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1、 1.3.2 1.3.2 球的体积与表面积球的体积与表面积O OS4 R2 1. 1.柱体、锥体、台体的体积公式分柱体、锥体、台体的体积公式分别是什么？圆柱、圆锥、圆台的表面积别是什么？圆柱、圆锥、圆台的表面积公式分别是什么？公式分别是什么？复习 回顾 面面积体体积圆柱柱 S侧 圆锥 S侧圆台台 S侧 2rlrl(r1r2)l柱、锥、台的侧面积和体积柱、锥、台的侧面积和体积 面面积体体积直棱柱直棱柱 S侧正棱正棱锥 S侧正棱台正棱台 S侧球球 S球面球面 ？V= ？ 1、球的体积公式球的体积公式半径是半径是R的球的体积是的球的体积是从球的结构特征可知，球的大小是其半径所确定的。OABCRR 半
2、径是半径是 的球的表面积：的球的表面积： 球的表面积是大球的表面积是大圆面积的圆面积的4倍倍R2、 球的表面积球的表面积 例例1.1.如图如图, ,圆柱的底面直径与高都等于球的直径圆柱的底面直径与高都等于球的直径. .求证：求证：(1)(1)球的体积等于圆柱体积的，球的体积等于圆柱体积的，(2) (2) 球的表面积等于圆柱的侧面积。球的表面积等于圆柱的侧面积。分析：由题可得：球内切于圆柱作圆柱的轴截面（如图）证明证明:(1):(1)设球的半径为设球的半径为R,R,则圆柱的底面半径为则圆柱的底面半径为R,R,高为高为2R2R。. .4.4.若两球体若两球体积之比是之比是1:81:8，则其表面其表
3、面积之比是之比是_. .1.若球的表面积变为原来的若球的表面积变为原来的2倍倍,则半径变为原来的则半径变为原来的_倍倍.2.若球半径变为原来的若球半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的倍，则表面积变为原来的_倍倍.3.若两球表面积之比为若两球表面积之比为1:2，则其体积之比是，则其体积之比是_.课堂练习课堂练习5.5.将半径将半径为1 1和和2 2的两个的两个铅球，熔成一个大球，熔成一个大铅球，那么球，那么 这个大个大铅球的表面球的表面积是是_. 例例2、若正方体的棱长为、若正方体的棱长为a，求：，求：正方体的内切球的体积正方体的内切球的体积正方体的内切球直径=正方体棱长 正方体的外接球的体积
4、对角面对角面ABCDD1C1B1A1O球的内接正方体的对角线等于球直径。球的内接正方体的对角线等于球直径。 与正方体所有棱都相切的球的体积与正方体所有棱都相切的球的体积.正方体的内切球正方体的内切球直径直径正方体的外接球正方体的外接球直径直径与正方体所有棱相切的球与正方体所有棱相切的球直径直径探究探究 若正方体的棱长为若正方体的棱长为a，则，则a 1、 甲球内切于正方体的各面，乙球内切于该正方体的各条棱，甲球内切于正方体的各面，乙球内切于该正方体的各条棱， 丙球外接于该正方体，则三球表面面积之比为丙球外接于该正方体，则三球表面面积之比为( ) A. 1:2:3 B. C. D.A球的外切正方体
5、的棱长等于球直径：球的外切正方体的棱长等于球直径：正方体的面对角线等于球的直径正方体的面对角线等于球的直径球内切于正方体的棱时球内切于正方体的棱时球的内接正方体的体对角线等于球直径：球的内接正方体的体对角线等于球直径：解：设正方体的棱长为解：设正方体的棱长为a 解析：关键是求出球的半径，因为长方体内接于解析：关键是求出球的半径，因为长方体内接于球，所以它的体对角线正好为球的直径。球，所以它的体对角线正好为球的直径。结论（结论（1）长方体的外接球的球心是体对角线的交点，半长方体的外接球的球心是体对角线的交点，半径是体对角线的一半径是体对角线的一半（2）设长方体的长、宽、高分别为a、b、c， 则对
6、角线长为2、 球的内接长方体的长、宽、高分别为球的内接长方体的长、宽、高分别为 3、2 , 求此球体的表面积和体积求此球体的表面积和体积 思考：思考：三棱锥三棱锥PABCPABC的三条侧棱互相垂直，且的三条侧棱互相垂直，且PA=1PA=1，PB=2PB=2，PC=3PC=3，则该三棱锥的外接球的半径等于，则该三棱锥的外接球的半径等于_._. 一个球与它的外切等边圆锥（圆锥的轴截面为正三角形）的体一个球与它的外切等边圆锥（圆锥的轴截面为正三角形）的体积之比为（积之比为（ ）(A)25 (B)12 (A)25 (B)12 (C)23 (D)49(C)23 (D)49O OBAAB用一个平面用一个平
7、面去截一个球去截一个球O，截面是圆面，截面是圆面O球的截面的性质球的截面的性质：球心和截面圆心的连线垂直于截面球心和截面圆心的连线垂直于截面球心到截面的距离为球心到截面的距离为d，球的半径为，球的半径为R，则，则截面问题截面问题例例3.一球的球面面积为一球的球面面积为256cm2，过此球的一，过此球的一条半径的中点，作垂直于这条半径的截面，条半径的中点，作垂直于这条半径的截面，求截面圆的面积求截面圆的面积. 1.1.用与球心距离为用与球心距离为1 1的平面去截球，所得的截面面积为的平面去截球，所得的截面面积为,则球的体积为则球的体积为( )( )【解析】【解析】选C.C.设球的半径球的半径为R
8、 R，则截面截面圆的半径的半径为 所以截面所以截面圆的面的面积球的体球的体积 故故选C.C.C 2.2.已知过球面上已知过球面上A A, ,B B, ,C C 三点的截面和三点的截面和球心的距离球心的距离为球半径的一半，且为球半径的一半，且ABAB= =BCBC= =CACA=2,=2,求球的表面积求球的表面积.解解:设截面圆心为设截面圆心为OO,连结连结OAOA,设球半径为设球半径为R .R .则则: : 例例4 4、在球内有相距在球内有相距1cm1cm的两个平行截面，截面面的两个平行截面，截面面积分别是积分别是5cm5cm2 2和和8cm8cm2 2，球心不在截面之间，球心不在截面之间，求
9、球的表面积求球的表面积. .思路点拨：由截面面积可求出截面圆的半径，两思路点拨：由截面面积可求出截面圆的半径，两截面相距截面相距1cm1cm，可求出球的半径，可先画出图形，可求出球的半径，可先画出图形，再把问题平面化再把问题平面化. . 思考题思考题在球内有相距在球内有相距2cm2cm的两个平行截面，截面面积的两个平行截面，截面面积分别是分别是5cm5cm2 2和和8cm8cm2 2，球心在截面之间，球心在截面之间，求球的表面积求球的表面积. . COA SB例5、求棱长为1的正四面体外接球的体积 D ABC1 解法解法2 ：如图如图,将正四面体放置将正四面体放置在在棱长为棱长为 的正方体中，
10、的正方体中，则则A1、C1、B、D是棱长为是棱长为1的的正四面体的顶点。正四面体的顶点。所以正方体的外接球也是正四面所以正方体的外接球也是正四面体的外接球，此时球的直径为体的外接球，此时球的直径为求正多面体外接球的半径求正多面体外接球的半径求正方体外接球的半径求正方体外接球的半径 探探究究我们可以利用正方体解决正四面体的外接球的的问题。问题：如果一个正四面体的各棱都与一个球相切，那么是否也可以借助正方体来解决？即正四面体的外接球即为正方体的外接球。DABC 与正四面体各棱都相切的球即是正方体的内切球结论:(1)正四面体的外接球即为正方体的外接球，(2)与正四面体各棱都相切的球即是正方体的内切球
11、，此两球的球心都在正方体的中心，在正四面体的高的一个靠近面的四等分点上 例例6、若正四面体的棱长都为、若正四面体的棱长都为6，内有一球与四个面，内有一球与四个面都相切，求球的表面积都相切，求球的表面积由由解：作出过一条侧棱解：作出过一条侧棱PC和高和高PO的截面，的截面，则截面三角形则截面三角形PDC的边的边PD是斜高，是斜高，DC是斜高的射影，球被截成的大圆与是斜高的射影，球被截成的大圆与DP、DC相切，连结相切，连结EO，设球半径为，设球半径为r， 解法解法2：连结：连结OA、OB、OC、OP，那么，那么 探探究究我们可以利用正方体解决正四面体的外接球及和正四面体的各棱都相切的球的问题。一
12、个正四面体的各棱都与一个球相切，则该球就是正方体的内切球即正四面体的外接球即为正方体的外接球。DABC 即正四面体的外接球即为正方体的外接 解题（1）正四面体的外接球即正方体的外接球，正四面体的内切球，与正四面体各棱都相切的球即是正方体的内切球，这三个球的球心都在正方体的中心，又是正四面体的高的一个靠近面的四等分点 与正四面体各棱都相切的球的半径为 1、正三棱锥的高为、正三棱锥的高为 1，底面边长为，底面边长为 ,求棱锥的全面求棱锥的全面积和它的内切球的表面积。积和它的内切球的表面积。解：解：过侧棱过侧棱AB与球心与球心O作截面作截面( 如图如图 ),AE切圆切圆O于于F在正三棱锥中，在正三棱锥中，BE 是正是正BCD的高，的高，O1 是正是正BCD的中心，且的中心，且AE 为斜高为斜高设内切球半径为设内切球半径为 r，则，则 OA = 1 r1O1ABEOCDF 正四棱锥S-ABCD的底面边长和各侧棱长都为 ，点S、A、B、C、D都在同一球面上，其该球的体积 课外探究课外探究DACBSO C A S DB V 解: 设正四棱锥的底面中心为 ，外接球的球心为O，如图所示.由球的截面的性质，可得球心O必在 所在的直线上.ASC的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就是外接球的半径.连接OC C A S DB
