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1、九年级上学期期末考前训练- 1如图，抛物线和与 x轴交于 A、B两点（A在 B的左侧） ，与 y轴交于点 N，过 A点的直线 l：ykxn与 y轴交于点 C，与抛物线2yxbx c的另一个交点为 D，已知( 1,0)(5,6)AD，P 点为抛物线2yxbx c上一动点（不与 A、D重合） （1）求抛物线和直线 l的解析式； （2） 当点P在直线l上方的抛物线上时， 过P点作PEx轴交直线l于点E， 作/ /PFy轴交直线l于点F， 求PE PF的最大值； （3） 设 M 为直线 l上的点， 探究是否存在点 M， 使得以点 N、 C， M、 P 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点 M的坐
2、标；若不存在，请说明理由 2已知二次函数 y=ax2+bx3a经过点 A（1，0） 、C（0，3） ，与 x轴交于另一点 B，抛物线的顶点为 D， （1）求此二次函数解析式； （2）连接 DC、BC、DB，求证：BCD 是直角三角形； （3） 在对称轴右侧的抛物线上是否存在点 P， 使得PDC为等腰三角形？若存在， 求出符合条件的点 P的坐标；若不存在，请说明理由 3如图，直线 AB 和抛物线的交点是 A（0，3） ，B（5，9） ，已知抛物线的顶点 D的横坐标是 2 （1）求抛物线的解析式及顶点坐标； （2）在 x轴上是否存在一点 C，与 A，B组成等腰三角形？若存在，求出点 C的坐标，若不
3、在，请说明理由； （3）在直线 AB的下方抛物线上找一点 P，连接 PA，PB 使得PAB的面积最大，并求出这个最大值 4在平面直角坐标系中，将二次函数20yax a的图象向右平移 1个单位，再向下平移 2 个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与x轴交于点A、B(点A在点B的左侧)，1OA ，经过点A的一次函数0ykx b k的图象与y轴正半轴交于点C，且与抛物线的另一个交点为D，ABD的面积为 5 (1)求抛物线和一次函数的解析式； (2)抛物线上的动点E在一次函数的图象下方，求ACE面积的最大值，并求出此时点 E的坐标； (3)若点P为x轴上任意一点，在(2)的结论下，求35PEPA的最
4、小值 5已知：抛物线y1=x2+bx+3与轴分别交于点 A（-3，0） ，B（m，0） 将 y1向右平移 4个单位得到 y2 （1）求 b 的值； （2）求抛物线 y2的表达式； （3）抛物线 y2与轴交于点 D，与轴交于点 E、F（点 E 在点 F的左侧） ，记抛物线在 D、F之间的部分为图象 G（包含 D、F两点） ，若直线与图象 G有一个公共点，请结合函数图象，求直线与抛物线 y2的对称轴交点的纵坐标 t的值或取值范围 6在平面直角坐标系中，已知抛物线 yx22ax+4a+2（a是常数） ， （）若该抛物线与 x 轴的一个交点为（1，0） ，求 a的值及该抛物线与 x轴另一交点坐标； （
5、）不论 a 取何实数，该抛物线都经过定点 H 求点 H 的坐标； 证明点 H是所有抛物线顶点中纵坐标最大的点 7如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线22y axx c与直线ykxb都经过(0,3)A、(3, 0)B两点，该抛物线的顶点为 C （1）求此抛物线和直线AB的解析式； （2）设直线AB与该抛物线的对称轴交于点 E，在射线EB上是否存在一点 M，过 M作 x轴的垂线交抛物线于点 N，使点 M、N、C、E是平行四边形的四个顶点？若存在，求点 M的坐标；若不存在，请说明理由； （3）设点 P是直线AB下方抛物线上的一动点，当PAB面积最大时，求点 P的坐标，并求PAB面积的最大值 8
6、抛物线 yax2+bx+3经过点 A（1，0） ，B（3，0） ，与 y轴交于点 C点 D（xD，yD）为抛物线上一个动点，其中 1xD3连接 AC，BC，DB，DC （1）求该抛物线的解析式； （2）当BCD 的面积等于AOC的面积的 2倍时，求点 D的坐标； （3）在（2）的条件下，若点 M 是 x轴上一动点，点 N 是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点 M，使得以点 B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形若存在，求出点 M的坐标；若不存在，请说明理由 9已知二次函数223yaxax的最大值为 4，且该抛物线与y轴的交点为C，顶点为D. （1）求该二次函数的解析式及点C，D的坐标；
7、（2）点( ,0)P t是x轴上的动点， 求PC PD的最大值及对应的点P的坐标； 设(0, 2 )Qt是y轴上的动点，若线段PQ与函数2| |23ya xa x的图像只有一个公共点，求t的取值范围. 10在平面直角坐标系中，抛物线 yx2+bx+c 经过点 A、B，C，已知 A（1，0） ，C（0，3） （1）求抛物线的解析式； （2）如图 1，P 为线段 BC上一动点，过点 P作 y轴的平行线，交抛物线于点 D，是否存在这样的 P点，使线段PD 的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由； （3）如图 2，抛物线的顶点为 E，EFx轴于点 F，N是直线 EF上一动点，M（m
8、，0）是 x 轴一个动点，请直接写出 CN+MN+12MB 的最小值以及此时点 M、N的坐标，直接写出结果不必说明理由 答案解析： 1解： （1）将点 A、D的坐标代入直线表达式得：056knkn ，解得：11kn ， 故直线 l的表达式为：1yx-， 将点 A、D的坐标代入抛物线表达式， 同理可得抛物线的表达式为：234yxx； （2）直线 l的表达式为：1yx，则直线 l与 x 轴的夹角为45， 即：则PE PF， 设点 P 坐标为234xxx（ ，）、则点1F xx （ ，）， 22223412218PEPFPFxxxx（）（）， 20 ，故PE PF有最大值， 当2x时，其最大值为 1
9、8； （3）由题意得，5NC， 当 NC是平行四边形的一条边时， 设点 P 坐标为234xxx（ ，）、则点1M xx（ ，）， 由题意得：| 5MPyy，即：234| 15| xxx ， 解得214x 或 0或 4（舍去 0此时 M和 C 重合） ， 则点 M 坐标为(214, 314) 或(214, 314) 或45（ ，）； 当NC是平行四边形的对角线时， 则 NC的中点坐标为30,2， 设点 P 坐标为234mmm（，）、则点1M nn（ ， ）， N、C，M、P 为顶点的四边形为平行四边形，则 NC的中点即为 PM 中点， 即：2m33410,222nmmn ， 解得：0n或4（舍去
10、 0此时 M 和 C重合） ， 故点4 3M （，）； 故点M 的坐标为：(214, 314) 或(214, 314) 或45（ ，）或4 3（， ） 2 （1） 二次函数 y=ax2+bx3a 经过点 A （1， 0） 、 C （0， 3） ， 将 A （1， 0） 、 C （0， 3） ， 代入， 得3033abaa ，解得12ab ，抛物线的解析式为 y=x2+2x+3； （2）如图，连接 DC、BC、DB，由 y=x2+2x+3=（x1）2+4 得，D 点坐标为（1，4） ，CD=22(10)(43)=2，BC=2233=32，BD=22(31)(40)=25，CD2+BC2=（2）2
11、+（32）2=20，BD2=（25）2=20，CD2+BC2=BD2，BCD 是直角三角形； （3） y=x2+2x+3 对称轴为直线 x=1 假设存在这样的点 P,以 CD 为底边， 则 P1D=P1C， 设 P1点坐标为 （x，y） ，根据勾股定理可得 P1C2=x2+（3y）2，P1D2=（x1）2+（4y）2，因此 x2+（3y）2=（x1）2+（4y）2，即 y=4x又 P1点（x，y）在抛物线上，4x=x2+2x+3，即 x23x+1=0，解得 x1=352，x2=3521，(不满足在对称轴右侧应舍去） ，x=352，y=4x=552，即点 P1坐标为（352，552） 以 CD
12、为一腰，点 P2在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线对称性知，点 P2与点 C 关于直线 x=1 对称，此时点P2坐标为（2，3） 符合条件的点 P 坐标为（352，552）或（2，3） 3 （1）21248355yxx，顶点 D（2，635） ； （2）C（4 10，0）或（5222，0）或（9710，0） ；（3）752 （1）抛物线的顶点D的横坐标是 2，则x2ba 2，抛物线过A（0，3） ，则：函数的表达式为：y=ax2+bx3，把B点坐标代入上式得：9=25a+5b3，联立、解得：a125，b485 ，c=3，抛物线的解析式为：y125x2485x3 当x=2 时，y635 ，即顶点D
13、的坐标为（2，635） ； （2）A（0，3） ，B（5，9） ，则AB=13，设点C坐标（m，0） ，分三种情况讨论： 当AB=AC时，则： （m）2+（3）2=132，解得：m=410，即点C坐标为： （410，0）或（410，0） ； 当AB=BC时，则： （5m）2+92=132，解得：m=5222，即：点C坐标为（5222，0）或（5222，0） ； 当AC=BC时，则：5m）2+92=（m）2+（3）2，解得：m=9710，则点C坐标为（9710，0） 综上所述：存在，点C的坐标为： （410，0）或（5222，0）或（9710，0） ； （3）过点P作y轴的平行线交AB于点H设直
14、线AB的表达式为y=kx3，把点B坐标代入上式，9=5k3，则k125，故函数的表达式为：y125x3，设点P坐标为（m，125m2485m3） ，则点H坐标为（m，125m3） ，SPAB12PHxB52（125m2+12m）=6m2+30m=25756()22m，当m=52时，SPAB取得最大值为：752 答：PAB的面积最大值为752 4 解：(1)将二次函数20yax a的图象向右平移 1 个单位，再向下平移 2个单位，得到的抛物线解析式为212ya x， 1OA ，点A的坐标为1,0， 代入抛物线的解析式得，420a，12a ， 抛物线的解析式为21122yx，即21322yxx 令
15、0y ，解得11x ，23x ， 3,0B， 4ABOAOB， ABD的面积为 5，152ABDDSAB y，52Dy， 代入抛物线解析式得，2513222xx，解得12x ，24x ，54,2D， 设直线AD的解析式为ykxb， 5420kbkb ，解得：1212kb， 直线AD的解析式为1122yx (2)过点E作EMy轴交AD于M，如图，设213,22E aaa，则11,22M aa， 221113132222222EMaaaaa ， 112ACEAMECMESSSEM22113121342224aaaa ，213254216a ， 当32a 时，ACE的面积有最大值，最大值是2516，
16、此时E点坐标为315,28 (3)作E关于x轴的对称点F，连接EF交x轴于点G，过点F作FHAE于点H，交x轴于点P， 315,28E，1OA ， 35122AG ，158EG ，5421538AGEG， 90AGEAHP ， 3sin5PHEGEAGAPAE，35PHAP， E、F关于x轴对称，PEPF， 35PEAPFPHPFH，此时FH最小， 1515284EF ，AEGHEF， 4sinsin5AGFHAEGHEFAEEF， 415354FH 35PEPA的最小值是 3 5 解： （1）把 A（-3，0）代入 y1=x2+bx+3 得：9-3b+3=0， 解得：b=4， y1的表达式为
17、：y=x2+4x+3； （2）将 y1变形得：y1=（x+2）2-1 据题意 y2=（x+2-4）2-1=（x-2）2-1=x2-4x+3； 抛物线 y2的表达式为 y=x2-4x+3； （3）y2=（x-2）2-1， 对称轴是 x=2，顶点为（2，-1） ； 当 y2=0 时，x=1 或 x=3， E（1，0） ，F（3，0） ，D（0，3） ， 直线 y=kx+k-1 过定点（-1，-1） 当直线 y=kx+k-1 与图象 G有一个公共点时，t=-1， 当直线 y=kx+k-1 过 F（3，0）时，3k+k-1=0， 解得：k=14， 直线解析式为 y=14x-34， 把 x=2代入=14
18、x-34，得：y=-14， 当直线过 D（0，3）时，k-1=3， 解得：k=4， 直线解析式为 y=4x+3， 把 x=2代入 y=4x+3得：y=11，即 t=11， 结合图象可知 t=-1，或14t11 6 （）抛物线 yx22ax+4a+2与 x 轴的一个交点为（1，0） ， 0（1）22a（1）+4a+2， 解得，a12， yx2+xx（x+1） ， 当 y0 时，得 x10，x21， 即抛物线与 x轴另一交点坐标是（0，0） ； （）抛物线 yx22ax+4a+2x2+22a（x2） ， 不论 a 取何实数，该抛物线都经过定点（2，6） ， 即点 H的坐标为（2，6） ； 证明：抛
19、物线 yx22ax+4a+2（xa）2（a2）2+6， 该抛物线的顶点坐标为（a，（a2）2+6） ， 则当 a2时，（a2）2+6取得最大值 6， 即点 H是所有抛物线顶点中纵坐标最大的点 7 解： （1）抛物线22y axx c经过(0,3)A、(3, 0)B两点， 9603acc ， 13ac ， 抛物线的解析式为223y xx， 直线ykxb经过(0,3)A、(3, 0)B两点， 303kbb ，解得：k1b3 ， 直线AB的解析式为3yx， （2）2223(1)4yxxx， 抛物线的顶点 C 的坐标为(1,4)， / /CEy轴， (1,2)E， 2CE ， 如图，若点 M 在 x
20、轴下方，四边形CEMN为平行四边形，则CEMN， 设( ,3)M a a ，则2( ,23)N a aa， 223 (23)3MN aaaaa ， 232aa， 解得：2a ，1a（舍去） ， (2,1)M， 如图，若点 M 在 x 轴上方，四边形CENM为平行四边形，则CEMN， 设( ,3)M a a ，则2( ,23)N a aa， 2223 (3)3MN aaaaa ， 232aa， 解得：3172a，3172a（舍去） ， 317317(,)22M ， 综合可得 M 点的坐标为(2, 1)或317317(,)22 （3）如图，作/ /PGy轴交直线AB于点 G， 设2( ,23)P
21、m mm，则(,3)G m m ， 223 (23)3PG mmmmm ， 22211393327(3)3()2222228PABPGAPGBSSSPG OBmmmmm ， 当32m 时，PAB面积的最大值是278，此时 P 点坐标为33(,)22 8 解： （1）抛物线 yax2+bx+3 经过点 A（1，0） ，B（3，0） ， 309330abab， 解得： 12ab 抛物线的解析式为 yx2+2x+3； （2）如图，过点 D作 DHx轴，与直线 BC交于点 E， 抛物线 yx2+2x+3，与 y轴交于点 C， 点 C（0，3） ， OC3， SAOC121332， 点 B（3，0） ，
22、点 C（0，3） 直线 BC解析式为 yx+3， 点 D（xD，yD） ， 点 E（xD，xD+3） ，yDxD2+2xD+3， DExD2+2xD+3（xD+3）xD2+3xD， SBCD312DE3， BCD 的面积等于AOC 的面积的 2 倍 2xD2+3xD， xD1（舍去） ，xD2， 点 D坐标（2，3） ； （3）设点 M（m，0） ，点 N（x，y） 当 BD 为边，四边形 BDNM 是平行四边形， BN 与 DM互相平分， 30022y， 2322mx y3， 3x2+2x+3 x2（不合题意） ，x0 点 N（0，3） 2322mx， m1， 当 BD 为边，四边形 BDM
23、N是平行四边形， BM 与 DN互相平分， 3222mx， 00322y y3， 3x2+2x+3 x17， 32 (17)22m， m7， 当 BD 为对角线， BD 中点坐标（52，32） ， 522mx， 0322y， y3， 3x2+2x+3 x2（不合题意） ，x0 点 N（0，3） m5， 综上所述点 M坐标（1，0）或（7，0）或（7，0）或（5，0） 9 解： （1）2ax12a ， 2y axax 3的对称轴为x1. 2y axax 3人最大值为 4， 抛物线过点1,4. 得a2a34， 解得a1 . 该二次函数的解析式为2yx2x 3. C点坐标为0,3，顶点D的坐标为1,
24、4. （2）PC PDCD， 当P, C, D三点在一条直线上时，PC PD取得最大值. 连接DC并延长交y轴于点P，22PC PDCD14 32. PC PD的最大值是2. 易得直线CD的方程为yx3. 把P t,0代入，得t3. 此时对应的点P的坐标为3,0. 2ya|x|2a x3的解析式可化为22x23,0,yx23,0.xxxx 设线段PQ所在直线的方程为ykxb，将P t,0，Q 0,2t的坐标代入，可得线段PQ所在直线的方程为y2x2t . （1）当线段PQ过点3,0，即点P与点3,0重合时，线段PQ与函数22x23,0,yx23,0.xxxx的图像只有一个公共点，此时t3. 当
25、t3时，线段PQ与函数22x23,0,yx23,0.xxxx的图像只有一个公共点. （2）当线段PQ过点0,3，即点Q与点C重合时，线段PQ与函数22x23,0,yx23,0.xxxx的图像只有一个公共点，此时3t2. 当线段PQ过点3,0，即点P与点3,0重合时，t3，此时线段PQ与函数22x23,0,yx23,0.xxxx的图像有两个公共点. 所以当3t32时，线段PQ与函数22x23,0,yx23,0.xxxx的图像只有一个公共点. （3）将y2x2t 带入2yx2x 3 x0，并整理，得2x4x2t30. 16 4 2t 328 8t. 令28 8t0，解得7t2. 当7t2时，线段P
26、Q与函数22x23,0,yx23,0.xxxx的图像只有一个公共点. 综上所述，t的取值范围为t3或3t32或7t2. 10 （1）y=x2+bx+c 经过点 C，则 c=3， 将点 A的坐标代入抛物线表达式：y=x2+bx+3，得：0=-1-b+3，解得：b=2， 抛物线的表达式为：y=x2+2x+3； （2）存在，理由： 令 y=0，得：x2+2x+3=0，解得：x=1或 3，故点 B（3，0） ， 设直线 BC为 y=kx+b，将点 B、C 的坐标代入得： 303kbb，解得：13kb 直线 BC的表达式为：y=x+3， 设点 D（x，x2+2x+3） ，则点 P（x，x+3） ， 则
27、PD=（x2+2x+3）（x+3）=x2+3x=239()24x， 当 x32时，PD最大值为：94； （3）过点 B作倾斜角为 30的直线 BH，过点 C作 CHBH 交于点 H，CH交对称轴于点 N，交 x 轴于点 M，则点 M、N 为所求 ABH=30，MHB=90，CMO=BMH=90-30=60 COB=90，COM=30，OC=3OM OC=3，OM=3， M（3，0） ，CM=2OM=2 3，MF=OM-OF=3 1，MB=OB-OM=33 FMN=60，tanFMN=NFFM，33 1NF， NF=33，N（1，33） CN+MN12MB 的最小值=CM12MB=13 3 32 3(33)22
