《线性代数(同济五版)第五章第三节.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性代数(同济五版)第五章第三节.ppt（23页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第第四四节节 对称矩阵的对角化对称矩阵的对角化实对称方阵的特征值与特征向量实对称方阵的特征值与特征向量实对称矩阵的正交相似对角化实对称矩阵的正交相似对角化第五章第五章 相似矩阵及二次型相似矩阵及二次型一、实对称矩阵的特征值与特征向量的性质一、实对称矩阵的特征值与特征向量的性质 定理定理5 5 实对称矩阵的特征值一定为实数；实对称矩阵的特征值一定为实数；定理定理6 6 实对称矩阵对应于不同特征值的特征向量必相互实对称矩阵对应于不同特征值的特征向量必相互正交正交；设设1, 2是实对称矩阵是实对称矩阵A的两个特征值的两个特征值, , 【证明证明】是分别对应于是分别对应于1, 2的特征向量的特征向量，
2、 则则=因因A对称，对称，且且即即故故即即 与与 正交正交. 定理定理7 7设设A为为n阶实对称矩阵，阶实对称矩阵， 则必存在则必存在n 阶正交矩阵阶正交矩阵P , 使得使得其中其中 是是A的的n个个特征值特征值. .二、实对称矩阵的正交相似对角化二、实对称矩阵的正交相似对角化 推推论论: :设设A为为n阶阶实实对对称称矩矩阵阵, ,是是A的的特特征征方方程程的的r重重根根，则则矩矩阵阵A- -E的的秩秩R(A- -E)=n-r；从从而而对对应应特特征征值值恰恰有有r个个线线性性无无关的特征向量关的特征向量v1、求实对称矩阵求实对称矩阵A的全部特征值的全部特征值, ,即求解特征方程即求解特征方
3、程的全部根；的全部根；事实上事实上, ,做完这一步做完这一步, ,就已经求出就已经求出A的相的相似对角阵似对角阵. .v2、将每一个特征值分别代入将每一个特征值分别代入 求求出出基础解系基础解系, ,将基础解系正交规范化；将基础解系正交规范化；v3、做正交矩阵做正交矩阵P;v4、下面下面, , 给出对称阵给出对称阵A对角化的步骤对角化的步骤 例例1 1设设求一个正交矩阵求一个正交矩阵P,使使P-1AP为对角阵为对角阵. . 解解(1)求特征值求特征值故得特征值故得特征值 (2)求出基础解系求出基础解系特征向量特征向量当当 时时, , 由由得得基础解系基础解系当当 时，由时，由得基础解系得基础解
4、系将基础解系正交规范化；将基础解系正交规范化；将将 正交化得正交化得 再将再将 单位化得单位化得 再将再将 单位化得单位化得 (3)做正交矩阵做正交矩阵P(4)对角阵对角阵做题做题中中注意几个问题注意几个问题实实对称阵的重特征值对应的特征向量有对称阵的重特征值对应的特征向量有 多种取法，故这里的可逆矩阵不唯一。多种取法，故这里的可逆矩阵不唯一。由于实对称阵的不同特征值对应的特征向由于实对称阵的不同特征值对应的特征向 量是相互正交的，在计算过程中应作为检量是相互正交的，在计算过程中应作为检 查的内容，看是否计算正确。查的内容，看是否计算正确。对于重特征值，需将其对应的两个线性无对于重特征值，需将
5、其对应的两个线性无 关的特征向量进行正交，正交化后的向量关的特征向量进行正交，正交化后的向量 仍是特征向量。仍是特征向量。例例2 2 设矩阵设矩阵A是是3阶实对称阵，阶实对称阵， A的特征值为的特征值为 1,2,2, 与与都是矩阵都是矩阵A的属于特征值的属于特征值2的特征向量的特征向量. . 求求A的属于特征值的属于特征值1的特征向量，并求矩阵的特征向量，并求矩阵A. . 解解 设设 为为A的属于特征值的属于特征值1 1的特征向量的特征向量. 由由题意可知题意可知与与 均与均与 正交正交， 即即 =0, =0， 解得解得第第五五节节 二次型二次型及其标准形及其标准形二次型的定义及其矩阵化二次型
6、为标准形第五章第五章 相似矩阵及二次型相似矩阵及二次型1 1、定义、定义注：注：称为称为n元二次型元二次型，简称，简称二次型二次型. .即形如即形如一、二次型的定义及其矩阵一、二次型的定义及其矩阵的二次齐次函数的二次齐次函数含有含有n个变量个变量二次型的标准形二次型的标准形ki为为1、-1、0时为时为规范形规范形.2 2、二次型的矩阵表示、二次型的矩阵表示令令于是于是可写成可写成记记则二次型可记作则二次型可记作说明：说明： 例例1 1 已知二次型已知二次型写出二次型的矩阵写出二次型的矩阵A，并求出二次型的秩并求出二次型的秩. .解解则则R(A)=3，即二次型的秩为即二次型的秩为3.3.初等初等
7、行变换行变换二二、化二次型为标准形、化二次型为标准形解解【例例2 2】对对于于二二次次型型f =xTAx，主主要要问问题题是是：寻寻求求一一个个可可逆逆的的线线性性变变换换 将二次型将二次型f =xTAx化为标准形化为标准形, ,即即用用矩阵表示即为矩阵表示即为也就是要使也就是要使CTAC成为对角阵。成为对角阵。因此，我们的主要问题就是：因此，我们的主要问题就是：对于给定的实对称矩阵对于给定的实对称矩阵A，寻求可逆矩阵寻求可逆矩阵C，使，使CTAC成为对角阵成为对角阵.对给定的对给定的n阶实对称矩阵阶实对称矩阵A，必存在必存在n 阶正交矩阵阶正交矩阵P ,使得使得设给定两个设给定两个n阶方阵阶
8、方阵A和和B，如果存在可逆矩阵如果存在可逆矩阵C，使得，使得则称矩阵则称矩阵A与矩阵与矩阵B合同，或合同，或A、B是是合同矩阵合同矩阵. .说明：说明：(1)(1)矩阵矩阵C必须可逆必须可逆1 1、定义、定义(4)(4)随着随着C的不同，与矩阵的不同，与矩阵A合同的矩阵也不相同，即合同的矩阵也不相同，即合同矩阵不唯一合同矩阵不唯一(2) 合同矩阵有相同的秩。合同矩阵有相同的秩。(3) 任意实对称矩阵都与对角阵合同。任意实对称矩阵都与对角阵合同。结论结论任给可逆矩阵任给可逆矩阵 C , 令令 B=CTAC，若若 A 为对称矩阵，为对称矩阵，则则 B 也为对称矩阵，且也为对称矩阵，且 R(B) =
9、 R(A).定理定理8 8推论推论用正交变换法化二次型为标准形的基本步骤：用正交变换法化二次型为标准形的基本步骤：3、求对应于各个特征值的、求对应于各个特征值的n个规范正交的特征向量个规范正交的特征向量. .4、求正交变换矩阵、求正交变换矩阵P(注意列向量的排列顺序注意列向量的排列顺序, ,矩阵矩阵P不唯一）不唯一）1、写出二次型的矩阵；、写出二次型的矩阵；【例例3 3】2 2、求、求A特征值特征值【解解】3 3、求、求3 3个标准正交的特征向量个标准正交的特征向量得基础解系得基础解系单位化单位化得得基础解系基础解系将将 正交化得正交化得 则则若化为规范形怎么处理？若化为规范形怎么处理？v 实
10、对称矩阵的特征值与特征向量的性质实对称矩阵的特征值与特征向量的性质v 实对称矩阵的正交相似对角化问题实对称矩阵的正交相似对角化问题.(1)实对称矩阵对应于不同特征值的特征向量必相互正交；实对称矩阵对应于不同特征值的特征向量必相互正交；（2）设设A为为n阶阶实实对对称称矩矩阵阵, ,是是A的的特特征征方方程程的的r重重根根，则则矩矩阵阵A- -E的的秩秩R(A- -E)=n-r；从从而而对对应应特特征征值值恰恰有有r个个线线性性无无关的特征向量关的特征向量. .n阶实对称矩阵阶实对称矩阵A，必与对角阵必与对角阵 相似，其中相似，其中 是是A的的n个个特征值特征值. .实对称矩阵实对称矩阵A，不但存在可逆的相似变换矩阵不但存在可逆的相似变换矩阵P ，且一定存在且一定存在正交的相似变换矩阵正交的相似变换矩阵P ，使，使P -1 A P= .本次课小结本次课小结
