，其振动方程分别为谐振动，其振动方程分别为 ， cm，则关于合振动有结论，则关于合振动有结论 B 。 （A）振幅等于）振幅等于1cm，初相等于，初相等于 ； （B）振幅等于）振幅等于1cm，初相等于，初相等于 ； （C）振幅等于）振幅等于7cm，初相等于，初相等于 ； （D）振幅等于）振幅等于1cm，初相等于，初相等于 。 100x 一物体质量为一物体质量为0.25kg，在弹性力作用，在弹性力作用下作简谐振动，弹簧的倔强系数下作简谐振动，弹簧的倔强系数k25 ，如果起始振动时具有势能，如果起始振动时具有势能0.06J和动能和动能0.02J，求（，求（1）振幅；（）振幅；（2）动能恰等于势）动能恰等于势能时的位移；（能时的位移；（3）经过平衡位置时物体的）经过平衡位置时物体的速度。速度。作业作业11
