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1、第第5章回归模型的函数形式章回归模型的函数形式Essentials of Econometrics回归模型的函数形式回归模型的函数形式第第5章章9-2本章讨论以下几种形式的回归模型本章讨论以下几种形式的回归模型 (1) 双对数线性模型或不变弹性模型双对数线性模型或不变弹性模型 (2) 半对数模型半对数模型 (3) 倒数模型倒数模型 (4) 多项式回归模型多项式回归模型 (5) 过原点的回归模型，或零截距模型过原点的回归模型，或零截距模型9-35.1 如何度量弹性：双对数模型如何度量弹性：双对数模型 回顾数学回顾数学S.A.T函数一例，建立了家庭收入函数一例，建立了家庭收入(x)与与数学数学S.
2、A.T成绩成绩(Y)的双变量线性回归模型：的双变量线性回归模型： 对对于于变变量量之之间间是是线线性性的的模模型型来来说说，解解释释变变量量每每变变动一个单位，应变量的变化率为一常数。动一个单位，应变量的变化率为一常数。9-45.1 如何度量弹性：双对数模型如何度量弹性：双对数模型u能否使用如下的指数形式来描述数学能否使用如下的指数形式来描述数学S.A.T成绩成绩(Y)与家庭收入与家庭收入(X)的关系呢的关系呢? 两边求对数：两边求对数： 令令9-55.1 如何度量弹性：双对数模型如何度量弹性：双对数模型n得到模型得到模型-“双对数线性模型双对数线性模型”问题：这样一个非线性模型是如何通过适当
3、变换成为问题：这样一个非线性模型是如何通过适当变换成为 线性模型的呢？线性模型的呢？n下面进行对数变换，令下面进行对数变换，令 9-65.1 如何度量弹性：双对数模型如何度量弹性：双对数模型 双对数模型中斜率双对数模型中斜率 的经济意义：的经济意义： 在双对数模型中，在双对数模型中，X变化变化1%引起引起Y变化变化 %9-75.1 如何度量弹性：双对数模型如何度量弹性：双对数模型n双对数线性模型的特点双对数线性模型的特点-不变弹性模型不变弹性模型n定义弹性定义弹性E为：为：9-85.1 如何度量弹性：双对数模型如何度量弹性：双对数模型图图5-1 不变弹性模型不变弹性模型9-95.1 如何度量弹
4、性：双对数模型如何度量弹性：双对数模型例例5.1 数学数学S.A.T分数函数分数函数9-105.1 如何度量弹性：双对数模型如何度量弹性：双对数模型数学数学S.A.T分数函数取对数后的分数函数取对数后的Excel数据数据9-115.1 如何度量弹性：双对数模型如何度量弹性：双对数模型数学数学S.A.T分数函数取对数后的分数函数取对数后的Eviews数据数据9-125.1 如何度量弹性：双对数模型如何度量弹性：双对数模型图图5-2数学数学S.A.T分数的双对数模型散点图分数的双对数模型散点图 9-135.1 如何度量弹性：双对数模型如何度量弹性：双对数模型数学数学S.A.T分数函数取对数后的回归
5、过程分数函数取对数后的回归过程9-145.1 如何度量弹性：双对数模型如何度量弹性：双对数模型数学数学S.A.T分数函数取对数后的回归结果分数函数取对数后的回归结果9-155.1 如何度量弹性：双对数模型如何度量弹性：双对数模型 就就假假设设检检验验而而言言，线线性性模模型型与与对对数数线线性性模模型型并并没没有有什什么么不不同同。在在随随机机误误差差项项服服从从正正态态分分布布(均均值值为为0，方方差差为为 )的的假假定定下下，每每一一个个估估计计的的回回归归系系数数均均服服从从正正态态分分布布。或或者者，如如果果用用 的的无无偏偏估估计计量量代代替替它它，则则每每一一个个估估计计的的回回归
6、归系系数数服服从从自自由由度度为为(nk)的的t分分布布，其其中中k为为包括截距在内的参数的个数。包括截距在内的参数的个数。双对数线性模型的假设检验双对数线性模型的假设检验9-165.2 比较线性和双对数回归模型比较线性和双对数回归模型n回归模型的函数形式成为一个经验性问题。回归模型的函数形式成为一个经验性问题。在模型选择过程中，要遵循哪些经验规律呢在模型选择过程中，要遵循哪些经验规律呢？ 9-175.2 比较线性和双对数回归模型比较线性和双对数回归模型9-185.2 比较线性和双对数回归模型比较线性和双对数回归模型 = 432.4138+0.0013XiSe= (16.9061)(0.000
7、245) t= (25.5774)(0.0006) r2=0.7869P值=（5.85*10-9）（0.0006） d.f.=89-195.2 比较线性和双对数回归模型比较线性和双对数回归模型n如何来选择模型如何来选择模型如何来选择模型如何来选择模型 规规律律之之一一是是根根据据数数据据作作图图。如如果果散散点点图图表表明明两两个个变变量量之之间间的的关关系系近近似似线线性性的的(也也即即是是一一条直线条直线)，那么假定模型是线性的就比较合适。，那么假定模型是线性的就比较合适。 但但如如果果散散点点图图表表明明变变量量之之间间的的关关系系是是非非线线性性的的，则则需需要要作作logY对对log
8、X的的图图形形，如如果果这这个个图图形形表表明明它它们们之之间间是是近近似似线线性性的的，则则假假定定模模型型是是对对数数线线性性模模型型就就比比较较合合适适。(只只适适用用于于双变量的情况双变量的情况)9-205.2 比较线性和双对数回归模型比较线性和双对数回归模型n能否用判定系数R2来选择模型? 如果两个模型的被解释变量形式是相同的如果两个模型的被解释变量形式是相同的,可用可用 作作为选择标准。为选择标准。 但下列两模型但下列两模型, 度量的意义不同度量的意义不同不能根据最高不能根据最高 值这一标准值这一标准(high value criterion)来来选择模型选择模型9-215.2 比
9、较线性和双对数回归模型比较线性和双对数回归模型 对对线线性性模模型型而而言言，其其弹弹性性系系数数随随着着需需求求曲曲线线上上的的点点的的不不同同而而变变化化，而而对对双双对对数数模模型型而而言言，它它在在需需求求曲曲线线上上任任何何一一点点的的弹弹性性系系数数都都是是相相同同的的。因因此此，在在这这两两类类模模型型之之间间进进行行选选择择模模型型时时，我们可以根据这个特点作出判断。我们可以根据这个特点作出判断。9-225.2 比较线性和双对数回归模型比较线性和双对数回归模型9-235.2 比较线性和双对数回归模型比较线性和双对数回归模型根据上表，我们知道根据上表，我们知道数学数学S.A.T分
10、数函数分数函数9-245.3 多元对数线性回归模型多元对数线性回归模型假设建立如下随机多元指数模型：假设建立如下随机多元指数模型：通过对原模型的对数变换，随机函数形式可变为：通过对原模型的对数变换，随机函数形式可变为： 令变量令变量 ， 则回归函数可变为：则回归函数可变为：根据解释变量的观测值，进行根据解释变量的观测值，进行OLS估计，得到：估计，得到：因此可得到原模型的估计方程：因此可得到原模型的估计方程：9-255.3 多元对数线性回归模型多元对数线性回归模型 偏偏斜斜率率系系数数 B2、 B3又又称称为为偏偏弹弹性性系系数数, B2是是Y对对X2的的弹弹性性(X3保保持持不不变变,为为一
11、一常常量量)， X2每每变变动动1%，Y变动的百分比。变动的百分比。 同同样样, B3是是Y对对X3的的弹弹性性(X2保保持持不不变变,为为一一常常量量) ，X3每变动每变动1%，Y变动的百分比。变动的百分比。9-265.3 多元对数线性回归模型多元对数线性回归模型n例例5-2 柯布柯布-道格拉斯生产函数（道格拉斯生产函数（C-D函数）函数）其中，其中， Y-表示产出，表示产出， L-表示劳动投入，表示劳动投入， K-表示资本投入。表示资本投入。两边取对数后两边取对数后:得到原模型的估计方程：得到原模型的估计方程：因此，因此，C-D 函数的估计形式为：函数的估计形式为：9-275.3 多元对数
12、线性回归模型多元对数线性回归模型例例5-2 excel原始数据表原始数据表9-285.3 多元对数线性回归模型多元对数线性回归模型例例5-2 取对数后取对数后Eviews数据表数据表9-295.3 多元对数线性回归模型多元对数线性回归模型例例5-2 C-D函数函数Eviews回归过程回归过程9-305.3 多元对数线性回归模型多元对数线性回归模型例例5-2 C-D函数函数Eviews回归结果回归结果9-315.3 多元对数线性回归模型多元对数线性回归模型表表5-3 OECD国家的能源需求（国家的能源需求（1960-1982）例例 5-3 OECD国家的能源需求（国家的能源需求（1960-198
13、2）9-325.3 多元对数线性回归模型多元对数线性回归模型9-335.3 多元对数线性回归模型多元对数线性回归模型9-345.4 如何测度增长率：半对数模型如何测度增长率：半对数模型 通通常常经经济济学学家家、工工商商业业家家和和政政府府对对某某一一经经济济变变量量的的增增长长率率很很感感兴兴趣趣。比比如如说说，政政府府预预算算赤赤字字规规划划就就是是根根据据预预计计的的GNPGNP增增长长率率这这一一最最重重要要的的经经济济活活动动指指标标而而确确定定的的。类类似似地地，联联储储根根据据未未偿偿付付消消费费者者信信贷贷的的增增长长率率( (自自动动贷贷款款、分分期期偿偿还还贷贷款款等等等等
14、) )这这一一指标来监视其货币政策的运行效果。指标来监视其货币政策的运行效果。9-355.4 如何测度增长率：半对数模型如何测度增长率：半对数模型测度增长率的方法两边求对数：两边求对数： 引入误差项引入误差项称为半对数模型称为半对数模型9-365.4 如何测度增长率：半对数模型如何测度增长率：半对数模型在对数线性模型中，在对数线性模型中，X变化一个单位（变化一个单位（ =1）引起引起Y的变化为的变化为100* %对数对数-线性模型中斜率线性模型中斜率 的经济意义：的经济意义： 9-375.4 如何测度增长率：半对数模型如何测度增长率：半对数模型 9-385.4 如何测度增长率：半对数模型如何测
15、度增长率：半对数模型 例例5-4 1975-2007年美国人口取对数的数据年美国人口取对数的数据9-395.4 如何测度增长率：半对数模型如何测度增长率：半对数模型 例例5-4 1975-2007年美国人口取对数后对时间的散点图年美国人口取对数后对时间的散点图图图5-3 半对数模型半对数模型9-405.4 如何测度增长率：半对数模型如何测度增长率：半对数模型 例例5-4 1975-2007年美国人口取对数后对时间的回归结果年美国人口取对数后对时间的回归结果9-415.4 如何测度增长率：半对数模型如何测度增长率：半对数模型n斜率斜率0.0107表示表示:平均而言，平均而言，lnY的相对变化率为
16、的相对变化率为0.0107, Y的年增长率为的年增长率为1.07%。n 因此，半对数模型又被称为因此，半对数模型又被称为增长模型，增长模型，通常用此通常用此模型来测量许多变量的增长率。模型来测量许多变量的增长率。n对截距对截距5.3593解释如下：解释如下： 9-425.4 如何测度增长率：半对数模型如何测度增长率：半对数模型5.4.1 瞬时增长率与复合增长率瞬时增长率与复合增长率 1. 根据半对数模型求的：根据半对数模型求的：lnY的相对变化率为的相对变化率为0.0107，Y的年增长率为的年增长率为1.07%。 2. 由于由于 b2 = B2 的估计值的估计值=ln(1+r) 所以所以 an
17、tilog(b2)=（1+r) r=antilog(b2)-1 =antilog(0.0107)-1=1.0108-1 =0.010757 在样本区间内在样本区间内,美国人口年复合增长率为美国人口年复合增长率为1.0757%. 3.两增长率的区别两增长率的区别9-435.4 如何测度增长率：半对数模型如何测度增长率：半对数模型5.4.2 线性趋势模型线性趋势模型9-445.4 如何测度增长率：半对数模型如何测度增长率：半对数模型 例例5-4 1975-2007年美国人口对时间的线性趋势模型回归结果年美国人口对时间的线性趋势模型回归结果9-455.5 线性线性-对数模型：解释变量是对数形式对数模
18、型：解释变量是对数形式n线性线性-对数模型对数模型（lin-log model）n例例 5.5 个人总消费支出与服务支出的关系个人总消费支出与服务支出的关系（1970-2006，1992年美元价，年美元价，10亿美元）亿美元）9-465.5 线性线性-对数模型：解释变量是对数形式对数模型：解释变量是对数形式如果个人消费支出每增如果个人消费支出每增加增加加增加1个百分点，则平个百分点，则平均服务支出将增加均服务支出将增加18.44（10亿美元）亿美元）9-475.5 线性线性-对数模型：解释变量是对数形式对数模型：解释变量是对数形式线性线性-对数模型中斜率对数模型中斜率 的经济意义：的经济意义：
19、 9-485.6 倒数模型倒数模型n这这个个模模型型的的一一个个显显著著特特征征是是，随随着着X X的的无无限限增增大大，( ( 1 1 / /X Xi i ) )将将接接近近于于零零，Y Y将将逐逐渐渐接接近近B B1 1渐渐进进值值( (asymptotic asymptotic value)value)或或极极值值。因因此此，当当变变量量X X无无限限增增大大时时，形形如如上上的的回回归归模模型型将将逐逐渐渐靠近其渐进线或极值。靠近其渐进线或极值。9-495.6 倒数模型倒数模型图图5-4 倒数模型：倒数模型： 9-50n菲菲利利普普斯斯曲曲线线之之失失业业率率与与货货币币工工资资变变化
20、化率率之之间间的的关关系系。可可称称之之为为“失失业业工工资资”菲菲利利普普斯斯曲曲线线。这这是是由由当当时时在在英英国国从从事事研研究究的的新新西西兰兰经经济济学学家家菲菲利利普普斯斯本本人人于于1958年年最最早早提提出的。出的。n其其表表现现形形式式是是：在在以以失失业业率率为为横横轴轴、货货币币工工资资变变化化率率为为纵纵轴轴的的坐坐标标图图上上，由由右右下下方方向向左左上上方方倾倾斜斜的的、具具有有负负斜斜率率的的一一条条曲曲线线。它它表表明明：失失业业率率与与货货币币工工资资变变化化率率二二者者呈呈反反向向的的对对应应变变动动关关系系，即即负负相相关关关关系系。当当失失业业率率上上
21、升升时时，货货币币工工资资变变化化率率则则下下降降；当当失失业业率率下下降降时时，货货币币工工资资变变化化率率则则上升。上升。5.6 倒数模型倒数模型9-515.6 倒数模型倒数模型9-525.6 倒数模型倒数模型例例5-6 1958-1969年美国的菲利普斯曲线倒数模型年美国的菲利普斯曲线倒数模型9-535.6 倒数模型倒数模型例例5-6 1958-1969年美国小时收入指数和城年美国小时收入指数和城市失业率的年变化率线性模型市失业率的年变化率线性模型9-545.6 倒数模型倒数模型9-555.6 倒数模型倒数模型9-565.6 倒数模型倒数模型9-575.7 多项式回归模型多项式回归模型
22、令变量令变量 ，同样可以进行参数的，同样可以进行参数的OLS估计。估计。 模型的函数为：模型的函数为：9-585.7 多项式回归模型多项式回归模型图图5-8 成本成本产出关系产出关系 9-59例例5-8假想的总成本函数回归结果假想的总成本函数回归结果5.7 多项式回归模型多项式回归模型9-605.7 多项式回归模型多项式回归模型例例5-9吸烟与肺癌回归结果吸烟与肺癌回归结果9-615.8 过原点的回归过原点的回归n过原点的回归（过原点的回归（regression through the origin） 只有在充分理论保证下才能使用零截距模型，比只有在充分理论保证下才能使用零截距模型，比如奥肯定
23、律或其他经济和金融理论。如奥肯定律或其他经济和金融理论。 9-625.9 关于度量比例和单位的说明关于度量比例和单位的说明9-635.9 关于度量比例和单位的说明关于度量比例和单位的说明9-645.9 关于度量比例和单位的说明关于度量比例和单位的说明n第一：所有回归的第一：所有回归的 相同，这也不足为奇。相同，这也不足为奇。 n第二：截距的单位总是与应变量相同。第二：截距的单位总是与应变量相同。n第第三三：如如果果应应变变量量和和自自变变量量的的度度量量单单位位相相同同，则则斜斜率率系系数数及及其其标标准准误误差差相相同同，但但截截距距及及其其标准误差不同。标准误差不同。n第第四四：如如果果应应变变量量和和自自变变量量的的度度量量单单位位不不同同，则斜率系数不同，但截距不变。则斜率系数不同，但截距不变。9-655.10 函数形式小结函数形式小结弹性性9-66 第第5章习题章习题n5.11；5.12；5.13；5.17；5.18
