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1、曲边梯形的面积 一般地一般地, ,如果函数如果函数y=f(x)y=f(x)在某个区间在某个区间I上的图象上的图象是一条连续不断的曲线是一条连续不断的曲线, ,那么就把它称为区间那么就把它称为区间I上上的的连续函数连续函数. . 1.1.什么是区间什么是区间I I上的连续函数上的连续函数. .aboxyaboxy 2.2.什么叫曲边梯形什么叫曲边梯形? ? 在直角坐标系中在直角坐标系中, ,我们把由直线我们把由直线 , , , 和曲线和曲线 所围成的图形称为曲边梯形所围成的图形称为曲边梯形. .Ox y a b y=f (x)x=ax=b 怎样求这样的曲边梯形的面积呢怎样求这样的曲边梯形的面积呢
2、? ?, , Ox y a b y=f (x)x=ax=b曲边梯形的面积三国时期的数学家刘徽的割圆术“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”刘徽当边数n无限增大时，正n边形面积无限逼近圆的面积曲边梯形的面积三国时期的数学家刘徽的割圆术“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”刘徽当边数n无限增大时，正n边形面积无限逼近圆的面积曲边梯形的面积“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”割圆术：刘徽在九章算术注中讲到刘徽当边数n无限增大时，正n边形面积无限逼近圆的面积曲边梯形的面积将圆分成将圆分成16等份等份曲边梯
3、形的面积长长(a)(b)宽宽平分平分16等份等份平分平分32等份等份曲边梯形的面积rC2 2r因为因为: 长方形面积长方形面积 = 长长 宽宽所以所以: 圆圆 的的 面面 积积 = r 22r2 2=r r 因此，我们可以用这条直线因此，我们可以用这条直线L来代替点来代替点P附附近的曲线，也就是说：在点近的曲线，也就是说：在点P附近，曲线可以看附近，曲线可以看作直线（即在很小范围内以直代曲）作直线（即在很小范围内以直代曲）P放大放大再放大再放大PP y = f(x)bax yO A1A A1.用一个矩形的面积用一个矩形的面积A A1 1近似代替曲边梯形的面积近似代替曲边梯形的面积A A，得得A
4、 A1+A2用两个矩形的面积近似代替曲边梯形的面积A，得 y = f(x)bax yOA1A2A A1+A2+A3+A4用四个矩形的面积近似代替曲边梯形的面积A，得 y = f(x)bax yOA1A2A3A4 y = f(x)bax yOA A A A1 1+ + A A2 2 + + + + A An n 将曲边梯形分成将曲边梯形分成 n n个小曲边梯形，并用小矩个小曲边梯形，并用小矩形的面积代替小曲边梯形的面积，形的面积代替小曲边梯形的面积， 于是曲边梯于是曲边梯形的面积形的面积A A近似为近似为A1AiAn 以直代曲以直代曲, ,无限逼近无限逼近 自主探究自主探究 图中的图形可看图中的
5、图形可看成成:x=0,x=1,y=0:x=0,x=1,y=0和和y=xy=x2 2所围成的曲边所围成的曲边梯形梯形, ,它的面积如何它的面积如何计算呢计算呢? ? 过剩近似值过剩近似值中的第中的第 个矩形面积为个矩形面积为: :不足近似值不足近似值中的第中的第 个矩形面积为个矩形面积为: :自主探究自主探究不足近似值不足近似值表达式为表达式为: :自主探究自主探究过剩近似值过剩近似值表达式为表达式为: :自主探究自主探究将运算进行到底将运算进行到底: :取取n n趋向于无穷大时的极限趋向于无穷大时的极限: :由以上两个极限相同由以上两个极限相同, ,我们能得到什么我们能得到什么? ?1.1.我
6、们有理由相信我们有理由相信, ,这个曲边梯形的面积就是三分这个曲边梯形的面积就是三分之一之一. .2.2.无论用哪个近似值进行无论用哪个近似值进行”近似替代近似替代”, ,借助极限借助极限运算运算, ,都可以得到曲边梯形的面积都可以得到曲边梯形的面积, ,甚至用区间甚至用区间: :近似替代近似替代”, ,借助极限运算都可以确定曲边梯形的借助极限运算都可以确定曲边梯形的面积面积. . 上任一自变量上任一自变量 的函数值的函数值 进行进行”3.3.是不是任一曲边梯形的面积都可以借助这种方是不是任一曲边梯形的面积都可以借助这种方法去求解法去求解, ,具体步骤是什么具体步骤是什么? ?总结升华总结升华
7、小结小结: :求由连续曲线求由连续曲线y y= =f f( (x x) )对应的曲边梯形面积的对应的曲边梯形面积的方法方法（1 1）分割）分割 （2 2）近似代替）近似代替 (3)(3)求面积的和求面积的和 （4 4）取极限）取极限 巩固提高巩固提高过每个分点作过每个分点作x轴的垂轴的垂解解:(1)分割分割:将区间将区间0,2n等分等分,则则每个区间每个区间的长度为的长度为线线,将原曲边梯形分割为将原曲边梯形分割为n个小个小曲边梯形曲边梯形;求直线求直线x=0,x=2,y=0与曲线与曲线y=x2所围成的曲边梯形的所围成的曲边梯形的面积面积 (2)近似替代近似替代 以每个区间的左端点的函数值为高作以每个区间的左端点的函数值为高作n个小矩形个小矩形,当当n很大时很大时,用这用这n个小矩形的面积和近似替代曲边梯个小矩形的面积和近似替代曲边梯形的面积形的面积S;(3)求和求和(4)取极限取极限即曲边梯形的面积为即曲边梯形的面积为练习：练习：p42课堂小结课堂小结3.体会体会”以直代曲以直代曲”、“以好代不好以好代不好”、“极限极限”数学思想的应用数学思想的应用.
