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1、. . 单摆运动规律的研究 摘要 单摆问题是高中物理及大学普通物理实验教学中的一个根底问题。受各种因素的影响，其运动规律较为复杂。本文建立了理想模式下单摆的数学模型，现实情况下单摆的数学模型.等对单摆的运动进展了探究。 首先，本文从理想情况出发，由牛顿第二定律进展推理，建立了无阻尼小角度单摆运动模型，对单摆的运动进展了初步探究。 然后， 本文又建立了无阻尼大角度单摆运动模型， 进一步完善了理想模式下单摆的数学模型。 最后，本文从实际出发，考虑单摆运动中受到的阻力因素，以理想模式下单摆的数学模型为根底， 建立了现实情况下单摆的运动模型， 深度的对单摆运动进展了探索。 关键词 简谐运动 角度 阻尼
2、运动 单摆运动 目录 一、问题的描述 二、 模型假设 三、模型建立及求解 1 理想模式下单摆的数学模型 1.1 小角度单摆运动模型 1.1.1 模型建立 1.1.2 模型求解 1.1.3 结果分析 1.2 大角度单摆运动模型 1.2.1 模型建立 1.2.2 模型求解 1.2.3 结果分析 2 现实模式下单摆的数学模型 2.1 小、大阻尼单摆运动模型 2.1.1 模型建立 2.1.2 模型求解 2.1.3 结果分析 四 模型分析 一 问题的描述 根据平常接触到的摆钟、秋千等实物中，我们可以抽象出单摆的模型。细线一端固定在悬点,另一端系一个小球,如果细线的质量与小球相比可以忽略,球的直接与线的长
3、度相比也可以忽略,这样的装置就叫做单摆.我们从理想情况出发进展分析，并逐渐完善从而推导出单摆实际运动规律。 二 模型假设 1 悬挂小球的细线伸缩和质量均忽略不记，线长比小球的直径大得多； 2.装置严格水平； 3.无驱动力。 三 模型建立及求解 1 理想模式下单摆的数学模型 . . 图 1 简单单摆模型 在 t 时刻，摆锤所受切向力 ft(t)是重力 mg 在其运动圆弧切线方向上的分力，即 f(t) =mg sin(t) 完全理想条件下，根据牛顿第二运动定律，切向加速度为： a(t) =gsin(t) 因此得到单摆的运动微分方程组： 1.1 小角度单摆运动模型 1.1.1 模型建立 当摆角 很小
4、时,sin，故方程 1 可简化为: 1.1.2 模型求解 利用 matlab 软件在0, 5o分别作出方程1和方程2的解得图像 小角度单摆摆动规律 方程1的解，*方程2的解 1.1.3 结果分析 由图像可以看出两方程的解的图像几乎吻合， 可以说明当较小时 f0= 2/ sqrt ( 1-( sin( c( i1) / 2) ) 2* ( sin( * ) ) 2) / pi; for i2= 1: n *= *+ h; f1= 2/ sqrt ( 1-( sin( c( i1) / 2) ) 2* ( sin( * ) ) 2) / pi; s= s+ ( f0+ f1) * h/ 2; f0
5、= f1; end disp( 1/ s) s1( i1) = s; s= 0; end plot( c, s1) *label( theta0/rad) ylabel( T/T0) 大摆角单摆的运动规律 程序如下： %建立方程( 1) Function *dot= per( t,*) *dot= -9. 8* sin( * ( 2) ) *( 1) % 建立方程( 2) Function *dot= per1( t,*) *dot= -9. 8* *( 2) *( 1) %利用 ode45 求解微分方程 t0= 0; tf= 10; t, * = ode45( per, t0, t f ,
6、pi/ 2, 0 ) t1, *1 = ode45 ( per1, t0, tf , pi/ 2, 0 ) plot( t, *( : , 2) , -) holdon plot( t1, *1( : , 2) , ) 1.2.3 结果分析 如下图，随着单摆摆角的增大，单摆的周期也会增加图中两根曲线说明：大摆角振动时,单摆的运动轨迹并不是简单的正、余弦曲线(虽然很相似),而且,最大摆角越小,两根曲线越相似；摆角越大,别离越明显 2 现实模式下单摆的数学模型 2.1.1 模型建立 现实情况下,绳子的质量,摆球的半径,空气的阻力等等都对单摆的摆动有影响,这些影响的主要作用就是阻止单摆的摆动,为简单
7、起见,可设单摆在摆动中受到阻力 fz，显然阻力与摆锤的运动速度有关，即阻力是单摆线速度的函数：fz=f(v)，fz(t)=kv(t) 上式中，k0为阻力比例系数，式中的负号表示阻力方向与摆锤运动方向相反。切向加速度由切向合力ftfz 产生，根据牛顿第二运动定律，有 因此得到修正后的单摆运动微分方程组 2.1.2 模型求解 据此编写仿真程序： . . subplot(2,1,1) dt=0.0001; %仿真步进 T=16; %仿真时间长度 t=0:dt:T;%仿真计算时间序列 g=9.8; L=1.5; m=8; k=3; th0=1.5; %初始摆角设置,不能超过/2 v0=0; %初始摆速
8、设置 v=zeros(size(t); %程序存储变量预先初始化，可提高执行速度 th=zeros(size(t); v(1)=v0; th(1)=th0; for i=1:length(t) %仿真求解开场 v(i+1)=v(i)+(g*sin(th(i)-k./m.*v(i).*dt; th(i+1)=th(i)-1./L.*v(i).*dt; end%使用双坐标系统来作图 A*,B1,B2=plotyy(t,v(1:length(t),t,th(1:length(t),plot); set(B1,LineStyle,-); %设置图线型 set(B2,LineStyle,:); set(
9、get(A*(1),Ylabel),String,线速度v(t)m/s);%作标注 set(get(A*(2),Ylabel),String,角位移th(t)/rad); *label(时间t/s); legend(B1,线速度v(t),2); legend(B2,角位移th(t),1); 增大阻力系数 k=50 可以得大阻尼时单摆的运动情况 2.1.3 结果分析 小阻尼情况下， 单摆运动不再是谐振动， 其振幅不断缩小直到趋于平衡位置而停顿，但还是周期运动。大阻尼情况下是非周期运动，很快回到平衡位置。 四.模型分析 本文从理想情况出发，建立了小角度、大角度两种模型，得到简谐运动和类似简谐运动。再以此为根底讨论了实际情况下受到阻力因素的影响，近似的得到了单摆运动的运动规律的大小阻尼运动。
