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1、 几何与代数几何与代数几何与代数几何与代数 主讲主讲: 王小六 回回 顾顾 作作 业业Page 167第第2题题 注意：线性表示注意：线性表示 = 1 + 2 - 3 也是对的也是对的. (批改有错批改有错!)Page 167第第3题题 记记 A = ( 1 , 2 ) , B = (e1, e2, e3). 则则 AX=B 有解有解 向量组向量组B能由向量组能由向量组A表示表示. Page 167第第5题题 要说明要说明V不是不是子空间，只要找到子空间，只要找到一个一个说说明加法或数乘不封闭的明加法或数乘不封闭的例子例子即可；即可； 但要说明但要说明V是是一个子空间，就需要说明一个子空间，就
2、需要说明对对任意的向量任意的向量满足加法封闭性；对满足加法封闭性；对任意的向任意的向量和任意的实数量和任意的实数满足数乘封闭性。满足数乘封闭性。 第四章 n维向量第第3节节子空间的基和维数子空间的基和维数第四章第四章第四章第四章 n n维向量维向量维向量维向量 4.34.3基和维数基和维数基和维数基和维数 假设假设 1, 2, , s Rn, | k1 , k2 , , ks R s s ki i i i=1 =1 由由 1, 2, , s生成的向量空间生成的向量空间, 1, 2, , s生成元生成元. 定义定义记为记为 L( 1, 2, , s) .一一 由向量组生成的子空间由向量组生成的子
3、空间 4.3 子空间的基和维数子空间的基和维数注注: (1) L( 1, 2, , s) = L( 1, 2, , t) 向量组向量组 1, 2, , s与与 1, 2, , t等价等价.(2) 如果如果 A=( 1, 2, , s), x=(x1, x2, , xs)T, 则则 Ax= x1 1 + x2 2 +xs sL( 1, 2, , s)= Ax | x Rs R(A) R(A) = = R Rn n | | 存在存在存在存在x xR Rs s 使得使得使得使得 = =AxAx = = Ax | xAx | x R Rs s ; ; Ax=b有解有解 b R(A)=L( 1, 2,
4、, s) 第四章第四章第四章第四章 n n维向量维向量维向量维向量 4.34.3基和维数基和维数基和维数基和维数R(A) = L( 1, 2, , s) 问：问：反之，如果给定一个子空间反之，如果给定一个子空间 V，如何寻找它的生成元呢？，如何寻找它的生成元呢？第四章第四章第四章第四章 n n维向量维向量维向量维向量 4.34.3基和维数基和维数基和维数基和维数一维空间：一维空间： x | xR 二维空间：二维空间： (x,y) | x,yR 三维空间：三维空间： (x,y,z) | x,y,zR x = x1(x,y) = x(1,0) + y(0,1)(x,y,z) = x(1,0,0)
5、+ y(0,1,0)+z(0,0,1)(x,y) = m + n ( 只要只要 , 不共线不共线 ) (x,y,z) = k1 + k2 + k3 (只要只要 , , 不共面不共面 ) 第四章第四章第四章第四章 n n维向量维向量维向量维向量 4.34.3基和维数基和维数基和维数基和维数二二. 向量空间的基与维数向量空间的基与维数称称 1, 2, , r 为子空间为子空间V 的一组的一组基基,如果如果: 称称r为为V的的维数维数. 记为记为r = dim(V). n维基本单位向量组就是维基本单位向量组就是Rn的一组基的一组基, dimRn = n; 注注(3) 零空间没有基零空间没有基, 规定
6、规定 dim0 = 0. 1, 2, , r线性无关线性无关, V 都能由都能由 1, 2, , r线性表示线性表示. 定义定义注注(2)注注(1) 子空间的基就是这个子空间的极小子空间的基就是这个子空间的极小 生成元集。并且基之间是等价的。生成元集。并且基之间是等价的。第四章第四章第四章第四章 n n维向量维向量维向量维向量 4.34.3基和维数基和维数基和维数基和维数定理定理4.7. 1, 2, , s的极大无关组是子空间的极大无关组是子空间 L( 1, 2, , s)的基的基. 自然成立自然成立 dimL( 1, , s) = r( 1, , s). 例例 求求R3 的子空间的子空间 V
7、 =xy x+2y-3z=0z的一组基及维数的一组基及维数.第四章第四章第四章第四章 n n维向量维向量维向量维向量 4.34.3基和维数基和维数基和维数基和维数我们还将会介绍更一般的我们还将会介绍更一般的求解齐次方求解齐次方程组解空间基程组解空间基的方法。的方法。例例 假设向量组假设向量组 1 =(1,2,-1), 2 =(2,-1,3), 3 = (3,1,2), 试求子空间试求子空间L( 1, 2, 3)的一的一组基及维数组基及维数. 例例 假设矩阵假设矩阵试求矩阵试求矩阵A 的列空间的列空间的一组基及维数的一组基及维数.1 2 32 -1 1-1 3 2A = .联系上例，即可得答案联
8、系上例，即可得答案.第四章第四章第四章第四章 n n维向量维向量维向量维向量 4.34.3基和维数基和维数基和维数基和维数三三. 向量在基下的坐标向量在基下的坐标 设设 1, 2, , r是是V 的一组基的一组基, 由定义由定义, V, 唯一唯一的一组有序实数的一组有序实数 k1, k2, , kr使得使得 = k1 1+k2 2+kr r . 称称 k1, k2, , krT为为 在在 1, 2, , r 这组这组基下的基下的坐标坐标. 例例 假设向量组假设向量组 1 =(1,2,-1), 2 =(2,-1,3), 3 = (3,1,2), 试求试求 3 在所求的基下的坐标在所求的基下的坐标
9、.第四章第四章第四章第四章 n n维向量维向量维向量维向量 4.34.3基和维数基和维数基和维数基和维数定义定义四四. 基变换与坐标变换基变换与坐标变换 设设 1, 2, , s和和 1, 2, , s是是V 的的两组基两组基,则存在则存在s s矩阵矩阵C使使 定义定义第四章第四章第四章第四章 n n维向量维向量维向量维向量 4.34.3基和维数基和维数基和维数基和维数 1= c11 1+ c21 2 + + cs1 s , 2 =c12 1+ c22 2 + + cs2 s , s = c1s 1+ c2s 2 + + css s ,称称为为从基从基 1, 2, , r到到 1, 2, ,
10、r的的过渡矩阵过渡矩阵C = c11 , c12 , , c1s c21 , c22 , , c2s cs1 , cs2 , , css 设设 1, 2, , s和和 1, 2, , s是是V 的的两组基两组基, s s矩阵矩阵C是从是从 1, 2, , s到到 1, 2, , s 的过渡矩阵的过渡矩阵.若两组基是列相向量组若两组基是列相向量组，则有，则有 ( 1, 2, , r) = ( 1, 2, , r)C. 可以证明过渡矩阵一定是可逆的可以证明过渡矩阵一定是可逆的. (思考思考) 注：注：第四章第四章第四章第四章 n n维向量维向量维向量维向量 4.34.3基和维数基和维数基和维数基和
11、维数若两组基是行相向量组若两组基是行相向量组，则有，则有 1 2 r= CT . 1 2 r定理定理4.8 在在 2维和维和3维情形下的叙述：维情形下的叙述：(1)(1)设列向量设列向量 1 1, , 2 2和和 1 1, , 2 2 是是R R2 2的两组的两组基基, , V V 在这两组基下的坐标分别为在这两组基下的坐标分别为x x, , y y, , 则则 = = ( ( 1 1, , 2 2)x ,)x , = = ( ( 1 1, , 2 2)y.)y. ( ( 1 1, , 2 2)x = ()x = ( 1 1, , 2 2)y )y x = (x = ( 1 1, , 2 2)
12、 )-1-1 ( ( 1 1, , 2 2)y )y 为何可为何可求逆？求逆？第四章第四章第四章第四章 n n维向量维向量维向量维向量 4.34.3基和维数基和维数基和维数基和维数定理定理4.8 在在 2维和维和3维情形下的叙述：维情形下的叙述：(1)(1)设列向量设列向量 1 1, , 2 2, , 3 3和和 1 1, , 2 2, , 3 3是是R R3 3的两组基的两组基, , V V 在这两组基下的坐标分在这两组基下的坐标分别为别为x x, , y y, , 则则 = = ( ( 1 1, , 2 2, , 3 3)x ,)x , = = ( ( 1 1, , 2 2, , 3 3)
13、y.)y. ( ( 1 1, , 2 2, , 3 3)x = ()x = ( 1 1, , 2 2, , 3 3)y)yx = (x = ( 1 1, , 2 2, , 3 3) )-1-1 ( ( 1 1, , 2 2, , 3 3)y )y 第四章第四章第四章第四章 n n维向量维向量维向量维向量 4.34.3基和维数基和维数基和维数基和维数 第四章 n维向量第第4节节向量的内积向量的内积4.4 向量的内积向量的内积回回 顾顾定义三维空间中向量的内积定义三维空间中向量的内积向量的长度与夹角余弦的乘积向量的长度与夹角余弦的乘积问问：n维空间中向量的长度是什么？维空间中向量的长度是什么？ 向
14、量之间的夹角又是什么？向量之间的夹角又是什么？向量的坐标向量的坐标第四章第四章第四章第四章 n n维向量维向量维向量维向量 4.4 4.4 向量的内积向量的内积向量的内积向量的内积一一. Rn中向量的内积中向量的内积, 长度和夹角长度和夹角 1. 设 =(a1, a2, , an)T, =(b1, b2, , bn)T, 记为记为, 即即 则称实数则称实数 aibi 为向量为向量 与与 的的内积内积 .n n i i =1 =1 = aibi = T . n n i i =1 =1 第四章第四章第四章第四章 n n维向量维向量维向量维向量 4.4 4.4 向量的内积向量的内积向量的内积向量的内
15、积2. 内积的基本性质内积的基本性质 (1) 对称性对称性对称性对称性: : = = ; ; (2) (2) 线性性线性性线性性线性性: : = = k k1 1 +k k2 2 ; ; (3) (3) 0; 0; 且且且且 = = 0 0 = 0 .0 .(4) (4) (Cauchy-Schwartz(Cauchy-Schwartz不等式不等式不等式不等式) ) | | . . 考察考察y = x2 + 2x + . n n= (xai + bi)2 0 i i=1=1 = (2)2 4 0 2 . 有没有有没有其它的其它的方法？方法？第四章第四章第四章第四章 n n维向量维向量维向量维向
16、量 4.4 4.4 向量的内积向量的内积向量的内积向量的内积3. 对于对于n维实向量维实向量 , 称称 为为 的的长度长度 或或模模, 记为记为| |, 即即 4. 长度的基本性质长度的基本性质 (3) 三角不等式三角不等式: | | = = ai2 n n i i =1 =1 (1) 正定性正定性: | | 0; 且且| | = 0 = ; (2) 齐次性齐次性: |k | = |k| | (k R); | + | | | + | |. 第四章第四章第四章第四章 n n维向量维向量维向量维向量 4.4 4.4 向量的内积向量的内积向量的内积向量的内积Cauchy-SchwartzCauchy
17、-Schwartz不等式的重新表述不等式的重新表述 | | | | | | | |. |. 5. 长度为长度为1的向量称为的向量称为单位向量单位向量. 对于非零向量对于非零向量 , | | 1 是一个单位向量是一个单位向量. 单位化单位化/标准化标准化. 第四章第四章第四章第四章 n n维向量维向量维向量维向量 4.4 4.4 向量的内积向量的内积向量的内积向量的内积7. 勾股定理勾股定理 6. 设设 , Rn, 若若 0, 0, 则定义则定义 , 的的若若 = 0, 即即 = /2, 则称则称 与与 正交正交 ,记为记为 . 夹角夹角为为 = arccos | | | , 0 | + |2
18、= | |2 + | |2 ( , ). 第四章第四章第四章第四章 n n维向量维向量维向量维向量 4.4 4.4 向量的内积向量的内积向量的内积向量的内积例例. 设设 , Rn, 且且 与与 线性无关线性无关, 求常数求常数k 使使 +k 与与 正交正交.二二. 正交向量组和正交向量组和Schmidt正交化方法正交化方法 正交正交向量组向量组 标准正交标准正交向量组向量组 正交基正交基标准正交基标准正交基1. 概念概念 第四章第四章第四章第四章 n n维向量维向量维向量维向量 4.4 4.4 向量的内积向量的内积向量的内积向量的内积发现的结论发现的结论 设设 1, 2, , s是标准正交向量
19、组是标准正交向量组, 且且 = k1 1+k2 2+ks s, 则则ki = , i = 1, 2, , s. 2. 结论结论 定理定理4.10. 1, 2, , s正交正交线性无关线性无关. 定理定理4.11 每个非零的向量空间每个非零的向量空间V 都有标准都有标准 正交基正交基 .第四章第四章第四章第四章 n n维向量维向量维向量维向量 4.4 4.4 向量的内积向量的内积向量的内积向量的内积 1 = 1, SchmidtSchmidt正交化方法正交化方法( (务必掌握务必掌握) )： 2 = 2 1, s = s 1 s 1再将再将 1, 2, , s单位化得单位化得: 1 = 1 |
20、1| , 2 = 2 | 2| , , s = s | s| . 第四章第四章第四章第四章 n n维向量维向量维向量维向量 4.4 4.4 向量的内积向量的内积向量的内积向量的内积另外，从上述构造可总结：另外，从上述构造可总结： 设设 1, 2, , s线性无关线性无关(s 2), 则存则存 在一个正交向量组在一个正交向量组 1, 2, , s使得使得 1, 2, , t与与 1, 2, , t等价等价 (1 t s). 第四章第四章第四章第四章 n n维向量维向量维向量维向量 4.4 4.4 向量的内积向量的内积向量的内积向量的内积第二章第二章第二章第二章 n n维列向量维列向量维列向量维列
21、向量 2.6 2.6 内积与正交矩阵内积与正交矩阵内积与正交矩阵内积与正交矩阵 三三. 正交矩阵正交矩阵(orthogonal matrix) 1.满足足QTQ = E 或或QQT = E (即即Q 1 = QT) 的的实方方阵Q称为称为正交矩阵正交矩阵, 简称为简称为正交阵正交阵定理定理4.12. 设设Q为为n阶阶实方阵实方阵, 则下列条件等价则下列条件等价:性质性质. (1) Q为正交阵为正交阵|Q| = 1; (2) Q的行的行(列列)向量组构成向量组构成Rn的一组的一组 标准正交基标准正交基; (1) Q是是正交阵正交阵; (3) QT是是正交阵正交阵; (4) Q 1是是正交阵正交阵
22、.(2) A, B为正交阵为正交阵 AB为正交阵为正交阵.作作 业业To 4系和系和10系系: 习习题四（题四（B）20(2), 21上上交时间交时间： 12月月7日（周一日（周一）To 2系系: 习习题四（题四（B）20(2), 21, 22, 23, 24, 25(1)上交时间上交时间： 12月月8日（周二）日（周二） 说明向量组是说明向量组是线性相关线性相关的方法：的方法：1. 定义定义2. 对应的齐次方程组对应的齐次方程组Ax= 有非零解有非零解定理定理 4.1 当当s 2 时时, 向量组向量组 1, 2, , s线线 性相关性相关 存在某个存在某个 i (1 i s), 使得使得 i
23、 可以由其余可以由其余 s -1 个向量线性表示个向量线性表示. 3. 一些特殊的情形一些特殊的情形 4.一一 些些 总总 结结5. 6. 如果向量组中向量的个数大于它的秩，如果向量组中向量的个数大于它的秩，则向量组必线性相关则向量组必线性相关.7.如果矩阵的行如果矩阵的行(列列)数大于它的秩，则改数大于它的秩，则改矩阵的行矩阵的行(列列)向量组必线性相关向量组必线性相关. 定理定理 4.3 如果向量组如果向量组 1, 2, , t 可由可由 1, 2, , s 线性表示，而且线性表示，而且 t s, 则则 1, 2, , t 必定线性相关必定线性相关 (一个一个方阵可逆方阵可逆当且仅当它的行当且仅当它的行(列列)向量向量组线性无关组线性无关) .在在比较比较向量组之间的向量组之间的个数个数或或秩秩时，下列两时，下列两个结论很有用：个结论很有用：推论推论 4.1 如果向量组如果向量组 1, 2, , t 可由可由 1, 2, , s 线性表示，并且线性表示，并且 1, 2, , t 线性无关线性无关, 则则 t s .定理定理 4.5 如果向量组如果向量组 1, 2, , t 可由可由 1, 2, , s 线性表示，则线性表示，则 r 1, 2, , t r 1, 2, , s .
