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1、1 第 3 讲 中值定理 导数的应用练习题 1、验证下列函数在指定区间满足罗尔定理的条件,并找出所有满足罗尔定理结论的: (1)3( )f xxx ,-1,1 ; (2)xxxf3)( , 0,3. 2、验证下列函数在指定区间满足拉格朗日中值定理的条件,并找出所有满足结论的: (1)2( )1f xx , 0,3 ; (2)xxfln)( , 1,2. 3、应用拉格朗日中值定理,证明下列不等式: (1)xxxx1ln)1ln(11(0x ); (2)22arctanarctan11babababa(ab). 4、证明 ) 1 , 1(,2arccosarcsinxxx. 5、求下列极限: (1
2、)6411lim1xxx ; (2)201limxxexx ; (3)0limsinxxxeex ; (4)ln(1)lim5xxex; 2 (5)0limlnxxx; (6))ln11(limxxxx; (7)sin0limxxx ; (8)lim1xxxx; 6、设)(/xf连续,试用洛必达法则证明: /20()2 ( )()lim( )hf xhf xf xhfxh 7、求下列函数的单调区间: (1)3( )1f xxx ; (2)( )xf xxe. 8、利用函数单调性证明:对任意), 0( x ,有 )1ln(xx. 9、求下列函数的极值: (1)32( )2f xxxx; (2))
3、20( ,sin2)(xxxxf; 10、应用二阶导数确定下列函数的极值: (1)xxyln ; (2)32(5)yxx (16x). 3 11、求下列函数在指定区间上的最值: (1),1)(xxxf 0,1; (2)2ln(1)yx, -1,2; 12、欲做一个底为正方形,容积为 108 立方米的长方体开口容积,怎样做法所用材料最省. 13、欲用围墙围成面积为 216 平方米的一块矩形土地,并在正中用一堵墙将其隔成两块,问这块土地的长和宽选取多大的尺寸,才能使所用建筑材料最省. 14、确定下列函数的凹向和拐点: (1)432( )124850f xxxx ; (2)2( )ln(1)f xx. 15、求下列曲线的渐近线: (1)xxf11)( ; (2)xxyarctan . 16、设某商品的总成本函数为QQQc22513125)(,需求函数为 Q=60-2P,其中 p 为商品的单价,试求(1)平均成本、边际平均成本;(2)边际成本、边际收入、边际利润. 17、某地区的小麦产量 y 与化肥的投入量 x 有如下的函数关系 xxy25360150,求:(1)当 x = 20,x = 70 时的边际产量;(2)当 x = 20,x = 70 时的产量的弹性.