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1、第3讲机械能守恒定律及其应用知知识识点点3 3机械能守恒定律及其机械能守恒定律及其应应用用1.1.机械能：机械能：_和和_统统称称为为机械能机械能, ,其中其中势势能包括能包括_和和_。2.2.机械能守恒定律：机械能守恒定律：(1)(1)内容：在只有内容：在只有_或或_做功的物体系做功的物体系统统内内, ,动动能能与与势势能可以相互能可以相互转转化化, ,而而总总的机械能的机械能_。动动能能势势能能重力重力势势能能弹弹性性势势能能重力重力弹弹力力保持不保持不变变(2)(2)常用的三种表达式。常用的三种表达式。守恒式：守恒式：E E1 1=E=E2 2或或_。(E(E1 1、E E2 2分分别别
2、表示系表示系统统初末状初末状态时态时的的总总机械能机械能) )转转化式：化式：EEk k=_=_或或EEk k增增=_=_。( (表示系表示系统势统势能能的减少量等于的减少量等于动动能的增加量能的增加量) )转转移式：移式：EEA A=_=_或或EEA A增增=_=_。( (表示系表示系统统只只有有A A、B B两物体两物体时时,A,A增加的机械能等于增加的机械能等于B B减少的机械能减少的机械能) )E Ek1k1+E+Ep1p1=E=Ek2k2+E+Ep2p2- -EEp pEEp p减减-E-EB BEEB B减减如如图图所示所示, ,质质量量为为m m1 1、m m2 2(m(m1 1
3、mm,Mm,不不计计摩擦摩擦, ,系系统统由静止开始由静止开始运运动过动过程中程中( () )A.MA.M、m m各自的机械能分各自的机械能分别别守恒守恒B.MB.M减少的机械能等于减少的机械能等于m m增加的机械能增加的机械能C.MC.M减少的重力减少的重力势势能等于能等于m m增加的重力增加的重力势势能能D.MD.M和和m m组组成的系成的系统统机械能守恒机械能守恒【解析解析】选选B B、D D。M M下落过程中下落过程中, ,绳的拉力对绳的拉力对M M做负功做负功,M,M的机械能减少的机械能减少;m;m上升过程上升过程, ,绳的拉力对绳的拉力对m m做正功做正功,m,m的机的机械能增加械
4、能增加,A,A错误。对于错误。对于M M、m m组成的系统组成的系统, ,机械能守恒机械能守恒, ,易得易得B B、D D正确。正确。M M减少的重力势能并没有全部用于减少的重力势能并没有全部用于m m重重力势能的增加力势能的增加, ,还有一部分转变成还有一部分转变成M M、m m的动能的动能, ,所以所以C C错错误。误。考点考点3 3 多个物体的机械能守恒多个物体的机械能守恒多个物体多个物体组组成的系成的系统统机械能守恒机械能守恒问题问题的解的解题题思路：思路：(1)(1)首先分析多个物体首先分析多个物体组组成的系成的系统统所受的外力是否只有所受的外力是否只有重力做功重力做功, ,内力是否
5、造成了机械能与其他形式能的内力是否造成了机械能与其他形式能的转转化化, ,从而判断系从而判断系统统机械能是否守恒。机械能是否守恒。(2)(2)若系若系统统机械能守恒机械能守恒, ,则则机械能从一个物体机械能从一个物体转转移到另一移到另一个物体个物体,E,E1 1=-E=-E2 2, ,一个物体机械能增加一个物体机械能增加, ,则则一定有另一一定有另一个物体机械能减少。个物体机械能减少。【特特别别提醒提醒】分析多物体分析多物体组组成的系成的系统统机械能守恒的三点注意机械能守恒的三点注意(1)(1)系系统统内力做功是否造成系内力做功是否造成系统统机械能的机械能的转转化。化。(2)(2)注意注意寻寻
6、找用找用绳绳或杆相或杆相连连接的物体接的物体间间的速度关系和位移的速度关系和位移关系。关系。(3)(3)列机械能守恒方程列机械能守恒方程时时, ,可可选选用用EE1 1=E=E2 2(E(E1 1、E E2 2分分别别表表示系示系统统初末状初末状态时态时的的总总机械能机械能) )或或EEk k=-=-EEp p的形式。的形式。【典例典例2 2】( (多多选选)(2015)(2015全国卷全国卷)如如图图, ,滑滑块块a a、b b的的质质量量均均为为m,am,a套在固定套在固定竖竖直杆上直杆上, ,与光滑水平地面相距与光滑水平地面相距h,bh,b放放在地面上在地面上,a,a、b b通通过铰链过
7、铰链用用刚刚性性轻轻杆杆连连接接, ,由静止开始运由静止开始运动动。不。不计计摩擦摩擦,a,a、b b可可视为质视为质点点, ,重力加速度大小重力加速度大小为为g,g,则则( () )A.aA.a落地前落地前, ,轻轻杆杆对对b b一直做正功一直做正功B.aB.a落地落地时时速度大小速度大小为为C.aC.a下落下落过过程中程中, ,其加速度大小始其加速度大小始终终不大于不大于g gD.aD.a落地前落地前, ,当当a a的机械能最小的机械能最小时时,b,b对对地面的地面的压压力大小力大小为为mgmg【过过关关题组题组】1.(1.(多多选选)(2016)(2016汕汕头头模模拟拟) )如如图图,
8、 ,直立直立弹弹射装置的射装置的轻质弹轻质弹簧簧顶顶端原来在端原来在O O点点,O,O与管与管口口P P的距离的距离为为2x2x0 0, ,现现将一个重力将一个重力为为mgmg的的钢钢珠置于珠置于弹弹簧簧顶顶端端, ,再把再把弹弹簧簧压缩压缩至至M M点点, ,压缩压缩量量为为x x0 0。释释放放弹弹簧后簧后钢钢珠被珠被弹弹出出, ,钢钢珠运珠运动动到到P P点点时时的的动动能能为为4mgx4mgx0 0, ,不不计计一切阻力一切阻力, ,下列下列说说法中正确的是法中正确的是( () )A.A.弹弹射射过过程程, ,弹弹簧和簧和钢钢珠珠组组成的系成的系统统机械能守恒机械能守恒B.B.弹弹簧恢
9、复原簧恢复原长时长时, ,弹弹簧的簧的弹弹性性势势能全部能全部转转化化为钢为钢珠的珠的动动能能C.C.钢钢珠珠弹弹射所到达的最高点距管口射所到达的最高点距管口P P的距离的距离为为7x7x0 0D.D.弹弹簧被簧被压缩压缩至至M M点点时时的的弹弹性性势势能能为为7mgx7mgx0 02.(2.(多多选选)(2016)(2016绵绵阳模阳模拟拟) )如如图图所示所示, ,倾倾角角为为3030、高、高为为L L的固定斜面底端与的固定斜面底端与光滑水平面平滑相光滑水平面平滑相连连, ,质质量分量分别为别为3m3m、m m的两个小球的两个小球A A、B B用一根用一根长为长为L L的的轻绳连轻绳连接
10、接,A,A球置于斜面球置于斜面顶顶端。端。现现由静止由静止释释放放A A、B B两球两球,B,B球与弧形球与弧形挡挡板碰撞板碰撞过过程程时间时间极短极短, ,无机械能无机械能损损失失, ,且碰后只能沿斜面下滑且碰后只能沿斜面下滑, ,两球最两球最终终均滑到水平面均滑到水平面上。已知重力加速度上。已知重力加速度为为g,g,不不计计一切摩擦一切摩擦, ,则则( () )A.AA.A球球刚刚滑至水平面滑至水平面时时的速度大小的速度大小为为B.BB.B球球刚刚滑至水平面滑至水平面时时的速度大小的速度大小为为C.C.在在A A球沿斜面下滑的球沿斜面下滑的过过程中程中, ,轻绳对轻绳对B B球先做正功、后
11、球先做正功、后不做功不做功D.D.两小球在水平面上不可能相撞两小球在水平面上不可能相撞【解析解析】选选A A、C C。B B球运动至斜面顶端的过程球运动至斜面顶端的过程, ,两个小两个小球球A A、B B系统机械能守恒系统机械能守恒, ,则则3mg3mg L- L-mgLmgL= (3m+m)v= (3m+m)v2 2, ,解得解得v=v= , ,此后绳中无张力。此后绳中无张力。A A球运动至水平面过程球运动至水平面过程对对A A由机械能守恒定律得由机械能守恒定律得3mg3mg L= (3m) L= (3m)v vA A2 2- (3m)v- (3m)v2 2, ,解得解得v vA A= ,=
12、 ,故故A A正确正确;B;B球运动至水平面过程对球运动至水平面过程对B B由机由机械能守恒定律得械能守恒定律得mgmgL L= m= mv vB B2 2- mv- mv2 2, ,解得解得v vB B= ,= ,故故B B错误错误;B;B球在上升过程轻绳对球在上升过程轻绳对B B球做正功球做正功, ,二者一起沿二者一起沿斜面下滑时斜面下滑时, ,轻绳张力为零轻绳张力为零, ,不做功不做功, ,故故C C正确正确; ;两个小球两个小球A A、B B运动到水平面上运动到水平面上, ,由于后面的由于后面的B B球速度大于球速度大于A A球速度球速度, ,所以小球所以小球A A、B B在水平面上会
13、相撞在水平面上会相撞, ,故故D D错误。错误。3.3.如如图图所示所示, ,左左侧为侧为一个半径一个半径为为R R的半球形的碗固定在的半球形的碗固定在水平桌面上水平桌面上, ,碗口水平碗口水平,O,O点点为为球心球心, ,碗的内表面及碗口光碗的内表面及碗口光滑。右滑。右侧侧是一个固定光滑斜面是一个固定光滑斜面, ,斜面足斜面足够长够长, ,倾倾角角=30=30。一根不可伸。一根不可伸长长的不的不计质计质量的量的细绳细绳跨在碗口及跨在碗口及光滑斜面光滑斜面顶顶端的光滑定滑端的光滑定滑轮轮两端上两端上, ,绳绳的两端分的两端分别别系有系有可看作可看作质质点的小球点的小球m m1 1和和m m2
14、2, ,且且m m1 1mm2 2。开始。开始时时m m1 1恰在右端恰在右端碗口水平直径碗口水平直径A A处处,m,m2 2在斜面上且距离斜面在斜面上且距离斜面顶顶端足端足够远够远, ,此此时连时连接两球的接两球的细绳细绳与斜面平行且恰好伸直。当与斜面平行且恰好伸直。当m m1 1由由静止静止释释放运放运动动到到圆圆心心O O的正下方的正下方B B点点时细绳时细绳突然断开突然断开, ,不不计细绳计细绳断开瞬断开瞬间间的能量的能量损损失。失。(1)(1)求小球求小球m m2 2沿斜面上升的最大距离沿斜面上升的最大距离s s。(2)(2)若已知若已知细绳细绳断开后小球断开后小球m m1 1沿碗的
15、内沿碗的内侧侧上升的最大高上升的最大高度度为为 , ,求求 。【解析解析】(1)(1)设重力加速度为设重力加速度为g,g,小球小球m m1 1到达最低点到达最低点B B时时m m1 1、m m2 2的速度大小分别为的速度大小分别为v v1 1、v v2 2, ,由运动的合成与分解得由运动的合成与分解得v v1 1= v= v2 2对对m m1 1、m m2 2系统由机械能守恒定律得系统由机械能守恒定律得 由几何关系得由几何关系得h= Rsin30h= Rsin30设细绳断后设细绳断后m m2 2沿斜面上升的距离为沿斜面上升的距离为s s,对对m m2 2由机械能由机械能守恒定律得守恒定律得m
16、m2 2g gs ssin30sin30= = 小球小球m m2 2沿斜面上升的最大距离沿斜面上升的最大距离s s= = R+sR+s 联立得联立得s s= = (2)(2)对小球对小球m m1 1由机械能守恒定律得由机械能守恒定律得 联立联立式得式得 答案：答案：(1) (1) (2)(2)【回回顾顾空空间间】1.1.请请写出以上三写出以上三题题机械能守恒的系机械能守恒的系统统：第第1 1题题_,_,第第2 2题题_,_,第第3 3题题_。2.2.请请写出第写出第3 3题题的解答思路：的解答思路：(1)(1)小球小球m m1 1到达到达B B点点时时, ,将将m m1 1的速度的速度v v1
17、 1沿沿绳绳和垂直和垂直绳绳的的方向分解方向分解, ,可得可得m m2 2的速度的速度v v2 2与与v v1 1的关系的关系为为_。弹弹簧和簧和钢钢珠珠A A球和球和B B球球小球小球m m1 1和和小球小球m m2 2(2)(2)小球小球m m1 1由静止运由静止运动动到到B B点的点的过过程程,m,m1 1、m m2 2组组成的系成的系统统_。(3)(3)绳绳断开后断开后, ,小球小球m m1 1运运动动的的过过程程, ,只有只有_做功做功, ,机械机械能能_;_;小球小球m m2 2运运动动的的过过程程, ,只有只有_做功做功, ,机械能机械能_。机械能守恒机械能守恒重力重力守恒守恒重
18、力重力守恒守恒【加固加固训练训练】如如图图所示所示, ,物物块块A A的的质质量量为为M,M,物物块块B B、C C的的质质量量都是都是m,m,并都可看作并都可看作质质点点, ,且且mM2mmM m,M m,即即 。答案：答案：(1)(1) (2) (2) 考点考点4 4 机械能守恒中的机械能守恒中的轻轻杆模型杆模型【典例典例3 3】轻轻杆可杆可绕绕其一端其一端为轴为轴自由自由转动转动, ,在杆的中点和另一端分在杆的中点和另一端分别别固定固定质质量相同的量相同的小球小球A A、B,B,如如图图所示所示, ,将杆从水平位置由静将杆从水平位置由静止止释释放放, ,当杆当杆转动转动到到竖竖直位置直位
19、置时时, ,小球小球B B突然脱落突然脱落, ,以下以下说说法正确的是法正确的是( () )A.AA.A球仍能球仍能摆摆到水平位置到水平位置B.AB.A球不能球不能摆摆到水平位置到水平位置C.C.两球下两球下摆摆至至竖竖直位置的直位置的过过程中程中,A,A球的机械能守恒球的机械能守恒D.D.两球下两球下摆摆至至竖竖直位置的直位置的过过程中程中,B,B球的机械能减少球的机械能减少【思路点拨思路点拨】(1)(1)两球由静止转到竖直位置的过程两球由静止转到竖直位置的过程, ,系统只有重力和系统只有重力和系统内弹力做功系统内弹力做功, ,可列机械能守恒方程求出两球的速度。可列机械能守恒方程求出两球的速
20、度。(2)(2)判断两球下摆过程机械能是否守恒可分别对两球列判断两球下摆过程机械能是否守恒可分别对两球列动能定理方程求出杆对两球做的功。动能定理方程求出杆对两球做的功。【解析解析】选选B B。设当杆转到竖直位置时。设当杆转到竖直位置时,A,A球和球和B B球的速球的速度分别为度分别为v vA A和和v vB B。由系统机械能守恒可得：。由系统机械能守恒可得：mgL+mg2LmgL+mg2L= = , ,又因又因A A球和球和B B球在各个时刻对应的角球在各个时刻对应的角速度相同速度相同, ,故故v vB B=2v=2vA A, ,由由式得：式得： 根据动能定理根据动能定理, ,可解出杆对可解出
21、杆对A A、B B做的功。对于做的功。对于A A有：有：W WA A+ +mgLmgL= -0,= -0,即即W WA A=-0.4mgL,=-0.4mgL,对于对于B B有：有：W WB B+mg2L=+mg2L=-0,-0,即即W WB B=0.4mgL=0.4mgL。由做功情况可知：。由做功情况可知：A A球的机械能减少球的机械能减少, ,B B球的机械能增大球的机械能增大, ,小球小球B B脱离脱离, ,小球小球A A不能摆到水平位置不能摆到水平位置, ,选项选项B B正确正确,A,A、C C、D D错误。错误。【迁移迁移训练训练】迁移迁移1 1：改：改变变小球小球的的质质量和量和转轴
22、转轴的位置的位置( (多多选选) )将将【典例典例3 3】中中A A球和球和转轴转轴O O的位的位置互置互换换, ,并将并将B B球的球的质质量增量增为为原来的原来的2 2倍倍, ,如如图图所示所示, ,把杆置于水平位置后把杆置于水平位置后释释放放, ,在在B B球球顺时针摆动顺时针摆动到最低位置的到最低位置的过过程中程中( (不不计计一切摩一切摩擦擦)()() )A.BA.B球的重力球的重力势势能减少能减少, ,动动能增加能增加,B,B球和地球球和地球组组成的系成的系统统机械能守恒机械能守恒B.AB.A球的重力球的重力势势能增加能增加, ,动动能也增加能也增加,A,A球和地球球和地球组组成的
23、系成的系统统机械能不守恒机械能不守恒C.AC.A球、球、B B球和地球球和地球组组成的系成的系统统机械能守恒机械能守恒D.AD.A球、球、B B球和地球球和地球组组成的系成的系统统机械能不守恒机械能不守恒【解析解析】选选B B、C C。A A球在上摆过程中球在上摆过程中, ,重力势能增加重力势能增加, ,动动能也增加能也增加, ,机械能增加机械能增加,B,B项正确项正确; ;由于由于A A球、球、B B球和地球球和地球组成的系统只有重力做功组成的系统只有重力做功, ,故系统的机械能守恒故系统的机械能守恒,C,C项正项正确确,D,D项错误项错误;B;B球部分机械能转移给球部分机械能转移给A A球
24、球, ,所以所以B B球和地球球和地球组成系统的机械能一定减少组成系统的机械能一定减少,A,A项错误。项错误。迁移迁移2 2：将：将轻轻杆杆换换成成轻绳轻绳( (多多选选) )将将【典例典例3 3】中的中的轻轻杆杆换换成成轻绳轻绳, ,如如图图所示所示, ,将将细绳细绳拉到水平位置由静止拉到水平位置由静止释释放放, ,下下摆过摆过程中程中, ,以下以下说说法正确的法正确的是是( () )A.AA.A、B B两球与两球与O O点保持在一条直点保持在一条直线线上上B.AB.A、B B两球与两球与O O点不在一条直点不在一条直线线上上C.AC.A、B B间间的的细绳对细绳对A A球做正功球做正功D.
25、AD.A、B B间间的的细绳对细绳对A A球做球做负负功功【解析解析】选选B B、D D。假设。假设A A、B B两球互不影响两球互不影响, ,当向下摆动当向下摆动时时,A,A、B B两球的摆动角速度分别为两球的摆动角速度分别为1 1、2 2则有则有mgLsinmgLsin= = mg2Lmg2Lsinsin= = 解得解得 因此得因此得1 1 2 2, ,故故A A球下摆较快球下摆较快, ,A A、B B两球与两球与O O点不在一条直线上点不在一条直线上, ,且且A A、B B间细绳与间细绳与A A球运球运动的方向为钝角动的方向为钝角, ,故故A A、B B间的细绳对间的细绳对A A球做负功
26、球做负功,B,B、D D正正确。确。迁移迁移3 3：小球用小球用轻绳连轻绳连接并跨接并跨过过光滑光滑圆圆柱柱将将【典例典例3 3】中中A A球的球的质质量增量增为为原来的原来的2 2倍倍, ,并将并将轻轻杆杆换换成成轻绳轻绳, ,如如图图所示所示轻绳轻绳跨跨过过固固定在地面上半径定在地面上半径为为R R的光滑的光滑圆圆柱。当柱。当B B位于地面位于地面时时,A,A恰恰与与圆圆柱柱轴轴心等高。将心等高。将A A由静止由静止释释放放,B,B上升的最大高度是上升的最大高度是(A(A、B B两球均两球均视为质视为质点点)()() )【解析解析】选选C C。如图所示如图所示, ,以以A A、B B两球两
27、球为系统为系统, ,以地面为零势能面以地面为零势能面, ,设设A A质量质量为为2m,B2m,B质量为质量为m,m,根据机械能守恒定律根据机械能守恒定律有：有：2mgR=2mgR=mgRmgR+ + 3mv3mv2 2,A,A落地后落地后B B将以速度将以速度v v做竖直上做竖直上抛运动抛运动, ,即有即有 mvmv2 2= =mghmgh, ,解得解得h= R,h= R,则则B B上升的高度为上升的高度为R+ R= R,R+ R= R,故选项故选项C C正确。正确。【加固加固训练训练】如如图图所示所示, ,在在长为长为L L的的轻轻杆中点杆中点A A和端和端点点B B处处各固定一各固定一质质
28、量量为为m m的球的球, ,杆可杆可绕绕无摩擦的无摩擦的轴轴O O转动转动, ,使杆从水平位置使杆从水平位置无初速度无初速度释释放放摆摆下。求当杆下。求当杆转转到到竖竖直位置直位置时时, ,轻轻杆杆对对A A、B B两球分两球分别别做了多少功做了多少功? ?【解析解析】设当杆转到竖直位置时设当杆转到竖直位置时,A,A球和球和B B球的速度分别球的速度分别为为v vA A和和v vB B。如果把轻杆、地球、两球构成的系统作为研。如果把轻杆、地球、两球构成的系统作为研究对象究对象, ,那么由于杆和球的相互作用力做功总和等于零那么由于杆和球的相互作用力做功总和等于零, ,故系统机械能守恒。若取故系统机械能守恒。若取B B的最低点为零重力势能参考的最低点为零重力势能参考平面平面, ,可得可得 又因又因A A球与球与B B球在各个时刻对应的角速度相同球在各个时刻对应的角速度相同, ,故故v vB B=2v=2vA A由以上两式得由以上两式得 根据动能定理根据动能定理, ,可解出杆对可解出杆对A A球、球、B B球做的功球做的功, ,对于对于A A球有球有 所以所以W WA A=-0.2mgL=-0.2mgL对于对于B B球有球有W WB B+mgL+mgL= = 所以所以W WB B=0.2mgL=0.2mgL答案：答案：-0.2mgL-0.2mgL0.2mgL0.2mgL
