信号与系统--离散傅里叶变换.ppt

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1、信号与系统分析（第2版）电子教案1第6章 离散傅里叶变换6.6.6.6.3 3 3 3 离散时间系统的频域分析离散时间系统的频域分析离散时间系统的频域分析离散时间系统的频域分析6.2 6.2 6.2 6.2 离散时间傅里叶变换离散时间傅里叶变换离散时间傅里叶变换离散时间傅里叶变换6.6.6.6.4 4 4 4 离散傅里叶变换离散傅里叶变换离散傅里叶变换离散傅里叶变换6.6.6.6.5 5 5 5 信号频谱的数值计算信号频谱的数值计算信号频谱的数值计算信号频谱的数值计算6.6.6.6.6 6 6 6 离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质6.6.6.6.

2、7 7 7 7 快速傅里叶变换简介快速傅里叶变换简介快速傅里叶变换简介快速傅里叶变换简介6.1 6.1 6.1 6.1 引言引言引言引言信号与系统分析（第2版）电子教案26.1 引引 言言1、从连续信号频域分析看到：、从连续信号频域分析看到： 从频域角度可以获得对LTI系统性质的更加深入的了解，使系统的分析与设计更加直观方便，与时域分析互补。6.1 引言3、本章学习注意：、本章学习注意： （1）与连续情况对应关系并找出相似之处和重要区别；2、从第二章时域和第四章的复频域看到：、从第二章时域和第四章的复频域看到： 连续信号与系统和离散信号与系统之间可以通过抽样联系起来，二者在时域和复频域中均有对

3、应关系。本章将会看到，二者在频域之间也有对应关系。信号与系统分析（第2版）电子教案3（1）实际信号与计算机能处理的信号之间的矛盾；l 实际信号的特点： 时域：连续时间信号，持续时间较长 频域：频谱连续l 数字处理设备（计算机）的特点 存储空间有限：只能存储有限多数据（离散的数据点，有限长的时间范围） 表示空间有限：只能表示有限多的数值（取值在一定精度内，取值在一定范围内）4、本章要解决的问题：、本章要解决的问题：6.1 引言 （2）以理论分析为依据，以工程实现为目的。信号与系统分析（第2版）电子教案4（6）如何用计算机实现4种信号的频谱分析；6.56.1 引言（3）有限长序列频谱的计算与存储

4、频谱是连续周期的，只能存储有限长的频谱（一个周期即可）；只能存储有限多的频谱（离散频率点处的频谱值）。（4）如何用计算机直接计算序列的离散频谱和反之；6.4（5）信号被截短时，频谱发生什么变化；6.5（2）如何从抽样信号计算原信号的频谱；6.2信号与系统分析（第2版）电子教案56.2 离散时间傅里叶变换离散时间傅里叶变换6.2 离散时间傅里叶变换 连续非周期信号 ， FT DTFT IFT IDTFT 连续 1、比较、比较FT和和DTFT， n 离散 连续 t 连续 离散非周期信号信号与系统分析（第2版）电子教案66.2 离散时间傅里叶变换 2、对、对DTFT的说明的说明 频谱密度连续，综合式

5、IDTFT 序列离散分析式DTFT 分析式DTFT是的周期函数，综合式IDTFT不是n的周期函数，以 为周期 因为： n为整数信号与系统分析（第2版）电子教案76.2 离散时间傅里叶变换连续频谱密度是积分式 有利因素：频谱密度可利用离散点的数据计算，为利用计算机提供了可能。由于周期 所以 不利因素：计算机无法直接处理和存储连续频谱，数字处理遇到困难。 积分范围是是求和式 由于 非周期 且非时限， 是离散序列 对无穷多项求和所以信号与系统分析（第2版）电子教案8 若对应dt6.2 离散时间傅里叶变换，由带限抽样得到样本的DTFT 可得FT 若，则的DTFT存在，即收敛。 ROC包含单位圆信号与系

6、统分析（第2版）电子教案96.2 离散时间傅里叶变换 3、典型信号的、典型信号的DTFT的离散时间傅里叶变换，其中例例6-1 求解解：信号与系统分析（第2版）电子教案10解解：例例6-2 求序列的傅里叶变换6.2 离散时间傅里叶变换例例6-3 求序列的傅里叶变换。解解：ROC边界在单位圆，信号不满足绝对可和的条件。但可以仿照连续时间信号情况，在变换中引入冲激函数。由于离散时间信号的傅里叶变换是以 为周期的，考察下式给出的等间隔冲激频谱函数：利用逆变换公式得因此信号与系统分析（第2版）电子教案11解解：由求解逆傅里叶变换的公式有从图中可以看出，离散时间系统的理想低通滤波器的样值响应，与连续时间系

7、统的理想低通滤波器的冲激响应类似，即在输入没有加入前就已有了响应。说明离散时间系统的理想低通滤波器也是一个非因果系统。6.2 离散时间傅里叶变换例例6-4 若离散时间系统的理想低通滤波器频率特性如图所示，求它的逆傅里叶变换（即单位样值响应）。信号与系统分析（第2版）电子教案126.3 离散时间系统的频域分析6.3 离散时间系统的频域分析离散时间系统的频域分析1. 1. 离散时间傅里叶变换的性质离散时间傅里叶变换的性质2. 2. 离散时间系统的频域分析离散时间系统的频域分析信号与系统分析（第2版）电子教案131. 离散时间傅里叶变换离散时间傅里叶变换DTFT的性质的性质（1）周期性、连续性）周期

8、性、连续性 周期性：是离散信号 的DFS、DTFT的共性，有别于 的FS、FT。注意与FT对应，与Z变换对应连续性：是非周期时间信号 、的FT、DTFT的共性，有别于周期信号的FS、DFS。6.3 离散时间系统的频域分析1. 离散时间傅里叶变换的性质信号与系统分析（第2版）电子教案14（2）线性（所有线性变换的共性）线性（所有线性变换的共性）设 、 的傅里叶变换分别为 及 其中 、 为任意常数则6.3 离散时间系统的频域分析1. 离散时间傅里叶变换的性质（3）移位（与）移位（与FT一致）一致）若 是傅里叶变换对，则有： 时移相移 频域移位： 时域移位： 调制频移 信号与系统分析（第2版）电子教

9、案15（4）时域线性加权（频域微分）（与）时域线性加权（频域微分）（与FT一致）一致）若 是傅里叶变换对，则时域的线性加权频域的微分 （5）反转与对称（与）反转与对称（与FT一致）一致）若 是傅里叶变换对，则时域反转频域反转 是偶函数， 是奇函数即 实偶 实奇对称为实序列实偶虚奇1. 离散时间傅里叶变换的性质6.3 离散时间系统的频域分析信号与系统分析（第2版）电子教案16（6）卷积定理（与）卷积定理（与FT同）同）若 ， ，则时域卷积：频域卷积：时域加窗、调制、抽样频域卷积时域卷积频域乘积1. 离散时间傅里叶变换的性质6.3 离散时间系统的频域分析信号与系统分析（第2版）电子教案17（7）帕

10、斯瓦尔定理）帕斯瓦尔定理若 是傅里叶变换对，则 即时域的全部信息量包含在频谱的一个周期内，所以只讨论频谱的一个周期就够了。时域总能量频域一周期内的总能量1. 离散时间傅里叶变换的性质6.3 离散时间系统的频域分析信号与系统分析（第2版）电子教案182. 离散时间系统的频域分析离散时间系统的频域分析6.3 离散时间系统的频域分析2. 离散时间系统的频域分析时域：频域：输入信号的频谱函数 经系统后变为 在输入信号频谱给定的情况下，要想得到需要的输出频谱结构的过程，实际上是对H()进行设计的过程。在频域中通过输入输出信号的频谱可清晰地看到系统对信号每个分量的变换过程及对H()的要求。信号与系统分析（

11、第2版）电子教案196.3 离散时间系统的频域分析2. 离散时间系统的频域分析例例6-5 求差分方程 所描述系统的频响函数H()。若输入为 ，求响应 yn 解：解：对差分方程两边取傅里叶变换，有由频响函数的定义可知由于则取逆变换得信号与系统分析（第2版）电子教案206.4 离散傅里叶变换6.4 离散傅里叶变换1 1. .离散傅里叶级数离散傅里叶级数2 2. .离散傅里叶变换离散傅里叶变换信号与系统分析（第2版）电子教案216.4 离散傅里叶变换1. 离散傅里叶级数DFS1. 1. 离散傅里叶级数离散傅里叶级数DFS 离散周期信号完备正交系 t 连续 k:(-,)级数FS 连续周期信号因为：n取

12、整数 k :整周期抽样（1）由）由FS引入引入DFS信号与系统分析（第2版）电子教案22 系数 理论依据: =B=T B=N（2）对）对DFS的说明的说明 一个周期主值 一个周期主值 6.4 离散傅里叶变换1. 离散傅里叶级数DFS信号与系统分析（第2版）电子教案23对每一个整数 n , 离散点 是一个有限项的级数，求和只需 N 项。对每一个整数 k ， 是一个有限项的级数，求和只需 N 项。一个周期主值 一个周期主值 周期N点 是周期函数，定义域n: 是周期函数，定义域k:周期N点 重要意义：只要计算一个周期的N个点，即可得到全 域结果。6.4 离散傅里叶变换1. 离散傅里叶级数DFS信号与

13、系统分析（第2版）电子教案在一个周期内有N个谐波分量，第k个谐波分量为：24 因为 周期N，所以 离散 因为 离散， 所以 周期即： 故适合计算机工作：离散 有限数 DFS总是收敛，因为是有限数项的求和。6.4 离散傅里叶变换1. 离散傅里叶级数DFS信号与系统分析（第2版）电子教案25解解：由于所给信号的数字频率为 ，则该信号的 周期N为把余弦函数用指数函数表示由于 于是 例例6-6 已知周期离散时间信号级数表示式及相应的频谱。，求傅里叶根据n域与k域的周期相同6.4 离散傅里叶变换1. 离散傅里叶级数DFS信号与系统分析（第2版）电子教案26此信号的频谱是以N=6为周期的周期离散频谱。可得

14、6.4 离散傅里叶变换1. 离散傅里叶级数DFS信号与系统分析（第2版）电子教案27例例6-7 图（a）所示序列的周期N =10，求其频谱。解解：6.4 离散傅里叶变换1. 离散傅里叶级数DFS信号与系统分析（第2版）电子教案28 计算机可以处理的数据形式6.4 离散傅里叶变换2. 离散傅里叶变换DFT2. 2. 离散傅里叶变换离散傅里叶变换离散：数据离散地放在存储器的各个单元有限：存储空间有限，计算速度有限为了让计算机解决实际问题，必须要做的工作是：（1）从理论研究到工程实际）从理论研究到工程实际信号与系统分析（第2版）电子教案296.4 离散傅里叶变换 时域 是信号（输入，输出）的原始形式

15、，离散化为 ， ， （第五章已解决）。 （a）离散处理 频域 是系统设计的出发点，也应离散化为 （本节将解决）。 在时域对离散化后的序列截断或加窗，在频域对离散信号的频谱（周期）加窗即只取用一个周期。 （b）有限化处理（本节解决）2. 离散傅里叶变换DFT信号与系统分析（第2版）电子教案30 6.4 离散傅里叶变换 已有的理论基础已有的理论基础 时域时域 频域频域连续非周期 FT 非周期连续谱密度（无限） 离散谱（无限） 周期 FS（无限） 周期 DFS （无限） 离散谱 离散 非周期 DTFT 周期 连续谱密度2. 离散傅里叶变换DFT信号与系统分析（第2版）电子教案316.4 离散傅里叶变

16、换 分析离散傅里叶级数分析离散傅里叶级数DFS（时频域均只需有限的离散数据）离散周期：频谱重复，一个周期内仅有N个点（b） 对整个时域，只需要计算N个点，即可周期延拓到全时域 ；对整个频域，只需要计算N个点，即可周期延拓到全域 。（a）对时域的每个第n点，只需要N个频域数据参与计算，对频域的每个第k点，只需要N个时域数据参与计算2. 离散傅里叶变换DFT信号与系统分析（第2版）电子教案326.4 离散傅里叶变换（2）离散傅里叶变换）离散傅里叶变换DFT 从DFS到DFT(a) DFS的分析和综合式中实际参加计算的数据分别是： 它们是周期数据 在主值区间内的数据。对周期 延拓可得 ，对周期 延拓

17、可得 。这是在保证信息不损失条件下最少的数据量。 条件条件： 是时间有限序列(b) 若 是非周期序列，且为时间有限（N点），即可把它看成 的主值数据，仅用这N个点即可计算出 对应的主值 。 也就是说：直接对非周期序列2. 离散傅里叶变换DFT信号与系统分析（第2版）电子教案336.4 离散傅里叶变换 定义定义DFTDFTIDFT 注意：(a) 标度因子N换位，这是为了让正变换简单，与DTFT对应。DTFT IDTFT (b) 是非周期N点时限信号，可看成周期信号的一个主周期。(c) 是对有限长的 的频谱 等间隔 抽样并对主值区间加窗得到的。2. 离散傅里叶变换DFT信号与系统分析（第2版）电子

18、教案34展开成矩阵形式：DFTDTFT6.4 离散傅里叶变换DFT可简写为：(d) 频率间隔 对应的 是 的最小单位（基频分量），令 （对应z变换下的 ）2. 离散傅里叶变换DFT信号与系统分析（第2版）电子教案35第6章 离散傅里叶变换6.6.6.6.3 3 3 3 离散时间系统的频域分析离散时间系统的频域分析离散时间系统的频域分析离散时间系统的频域分析6.2 6.2 6.2 6.2 离散时间傅里叶变换离散时间傅里叶变换离散时间傅里叶变换离散时间傅里叶变换6.6.6.6.4 4 4 4 离散傅里叶变换离散傅里叶变换离散傅里叶变换离散傅里叶变换6.6.6.6.5 5 5 5 信号频谱的数值计算

19、信号频谱的数值计算信号频谱的数值计算信号频谱的数值计算6.6.6.6.6 6 6 6 离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质6.6.6.6.7 7 7 7 快速傅里叶变换简介快速傅里叶变换简介快速傅里叶变换简介快速傅里叶变换简介6.1 6.1 6.1 6.1 引言引言引言引言信号与系统分析（第2版）电子教案36 6.5 信号频谱的数值计算6.5 信号频谱的数值计算1 1. .周期信号的频谱分析周期信号的频谱分析2 2. .非周期信号的频谱分析非周期信号的频谱分析3.3.数据截断问题数据截断问题信号与系统分析（第2版）电子教案37 1. 周期信号的频谱分

20、析6.5 信号频谱的数值计算1. 1. 周期信号的频谱分析周期信号的频谱分析 连续时间周期信号xT(t)的样本xNn与xT(t)的离散频谱ck的关系： 对频带有限的xT(t)，若一个周期中抽样的离散点数N大于最高谐波次数km的二倍即：N 2km，则在忽略数值误差的情况下，ck可以精确计算：信号与系统分析（第2版）电子教案38 1. 周期信号的频谱分析6.5 信号频谱的数值计算 若xT(t)频谱无限分布，用DFT必然会出现频普混叠，从而带来误差。解决的方法：解决的方法：适当提高抽样频率，以减少频谱混叠的影响。一般取两种不同的抽样频率进行计算，当二者的计算频谱基本一致时可认为结果正确。 根据ck

21、求xT(t)在主值区间离散值：信号与系统分析（第2版）电子教案392. 非周期信号的频谱分析（1）DFT与与DTFT的关系的关系 有限长 DFT 离散变化，共N个点 DTFT 连续变化，周期为 结论：DFT是对DTFT在频域 内取N个点等间隔抽样的结果，DFT的包络线即为DTFT。2. 2. 非周期信号的频谱分析非周期信号的频谱分析6.5 信号频谱的数值计算信号与系统分析（第2版）电子教案40DFT： DTFT：对DTFT连续的频谱离散化的结果MATLAB实现：利用FFT计算 ，用绘图语句stem绘出 的离散频谱图。 例例6-9 非周期离散序列连续的频谱，是DFT的包络线 MATLAB实现：利

22、用FFT计算 ，用绘图语句plot绘出 的包络线，即 的连续频谱图。2. 非周期信号的频谱分析6.5 信号频谱的数值计算信号与系统分析（第2版）电子教案41 在分析信号频谱的时候，由于受到计算能力的影响，只能处理有限长的信号。这就必须截取时间函数的一个有限范围，即把观测到的信号限制在一定的时间间隔之内。换句话说，就是要取出信号的某一个时间段。这种过程就是截截断断数数据据的过程。这种截断 过 程 相 当 于 对 信 号 进 行 加 窗 ， 即 信 号 乘 以 窗 函 数 ，变成 的N点有限长序列，然后可以利用DFT计算DTFT，N的大小会影响结果的准确性，应视情况慎重选择。 无限长 、 N越大，

23、间隔越密，在 给定的情况下，可补零加大N。 （2）N与谱线间隔与谱线间隔 DFT对DTFT离散化的频谱间隔 2. 非周期信号的频谱分析6.5 信号频谱的数值计算信号与系统分析（第2版）电子教案 DFT与与FT的关系的关系 （a）关系42 DFT与FT的关系为：非周期连续时间信号 的傅里叶变换抽样样本 的频谱 设 在周期延拓时的频谱混叠可忽略不计，由上式得在频谱的一个周期内（3）非周期连续时间信号的频谱分析：）非周期连续时间信号的频谱分析：用用DFT计算计算FT2. 非周期信号的频谱分析6.5 信号频谱的数值计算信号与系统分析（第2版）电子教案43 （b） 频谱换位 按上式计算出的前 个样点对应

24、于 的频谱，而后半部分的样点对应于向左移位 的频谱，即在负频率轴上。由于模拟频率间隔为 ，则频谱中第 k 个样点对应的频率为 利用利用DFT对连续非周期信号进行对连续非周期信号进行FT的参数选择的参数选择(a) 根据指标要求的模拟频率分辨率 来确定抽样的时间T 因为：所以：2. 非周期信号的频谱分析6.5 信号频谱的数值计算信号与系统分析（第2版）电子教案44 (d) 确定时域抽样间隔 (c) 确定抽样点数N调整 (b) 根据抽样定理 ，选择 ，即由信号的 定 因为 ，根据 对连续信号 抽样后得N点序列 (e) 利用DFT的快速算法计算 的FT 2. 非周期信号的频谱分析6.5 信号频谱的数值

25、计算信号与系统分析（第2版）电子教案45例例6-10 利用DFT方法计算连续时间信号的频谱，要求满足如下指标：频谱分辨率f0 5 Hz；信号的最高频率fm 1.25 kHz；抽样点数等于2的整数次方。试确定：（1）应记录的信号长度T；（2）抽样点数N；（3）时间抽样间隔Ts。2. 非周期信号的频谱分析6.5 信号频谱的数值计算解：解： （1）由于频率分辨率取决于时域信号的长度，其值为（2）根据信号的最高频率，抽样点数N要满足故取 N = 29 = 512（3）时间抽样间隔信号与系统分析（第2版）电子教案463. 3. 数据截断问题数据截断问题 DFT在数字信号处理中具有极其重要的地位。在应用D

26、FT对信号与系统进行处理时，会遇到一些具体的问题。正确认识和对待这些问题对于分析处理的结果有至关重要的作用。 一般情况下，待研究的连续时间信号不具备离散性或周期性，也可能有无限长度。为了能利用DFT进行分析，应对此波形进行抽抽样样和截截断断。这样一来，势必会引入误差。引入误差的原因主要有以下几种：用用DFT逼近逼近FT可能出现的问题可能出现的问题3. 数据截断问题6.5 信号频谱的数值计算信号与系统分析（第2版）电子教案47(1) 时限信号抽样及频谱的混叠现象时限信号抽样及频谱的混叠现象 计算机只能处理时限信号，对非时限信号应先截短； 时限信号的频带无限，抽样定理 无法实现，所以频率混叠不可避

27、免。 减少混频的措施： a、应尽量取大，这需要大储存空间和快速计算设备； b、先经过低通滤波器，滤掉信号中大于 的频率分量。 3. 数据截断问题6.5 信号频谱的数值计算信号与系统分析（第2版）电子教案48 频域抽样与时域混叠 a、带限信号都是非时限的。带限信号的来源 b、对带限信号进行频域抽样条件 无法实现，所以时域混叠不可避免。 频谱泄露 a、避免时域混叠的方法：为了利用DFT计算FT，也为了避免时域混叠，必须对带限信号（非时限）在在时时域域内内截截短短，相相当当于于乘乘上上一一个个矩矩形形窗窗。这样可以利用频域抽样条件，使得对信号的频域抽样避免时域混叠。(2) 带限信号频域抽样及频谱泄露

28、带限信号频域抽样及频谱泄露3. 数据截断问题6.5 信号频谱的数值计算信号与系统分析（第2版）电子教案49 b、由时域截短造成的频谱泄露 据傅里叶变换的卷积定理，信号加窗后的频谱相当于原信号频谱与窗信号的频谱在频域作卷积。即图中 所以时域混叠与频谱泄露是一对矛盾。所以时域混叠与频谱泄露是一对矛盾。 这种卷积过程造成了信号频谱的失真。失真频谱将产生“拖尾”（频谱延伸扩展）现象，使原有受限的频谱图形“扩展”开来，这种现象就称之为频谱泄漏。 只要对带限信号进行DFT计算，就必须先截断 ，这样一来，频谱泄露就无法避免。3. 数据截断问题6.5 信号频谱的数值计算信号与系统分析（第2版）电子教案50 c

29、、减小频谱泄露的措施 由于实际应用的需要，对信号进行截断是必须的，所以由此引起的频谱泄漏也显然是无法避免的。不过，通过改善窗函数的形状，可以达到减少泄漏的目的。通常的矩形窗在时域有突变，使得频域拖尾严重，收敛很慢。为了解决这个矛盾，人们已经研究了各种形式的窗函数，例如三角窗、布莱克曼窗、海明窗、汉宁窗等，它们都在不同程度上压低了窗函数频谱的旁瓣，减弱了频率泄漏现象。三角窗 布莱克曼窗 海明窗 汉宁窗Triang Blackman Hamming Hanning 3. 数据截断问题6.5 信号频谱的数值计算信号与系统分析（第2版）电子教案51（3）频率分辨率和栅栏效应）频率分辨率和栅栏效应 频率

30、分辨率 DFT本身不是非周期、有限长序列的频谱，而只是频谱的等间隔抽样样本。因此，为了使DFT能更精确地反映原信号的频谱FT，在用DFT分析信号的频谱时，就有一个频率分辨率的问题。 结论：数字频率分辨率与点数N有关，模拟频率分辨率与时域信号的持续时间T有关。 离散信号 的频率分辨率 N越大分辨率越高。 连续信号 的频率分辨率 T 越大分辨率越高，T为信号长度。3. 数据截断问题6.5 信号频谱的数值计算信号与系统分析（第2版）电子教案52 栅栏效应 由于DFT是对有限长序列的频谱等间隔抽样得到的样本，就相当于是在栅栏的一边通过栅栏的缝隙(对应离散点)去观看另一边的景象(对应连续频谱)，只能在离

31、散点的地方看到真实的景象，因此，那些被栅栏挡住的（频谱）部分是看不到的，这些被遮挡的部分就是未被抽样所抽到的部分，这就有可能漏掉一些较大频率分量。我们称这种现象为“栅栏效应”。 当然，在实际问题中，“大的频谱分量”被挡住的情形还是很少的，栅栏效应并不是一个很严重的问题。尽管如此，我们还是有必要讨论清楚如何避免或者说减少这种栅栏效应。提高分辨率可以减小栅栏效应，却不能消除。 以上几个问题是DFT使用者必须了解的，否则无法对计算出现的问题做出解释，甚至会导致错误的结果。3. 数据截断问题6.5 信号频谱的数值计算信号与系统分析（第2版）电子教案536.6 离散傅里叶变换的性质6.6 离散傅里叶变换

32、的性质1 1. .线性性质线性性质2 2. .圆周移位圆周移位3.3.圆周卷积圆周卷积4.4.奇偶虚实性奇偶虚实性信号与系统分析（第2版）电子教案546.6 离散傅里叶变换的性质1. 线性性质 1. 1. 线性性质线性性质 若 和 是两个有限长度序列，长度分别为 和 ， 则其线性组合 的N点DFT为其中， 和 为常数， ， 和 分别为 和 的N点DFT。信号与系统分析（第2版）电子教案556.6 离散傅里叶变换的性质2. 圆周移位 2. 2. 圆周移位圆周移位 （1）圆周移位）圆周移位 对应于DTFT的平移如图示信号与系统分析（第2版）电子教案566.6 离散傅里叶变换的性质2. 圆周移位 对

33、应于DFT的移位 b、移位 a、 c、截取 主周期的序列，即乘上矩形窗 ，得到位移后的序列信号与系统分析（第2版）电子教案576.6 离散傅里叶变换的性质 圆周位移的图示 右移出去的m个数据从左边补进来，数据不少，只是重新排队。2. 圆周移位信号与系统分析（第2版）电子教案586.6 离散傅里叶变换的性质 此性质表明，有限长序列圆移 位，其DFT等于移位前的DFT再乘上相移因子 如果 为偶数时，若 对圆移 位，由于 ，故有 2. 圆周移位 （2） 圆移特性圆移特性 时域圆移特性 设 为 的 位圆移序列 的DFT为 ，则 的DFT为信号与系统分析（第2版）电子教案596.6 离散傅里叶变换的性质

34、 频域圆周移位特性： 即给序列 乘以指数函数 ，其DFT为 ，圆周移位 位。此特性用于卷积计算。2. 圆周移位 3. 圆周卷积圆周卷积 卷积定理卷积定理 线性卷积线性卷积圆周卷积信号与系统分析（第2版）电子教案60 （一）（一）时域圆周卷积（圆周卷积定理）时域圆周卷积（圆周卷积定理） 若和均为点有限长序列， 且则点圆周卷积为：（1）时域圆周卷积定理）时域圆周卷积定理（只有数学定义，无物理意义）（只有数学定义，无物理意义）6.6 离散傅里叶变换的性质3. 圆周卷积信号与系统分析（第2版）电子教案61 证明：6.6 离散傅里叶变换的性质3. 圆周卷积信号与系统分析（第2版）电子教案62 每一个n点

35、圆周卷积的计算包括：变量代换、圆反转、圆移位、相乘、求和共5个步骤。 对每一个n点圆移位，先计算对应各个m点的乘积 ，再对 范围内的全部乘积求和。 是把变量代换后的N点序列， 是把变量代换、圆反转、圆移位后，取其前 N 个点后的 N点序列。 圆卷积只在区间内进行，圆卷积结果也为N点有限长序列。 （2）圆周卷积的计算特点）圆周卷积的计算特点（以 为例）6.6 离散傅里叶变换的性质3. 圆周卷积信号与系统分析（第2版）电子教案63 （3）圆周卷积）圆周卷积5个步骤的图解个步骤的图解变量代换圆反转圆移位相乘求和 以4点圆周卷积为例，全部过程可以用矩阵表示为：6.6 离散傅里叶变换的性质3. 圆周卷积

36、信号与系统分析（第2版）电子教案64 解：解：（1）变量代换 （2）圆反转把圆反转为 （3）圆移位相乘求和 例例6-12 用图解法求有限长序列 ， 的4点圆卷积 。将、 的变量置换为，6.6 离散傅里叶变换的性质3. 圆周卷积信号与系统分析（第2版）电子教案651 2 3 4n=0 h-m4 1 2 3n=1 h1-m3 4 1 2n=2 h2-m2 3 4 1n=3 h3-m1 2 3 4（4）竖式法）竖式法 4 8 12 16 3 6 9 12 2 4 6 8 + 1 2 3 41 2 3 4 4 11 20 30 20 11 4 4 3 2 1 4 8 12 16 12 3 6 9 6

37、8 2 4 + 2 3 4 11 2 3 4 24 22 24 30 4 3 2 1线性卷积圆周卷积6.6 离散傅里叶变换的性质3. 圆周卷积信号与系统分析（第2版）电子教案66圆周卷积 线性卷积 线性卷积 圆周卷积 6.6 离散傅里叶变换的性质3. 圆周卷积信号与系统分析（第2版）电子教案67 （二）有限长序列的线性卷积与圆周卷积的关系（二）有限长序列的线性卷积与圆周卷积的关系（1）线性卷积）线性卷积则线性卷积为：（2）圆周卷积与线性卷积相等的条件）圆周卷积与线性卷积相等的条件 二者结果不同的原因二者结果不同的原因6.6 离散傅里叶变换的性质3. 圆周卷积信号与系统分析（第2版）电子教案68

38、321012N1-1序号计算结果1234000xm1234000123h0-my0=144123400012h1-my1=13+241112340001h2-my2=12+23+34201234000h3-my3=11+22+33+44300123400h4-my4=21+32+43200012340h5-my5=31+42110001234h6-my6=414N1N2-1 解决办法：解决办法：补零补零。使 和 均有L长： 对上例， 补 个零， 补 个零。补零后圆卷的计算结果等同于线卷。6.6 离散傅里叶变换的性质3. 圆周卷积信号与系统分析（第2版）电子教案69 对序列补零后求圆卷积。 这是

39、因为圆卷积可以借助快速傅里叶变换FFT技术以较高的速度完成运算。用DFT进行快速线性卷积只需做3次FFT计算。补零后补零后（三）用（三）用DFTDFT进行快速线性卷积进行快速线性卷积6.6 离散傅里叶变换的性质3. 圆周卷积信号与系统分析（第2版）电子教案70 注意：若不补零，结果不是 ，而是 。只有数学结果没有物理意义。 利用FFT计算卷积与直接卷积的实数乘法次数比较：N1+N2-11612825651210242048直接卷64409616384655362621441048576FFT卷4485888133122969665536143360 序列的点数越大，用FFT计算卷积的优越性越明

40、显。 6.6 离散傅里叶变换的性质3. 圆周卷积信号与系统分析（第2版）电子教案71 例例 有一离散时间系统，其单位样值响应 ，输入信号 。试用DFT方法计算系统的输出 。n=0:16;L=32h=(0.8).n;Hk=fft(h，L);x=ones(1，10);Xk=fft(x，L);Yk=Hk.*Xk;y=ifft(Yk，L);n=0:31;stem(n，y); 解解：先分别求得 和 的DFT，相乘后再求其逆变换。程序：程序运行结果如图所示 ：6.6 离散傅里叶变换的性质3. 圆周卷积信号与系统分析（第2版）电子教案726.6 离散傅里叶变换的性质4. 奇偶虚实性 4. 4. 奇偶虚实性奇

41、偶虚实性 若序列 为实序列，其离散傅里叶变换为 ，则则幅度频谱为 ，是偶对称函数，相位频谱为 ，是奇对称函数。信号与系统分析（第2版）电子教案73N为奇数N为偶数根据对称性，实序列的DFT在 时不需要专门计算，从而节省了计算量。 注意：因为变量的取值范围为 ，对称不是关于原点，而是关于 点的对称函数。6.6 离散傅里叶变换的性质4. 奇偶虚实性信号与系统分析（第2版）电子教案741、DFT的重要意义的重要意义 解决了数字信号处理的基本问题（时频域均离散和有限），给计算机编程提供了实用算法。使FS、FT、DFS、DTFT都可以用计算机数值计算。2、DFT的问题的问题 难以实时快速，不能用于自动控

42、制、同声传译、自动追踪。只能用于数据的事后处理或系统模拟研究。6.7 快速傅里叶变换简介6.7 快速傅里叶变换简介信号与系统分析（第2版）电子教案753、DFT的运算速度的运算速度 每计算一个 值需要进行N次复数相乘和N-1次复数相加，对于 N 个 点，应重复 N 次上述运算。因此，完成全部DFT 运算共需 次复数乘法和 次复数加法。由 求 的IDFT的计算量也同样是 次复数乘法和 次复数加法。 DFT计算速度提高：1965年，库利和图基总结并发展了前人的研究成果,提出了一种快捷通用的DFT算法，此法叫做FFT。 当 时，就需要1048576即一百多万次复数乘法运算。 6.7 快速傅里叶变换简

43、介信号与系统分析（第2版）电子教案764、FFT的关键技术的关键技术特殊性特殊性 无需计算 周期性周期性 ， 减少34工作量对称性对称性 减少一半工作量（1）利用 的特性，避免重复计算（2） 把N点DFT分解为两组 点的DFT运算后再取和，每组再分成两半，依次分下去，直到分成两点。基于FFT，使 N 点DFT计算量减少到 次复数乘， 次复数加。6.7 快速傅里叶变换简介信号与系统分析（第2版）电子教案77 例如 N=4 时 ：行对应 k，列对应n 这里只计算 这一个复数乘 4次加 4次乘4次加6.7 快速傅里叶变换简介信号与系统分析（第2版）电子教案78N=8时 6.7 快速傅里叶变换简介信号

44、与系统分析（第2版）电子教案79小结 前面的章节为傅里叶变换分析和处理信号奠定了理论基础，但要在实际情况下应用傅里叶变换的理论来分析和处理信号，还存在着一些需要解决的问题，如信号在时间域可以无限长，在时域信号是连续的，以及信号傅里叶频谱在频域也可能是连续的，可以分布于整个频率轴。本章正是针对这问题，在提出相应解决方法的过程中逐步引入了离散时间傅里叶变换DTFT和离散傅里叶变换DFT。 这两种变换的性质与第三章的连续时间傅里叶变换是相似的，学习中可以对比进行。需要重点注意的难点是：圆移和圆卷积的概念和性质，要深刻体会相关的性质，一定要从FT、 DTFT与DFT物理意义之间的联系入手。 DFT的快速算法FFT为傅里叶分析处理方法的实际应用扫清了最后的障碍，使得信号与系统的数字处理成为可能。要搞清楚如何用FFT实现四种傅里叶分析和卷积计算，使用的原理，方法和应避免出现的问题。