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1、 不定积分例题及答案 -作者: _ -日期: _ 2 第 4 章 不定积分 内容概要 名称 主要内容 不 定 积 分 不 定 积 分 的 概 念 设( )f x， xI，若存在函数( )F x，使得对任意xI均有 ( )( )F xf x 或( )( )dF xf x dx，则称( )F x为( )f x的一个原函数。 ( )f x的全部原函数称为( )f x在区间I上的不定积分，记为 ( )( )f x dxF xC 注：（1）若( )f x连续，则必可积；（ 2）若( ),( )F x G x均为( )f x的原函数，则( )( )F xG xC。故不定积分的表达式不唯一。 性 质 性质
2、1：( )( )df x dxf xdx或( )( )df x dxf x dx； 性质 2：( )( )F x dxF xC或( )( )dF xF xC； 性质 3：( )( )( )( )f xg x dxf x dxg x dx，, 为非零常数。 计 算 方 法 第一换元 积分法 （凑微分法） 设( )f u的 原函数为( )F u，( )ux可导，则有换元公式： ( ( )( )( ( )( )( ( )fxx dxfx dxFxC 第二类 换元积 分法 设( )xt单调、可导且导数不为零， ( )( )ftt有原函数( )F t，则 1( )( ( )( )( )( )f x dx
3、ftt dtF tCFxC 分部积分法 ( ) ( )( )( )( ) ( )( )( )u x v x dxu x dv xu x v xv x du x 有理函数积分 若有理函数为假分式，则先将其变为多项式和真分式的和；对真分式的处理按情况确定。 本章 的地 位与 作用 在下一章定积分中由微积分基本公式可知 -求定积分的问题，实质上是求被积函数的原函数问题；后继课程无论是二重积分、三重积分、曲线积分还是曲面积分，最终的解决都归结为对定积分的求解；而求解微分方程更是直接归结为求不定积分。从这种意义上讲，不定积分在整个积分学理论中起到了根基的作用，积分的问题会不会求解及求解的快慢程度，几乎完
4、全取决于对这一章掌握的好坏。这一点随着学习的深入，同学们会慢慢体会到！ 课后习题全解 习题 4-1 1.求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习求不定积分的基本方法。 思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ (1)2dxxx 思路: 被积函数 5221xxx，由积分表中的公式（2）可解。 3 解：5322223dxxdxxCxx (2)31()xdxx 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：11411133322213()()24dxxxdxx dxxdxxxCx3x (3)22xx dx（） 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分
5、为两项，分别积分。 解：2232122ln23xxxx dxdxx dxxC（） (4)(3)x xdx 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：315322222(3)325xdxx dxx dxxxCx (5)4223311xxdxx 思路:观察到422223311311xxxxx后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：42232233113arctan11xxdxx dxdxxxCxx (6)221xdxx 思路:注意到222221 111111xxxxx ，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：2221arctan.11x
6、dxdxdxxxCxx 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。 4 (7)xdxxxx341 34（ - +- ）2 思路:分项积分。 解：3411342xdxxdxdxx dxx dxxxxx341 34（ - +- ）2 223134ln |.423xxxxC (8)2232()11dxxx 思路:分项积分。 解：22223211()323arctan2arcsin.1111dxdxdxxxCxxxx (9)x x xdx 思路:x x x ？看到111724 88x x xx
7、x ，直接积分。 解：715888.15x x x dxx dxxC (10)221(1)dxxx 思路:裂项分项积分。 解：222222111111()arctan.(1)11dxdxdxdxxCxxxxxxx (11)211xxedxe 解：21(1)(1)(1).11xxxxxxxeeedxdxedxexCee (12)3xxe dx 思路:初中数学中有同底数幂的乘法： 指数不变，底数相乘。显然33xxxee （ ）。 解：333.ln(3 )xxxxee dxe dxCe（ ）（ ） (13)2cot xdx 思路:应用三角恒等式“22cotcsc1xx”。 5 解：22cot(csc
8、1)cotxdxxdxxxC (14)2 35 23xxxdx 思路:被积函数 2 35 222533xxxx （ ），积分没困难。 解：2( )2 35 2232525.33ln2ln3xxxxxdxdxxC （ ） ） (15)2cos2xdx 思路:若被积函数为弦函数的偶次方时，一般地先降幂，再积分。 解：21cos11cossin.2222xxddxxxC (16)11cos2dxx 思路:应用弦函数的升降幂公式，先升幂再积分。 解：221111sectan.1cos2222cosdxdxxdxxCxx (17)cos2cossinxdxxx 思路:不难，关键知道“22cos2coss
9、in(cossin )(cossin )xxxxxxx”。 解：cos2(cossin )sincos.cossinxdxxx dxxxCxx (18)22cos2cossinxdxxx 思路:同上题方法，应用“22cos2cossinxxx”，分项积分。 解：22222222cos2cossin11cossincossinsincosxxxdxdxdxxxxxxxx 22cscseccottan.xdxxdxxxC (19)11()11xxdxxx 思路:注意到被积函数 2221111211111xxxxxxxxx，应用公式(5)即可。 解：2111()22arcsin.111xxdxdxx
10、Cxxx 6 (20)21cos1cos2xdxx 思路:注意到被积函数 22221cos1cos11sec1cos2222cosxxxxx，则积分易得。 解：221cos11tansec.1cos2222xxxdxxdxdxCx 2、设( )arccosxf x dxxC，求( )f x。 知识点：考查不定积分（原函数）与被积函数的关系。 思路分析：直接利用不定积分的性质 1：( )( )df x dxf xdx即可。 解：等式两边对x求导数得： 2211( ),( )11xf xf xxxx 3、设( )f x的导函数为sin x，求( )f x的原函数全体。 知识点：仍为考查不定积分（原
11、函数）与被积函数的关系。 思路分析：连续两次求不定积分即可。 解：由题意可知，1( )sincosf xxdxxC 所以( )f x的原函数全体为：112cossinxC dxxC xC （）。 4、证明函数21,2xxee shx和xe chx都是sxechxhx-的原函数 知识点：考查原函数（不定积分）与被积函数的关系。 思路分析：只需验证即可。 解：2xxeechxshx，而22xxxxdddee shxe chxedxdxdx1()2 5、一曲线通过点2(,3)e，且在任意点处的切线的斜率都等于该点的横坐标的倒数，求此曲线的方程。 7 知识点：属于第 12 章最简单的一阶线性微分方程的
12、初值问题，实质仍为考查原函数（不定积分）与被积函数的关系。 思路分析：求得曲线方程的一般式，然后将点的坐标带入方程确定具体的方程即可。 解：设曲线方程为( )yf x，由题意可知：1 ( )df xdxx，( )ln |f xxC； 又点2(,3)e在曲线上，适合方程，有23ln(),1eCC， 所以曲线的方程为( )ln | 1.f xx 6、一物体由静止开始运动，经t秒后的速度是23 (/ )tm s，问： （1） 在3秒后物体离开出发点的距离是多少？ （2） 物体走完360米需要多少时间？ 知识点：属于最简单的一阶线性微分方程的初值问题，实质仍为考查原函数（不定积分）与被积函数的关系。
13、思路分析：求得物体的位移方程的一般式，然后将条件带入方程即可。 解：设物体的位移方程为：( )yf t， 则由速度和位移的关系可得：23 ( )3( )f ttf ttCddt， 又因为物体是由静止开始运动的，3(0)0,0,( )fCf tt。 (1) 3秒后物体离开出发点的距离为:3(3)327f米； (2)令33360360tt秒。 习题 4-2 1、填空是下列等式成立。 知识点：练习简单的凑微分。 思路分析：根据微分运算凑齐系数即可。 解：234111(1)(73);(2)(1);(3)(32);7212dxdxxdxdxx dxdx 2222111(4)();(5)(5ln |);(
14、6)(35ln |);255111(7)2 ();(8)(tan2 );(9)(arctan3 ).23cos 219xxdxdxe dxd edxdxxxdxdxdtdtdxdxxxt 2、求下列不定积分。 知识点：（凑微分）第一换元积分法的练习。 8 思路分析：审题看看是否需要凑微分。直白的讲，凑微分其实就是看看积分表达式中，有没有成块的形式作为一个整体变量，这种能够马上观察出来的功夫来自对微积分基本公式的熟练掌握。此外第二类换元法中的倒代换法对特定的题目也非常有效，这在课外例题中专门介绍！ （1）3te dt 思路:凑微分。 解：33311(3 )33ttte dte dteC (2)3
15、(35 )x dx 思路:凑微分。 解：33411(35 )(35 )(35 )(35 )520x dxxxxC d (3)132dxx 思路:凑微分。 解：1111(32 )ln |32 |.322322dxdxxCxx (4)3153dxx 思路:凑微分。 解：12333311111(53 )(53 )(53 )(53 ).3325353dxdxxdxxCxx (5)(sin)xbaxedx 思路:凑微分。 解：11(sin)sin()( )cosxxxbbbxaxedxaxd axb e daxbeCaba (6)cos tdtt 思路:如果你能看到1()t2dtdt，凑出()dt易解。
16、 解：cos2 cos()2sintdttdttCt (7)102tansecxxdx 9 思路:凑微分。 解：10210111tansectan(tan )tan.11xxdxxdxxC (8)lnlnlndxxxx 思路:连续三次应用公式(3)凑微分即可。 解：(ln |)(ln |ln|)ln |lnln|lnlnlnlnlnlnlnlndxdxdxxCxxxxxx (9)22tan 11xdxxx 思路:本题关键是能够看到21xdxx 是什么，是什么呢？就是21xd！这有一定难度！ 解：22222tan 1tan 11ln | cos 1|1xdxxxxxCx d (10)sin co
17、sdxxx 思路:凑微分。 解： 方法一：倍角公式sin 22sincosxxx。 2csc22ln | csc2cot2 |sincossin2dxdxxd xxxCxxx 方法二：将被积函数凑出tan x的函数和tan x的导数。 22cos11sectanln | tan|sincossincostantandxxdxxdxdxxCxxxxxx 方法三： 三角公式22sincos1xx，然后凑微分。 22sincossincoscossinsincossincoscossincossindxxxxxdxdxdxdxdxxxxxxxxx ln |cos|ln |sin|ln | tan|x
18、xCxC (11)xxdxee 思路:凑微分：222111()xxxxxxxxdxe dxdedeeeeee。 解：22arctan11()xxxxxxxdxe dxdeeCeeee (12)2cos()xx dx 10 思路:凑微分。 解：222211cos()cossin22xx dxx dxxC (13)223xdxx 思路:由2222211(23)26232323xdxdxdxxxx 凑微分易解。 解：122222221(23)11(23)(23)236632323xdxdxxdxxCxx (14)2cos ()sin()tt dt 思路:凑微分。 解：22211cos ()sin()
19、cos ()sin()cos () cos()tt dttt d tt dt 31cos ().3tC (15)3431xdxx 思路:凑微分。 解：33444444433431313(1)ln |1|.44441111xxdxdxdxdxxCxxxx (16)3sincosxdxx 思路:凑微分。 解：332sin111cos.2coscoscosxdxdxCxxx (17)9202xdxx 思路:经过两步凑微分即可。 解：9101010202010211111arcsin()10101022221()2xxxdxdxdCxxx (18) 2194xdxx 11 思路:分项后分别凑微分即可。
20、 解：22211949494xxdxdxdxxxx 222222211211423829413112119423829413121arcsin()94.234xdd xxxxddxxxxxC（）（）（） (19) 221dxx 思路:裂项分项后分别凑微分即可。 解：2111()212( 21)( 21)2121dxdxdxxxxxx 111()22 221211111121( 21)( 21)ln.2 2212 2212 221dxxxxdxdxCxxx (20)2(45 )xdxx 思路:分项后分别凑微分即可。 解：2221 4541114(45 )(45 )5(45 )2545(45 )x
21、dxxdxdxxxxx（）（） 21141141(45 )(45 )ln | 45 |.2545252525 45(45 )dxdxxCxxx (21)2100(1)x dxx 思路:分项后分别凑微分即可。 解：222100100100100100(1 1)(1)(1)1(2)(1)(1)(1)(1)(1)x dxxdxxxdxxxxxx 9899100111(2) (1)(1)(1)(1)d xxxx 12 979899111111.97 (1)49 (1)99 (1)Cxxx (22)81xdxx 思路:裂项分项后分别凑微分即可。 解：28444444111111()()241(1)(1)
22、1111xdxxdxxdxdxxxxxxxx 2222242222222211111111 ()(1)(1)4281111111111ln |arctan.484()11dxd xd xxxxxxxdxxCxx (23)3cos xdx 思路:凑微分。cossinxdxdx。 解：3222coscoscoscossin(1 sin) sinxdxxxdxxdxx dx 31sinsin3xxC (24)2cos ()tdt 思路:降幂后分项凑微分。 解：21cos2()11cos ()cos2() 2()224ttdtdtdttdt 11sin2()24ttC (25)sin2 cos3xxd
23、x 思路:积化和差后分项凑微分。 解：111sin2 cos3(sin5sin )sin55sin2102xxdxxx dxxd xxdx 11cos5cos102xxC (26)sin5 sin7xxdx 思路:积化和差后分项凑微分。 解：111sin5 sin7(cos2cos12 )cos22cos12(12 )2424xxdxxx dxxd xxdx 11sin2sin12.424xxC (27)3tansecxxdx 13 思路:凑微分tansecsecxxdxdx。 解：3222tansectantansectansec(sec1) secxxdxxxxdxxdxxdx 231se
24、csecsecsecsec3xdxdxxxC (28)arccos2101xdxx 思路:凑微分21( arccos )1dxdxx。 解：arccosarccosarccos2101010arccos.ln101xxxdxdxCx (29)22(arcsin )1dxxx 思路:凑微分21(arcsin )1dxdxx。 解：222arcsin1arcsin(arcsin )(arcsin )1dxdxCxxxx (30)arctan(1)xdxxx 思路:凑微分2arctan2arctan2arctan(arctan)(1)1()xxdxdxxdxxxx。 解：2arctan2arctan
25、2arctan(arctan)(1)1()xxdxdxxdxxxx 2(arctan)xC (31)lntancos sinxdxxx 思路:被积函数中间变量为tan x，故须在微分中凑出tan x，即被积函数中凑出2sec x， 22lntanlntanlntanlntansectancos sintantancostanxxxxdxdxxdxdxxxxxxx 21lntan(ln tan )( (ln tan ) )2xdxdx 解：2lntanlntanlntantanlntan(ln tan )cos sintancostanxxxdxdxdxxdxxxxxx 14 21(lntan
26、)2xC (32)21ln( ln )xdxxx 思路:( ln )(1ln )d xxx dx 解：221ln11( ln )ln( ln )( ln )xdxd xxCxxxxxx (33)1xdxe 解：方法一： 思路:将被积函数的分子分母同时除以 xe，则凑微分易得。 11()(1)ln |1|1111xxxxxxxxdxedxd ed eeCeeee 方法二： 思路:分项后凑微分 11111xxxxxxdxeeedxdxdxeee1(1)1xxxdee ln |1|ln(|1|)xxxxeCxeeC (lnln |1|)xxxeeCln |1|xeC 方法三： 思路: 将被积函数的分
27、子分母同时乘以 xe，裂项后凑微分。 111ln(1)1(1)(1)11xxxxxxxxxxxxxdxe dxdedeedeeeeeeeee ln |1|xxeCln |1|xeC (34)6(4)dxx x 解：方法一: 思路：分项后凑积分。 6656666141411(4)4(4)4(4)44dxdxxx dxxdxx xx xx xxx 15 66611(4)11ln |ln |ln |4|4244424d xxxxCx 方法二：思路:利用第二类换元法的倒代换。 令1xt，则21dxdtt 。 66626666611(4 )1(41)()12424(4)14144114ln(14 )ln
28、(1).2424dxtdtdtdtx xtttttCCx (35)82(1)dxxx 解：方法一: 思路：分项后凑积分。 8822482828221(1)(1)(1)(1)(1)(1)1dxxxxxxdxdxdxxxxxxxx 24681(1)(1)xxxdxdxxxx 8642211111()1dxdxxxxxx 753111111ln75321xCxxxxx 方法二： 思路: 利用第二类换元法的倒代换。 令1xt，则21dxdtt 。 8864282222211()(1)1(1)111dxttdtdttttdtxxtttt 6426422753751111(1)()(1)()2111111
29、111 11 11 1111ln |ln |75321753 321tttdtdttttdtdtttttxttttCCtxxxxx 3、求下列不定积分。 知识点：（真正的换元，主要是三角换元）第二种换元积分法的练习。 16 思路分析：题目特征是-被积函数中有二次根式，如何化无理式为有理式？三角函数中，下列二恒等式起到了重要的作用。 2222sincos1;sectan1.xxxx 为保证替换函数的单调性，通常将交的范围加以限制，以确保函数单调。不妨将角的范围统统限制在锐角范围内，得出新变量的表达式，再形式化地换回原变量即可。 (1)211dxx 思路:令sin ,2xt t，先进行三角换元，分
30、项后，再用三角函数的升降幂公式。 解：令sin ,2xt t，则cosdxtdt。 222cossec1 cos1 cos22112cos2dxtdtdtdtttdtttdtttx 2tanarcsin.211txtCxCx （或211arcsinxxCx） （万能公式sin1 costan21 cossinttttt，又sintx时，2cos1tx） (2)29xdxx 思路:令3sec ,(0,)2xt t，三角换元。 解：令3sec ,(0,)2xt t，则3sec tandxttdt。 222293tan3sec tan3 tan3 (sec1)3sec33tan393arccos.|
31、xtdxttdttdttdtxtttCxCx （3secxx时，22399cos,sin,tan3xxxxxxx） (3)23(1)dxx 思路:令tan ,2xt t，三角换元。 解：令tan ,2xt t，则2secdxtdt。 17 23232seccossinsecsec(1)1dxtdtdtxtdttCCttxx (4)223()dxxa 思路:令atan ,2xt t，三角换元。 解：令tan ,2xat t，则2asecdxtdt。 233222223222sec11cosinsecsec().dxatdtdttdtstCatataaxaxCaax (5)2411xdxx x 思
32、路:先令2ux，进行第一次换元；然后令tan ,2ut t，进行第二次换元。 解：222424111211xxdxdxx xxx，令2ux得： 242111211xudxdux xu u，令tan ,2ut t，则2secdutdt， 22422424221111tan11tan1secsec22tansec2tan11111(cscsec )ln sectanln csccot2221111111 1ln1lnln1ln.2222xuttdxdutdttdttttx xu utt dtttttCuxuuCxxCuux （与课本后答案不同） (6)254xx dx 思路:三角换元，关键配方要正
33、确。 解：22549(2)xxx，令23sin ,2xt t，则3cosdxtdt。 2221cos21549cos99(sin2 )224922arcsin54.232ttxx dxtdtdttCxxxxC 18 4、求一个函数( )f x,满足1( )1fxx，且(0)1f。 思路:求出11x的不定积分，由条件(0)1f确定出常数C 的值即可。 解：11(1)2 1.11dxd xxCxx 令( )2 1f xxC，又(0)1f，可知1C ， ( ) 2 11.f xx= 5、设tan,nnIxdx，求证：1-21tan1nnnIxIn，并求5tan xdx。 思路:由目标式子可以看出应将
34、被积函数tannx 分开成22tantannxx，进而写成： 22222tan(sec1)tansectannnnxxxxx，分项积分即可。 证明：222222tan(tansectan)tansectannnnnnnIxdxxxx dxxxdxxdx 2122544253142421tantantan.11115tantantantan4421111tantantantantanln cos.4242nnnnxdx IxInnIxdxxIxxIxxxdxxxxC时， 习题 4-3 1、求下列不定积分： 知识点：基本的分部积分法的练习。 思路分析：严格按照“反、对、幂、三、指顺序，越靠后的越优
35、先纳入到微分号下凑微分。”的原则进行分部积分的练习。 （1）arcsin xdx 思路:被积函数的形式看作0arcsinxx，按照“反、对、幂、三、指”顺序，幂函数0x优先纳入到微分号下，凑微分后仍为dx。 解：222111arcsinarcsinarcsin(1)211xdxxxxdxxxdxxx 2arcsin1.xxxC 19 （2）2ln(1)x dx 思路：同上题。 解：22222222ln(1)ln(1)ln(1)11xxx dxxxxdxxxdxxx 2222222(1)2ln(1)ln(1)2211ln(1)22arctan.xdxxxdxxxdxxxxxxxC （3）arct
36、an xdx 思路：同上题。 解：222(1)arctanarctanarctan121dxdxxdxxxxxxxx1 21arctanln(1)2xxxC (4)2sin2xxedx 思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。 解：22221111sinsin()sincos22222222xxxxxxxxedxdeeedx 2222222222111sincos()224221111sin(cossin)2242242111sincossin22821622sin(4sincos).21722xxxxxxxxxxxxedexxxeeedxxxxeeedxxexxedxC (5)2
37、arctanxxdx 思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。 解：32332111arctanarctan()arctan3331xxxdxxdxxxdxx 33211arctan331xxxxxdxx3211arctan()331xxxxdxx 20 3322223221111111arctanarctan(1)333 1366 1111arctanln(1).366xxxxdxdxxxxdxxxxxxxC (6)cos2xxdx 思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。 解：cos2sin2 sin2 sin2 sin4 sin2222222xxxxxxxxdxx
38、dxdxxd 2 sin4cos.22xxxC (7)2tanxxdx 思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。 解：2222tan(sec1)( sec)secxxdxxxdxxxx dxxxdxx xd 2211(tan )tantantanln cos.22xdxxdxxxxdxxxxxxC (8)2ln xdx 思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。 解：222211lnln2lnln2 lnln2 ln2xdxxxxxdxxxxdxxxxxxdxxx 22ln2 ln2ln2 ln2.xxxxdxxxxxxC (9)ln(1)xxdx 思路：严格按照“反、对
39、、幂、三、指”顺序凑微分即可。 解：22211ln(1)ln(1)ln(1)2221xxxxdxxdxxdxx 22111 1ln(1)221xxxdxx 2111ln(1)(1)221xxxdxx 221111ln(1)ln(1)2422xxxxxC (10)22ln xdxx 思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。 21 解：222222ln11111lnln()ln2lnln2xxdxxdxxdxxdxxxxxxxx 222211121122ln2 ln()lnln2lnlnxxdxxdxxxCxxxxxxxx 2(lnln2)xxCx 1 (11)cosln xdx 思路
40、：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。 解：1coslncoslnsinlncoslnsinlnxdxxxxxdxxxxdxx 1coslnsinlncoslncoslnsinlncoslncosln(coslnsinln ).2xxxxxxdxxxxxxdxxxxdxxxC (12)2ln xdxx 思路：详见第(10) 小题解答中间，解答略。 (13)ln(1)nxxdxn 思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。 解：111111lnlnln111nnnnxxxdxxdxxxdxnnnx 111ln11nnxxx dxnn111ln.1(1)nxxCnn (14)2
41、xx e dx 思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。 解：222222xxxxxxx e dxx eexdxx exee dx 2222(22)xxxxx exeeCexxC (15)32(ln )xxdx 思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。 解：32244241111(ln )(ln )()(ln )2ln444xxdxx dxxxxxdxx 22 423424424442434244421111(ln )ln(ln )ln42481111111(ln )ln(ln )ln48848811111(ln )ln(2lnln).483284xxxxdxxxxdx
42、xxxxxdxxxxxx dxxxxxxxCxxxC (16)lnln xdxx 思路： 将积分表达式lnln xdxx写成lnln(ln )xdx，将ln x看作一个整体变量积分即可。 解：lnln111lnln(ln )lnlnlnlnlnlnlnlnxdxxdxxxxdxxxdxxx xx lnlnlnlnln (lnln1).xxxCxxC (17) sincosxxxdx 思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。 解：11111sincossin2(cos2 )cos2cos222244xxxdxxxdxxdxxxxdx 1111cos2cos22cos2sin2.484
43、8xxxd xxxxC (18)22cos2xxdx 思路：先将2cos2x降幂得1cos2x，然后分项积分；第二个积分严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。 解：2222221111cos(cos )cos22222xxdxxxx dxx dxxxdx 3232323211111sinsin2 sin626221111sincossincoscos6262xx dxxxxxxdxxxxxdxxxxxxxdx 3211sincossin62xxxxxxC (19)2(1)sin 2xxdx 思路：分项后对第一个积分分部积分。 解：22211(1)sin 2sin2sin2(cos2 )
44、cos222xxdxxxdxxdxx dxx 23 2222211111cos22 cos2cos2cos2sin22222211111cos2cos2sin2sin2cos2222221111cos2sin2cos2cos2224211313cos2sin2cos2( sin2)cos2sin2.224222xxxxdxxxxxdxxxxxxxdxxxxxxxxCxxxxxxCxxxxC (20)3xedx 思路：首先换元，后分部积分。 解：令3tx，则32,3,xtdxt dt 33333222222233223333333 233 23663663663(22).xttttttttttt
45、ttxxxxedxe t dte t dtt det ete dtt etdet ee te dtt ee teCx eexeCexxC (21)2(arcsin )x dx 思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。 解：2222arcsin(arcsin )(arcsin )1xx dxxxxdxx 222arcsin(arcsin )(1)1xxxdxx22(arcsin )2 arcsin( 1)xxxdx 222222221(arcsin )2 1arcsin211(arcsin )2 1arcsin2(arcsin )2 1arcsin2.xxxxxdxxxxxxdxxx
46、xxxC(22)2sinxexdx 思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。 解：方法一： 222sinsinsin2sincosxxxxexdxxdeexexxdx 2sinsin2sin2sin2sin22cos2sin22 cos2xxxxxxxxexexdxexdxxdeexexdxexxde 24 22sin22cos24sin2(sin22cos2 )sin25sin(5sinsin22cos2 )5xxxxxxxexexexdxexxexdxCeexdxxxxC 方法二： 21 cos21111sincos2cos222222xxxxxxxexdxedxe dxexd
47、xeexdx cos2cos2cos22sin 2cos22 sin2xxxxxxexdxxdeexexdxexxde 2cos22sin24cos2(cos22sin2 )cos2511sinsin2cos22510xxxxxxxxxexexexdxexxexdxCeexdxexexC (23)ln(1)xdxx 思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。 解：ln(1)ln(1) (2)ln(1)1xxdxx dxxxdxxx2=2 令tx，则2,dxtdt 222144444arctan11144arctanxtdxdtdtdtttCxttxxC2 所以原积分ln(1)ln(1
48、)44arctanxdxxxxxCx2。 (24)ln(1)xxedxe 思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。 解：ln(1)ln(1) ()ln(1)1xxxxxxxxxeedxe deeeedxee 1ln(1)ln(1)(1)11ln(1)ln(1).xxxxxxxxxxxeeedxeedeeeeeeC 25 注：该题中11xdxe的其他计算方法可参照习题 4-2，2（33）。 (25)1ln1xxdxx 思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。 解：2222111111111lnln()ln1122121(1)xxxxxxxdxdxxxdxxxxxx 222
49、222211111lnln21121111111111ln()lnln(1)ln(1)21211212xxxxdxxdxdxxxxxxxxxdxxxxxxxxx 22111111lnln(1)ln212121xxxxxCxxCxxx 注： 该题也可以化为 1lnln(1)ln(1)1xxdxxxx dxx再利用分部积分法计算。 21lnln(1)ln(1)ln(1)ln(1)12xxxdxxxx dxxx dx 222221111lnln21211211xxxxxxdxdxxxxxx 22221111111lnln21121211xxxxxdxdxdxxxxxx 2111lnln2121xxx
50、xCxx (26)sin2 cosdxxx 思路：将被积表达式sin2 cosdxxx 写成22sectan2sin2sin2sincosdxxdxdxxxxx，然后分部积分即可。 解：22sectansin2 cos2sin2sin2sincosdxdxxdxdxxxxxxx tan1tan1tan ( csc cot )csc2sin22sin21(secln csccot).2xxxxx dxxdxxxxxxC 2、 用列表法求下列不定积分。 26 知识点：仍是分部积分法的练习。 思路分析：审题看看是否需要分项，是否需要分部积分，是否需要凑微分。按照各种方法完成。我们仍然用一般方法解出，
51、不用列表法。 (1)3xxe dx 思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。 解：33333331111111()3().3333933xxxxxxxxe dxxdexee dxxee d xxeC (2)(1)xxe dx 思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。 解：(1)(1)(1)xxxxxxe dxxdexee dxxeC。 (3)2cosxxdx 思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。 解：2222cossinsin2sinsin2cosxxdxx dxxxxxdxxxxdx 22sin2 cos2 cossin2 cos2sinxxxxxdx
52、xxxxxC (4)2(1)xxe dx 思路：分项后分部积分即可。 解：222(1)()xxxxxxe dxx e dxe dxx dee dx 222222()2223xxxxxxxxxxxxxexxe dxe dxexxdee dxexxee dxe dxexxee dx 2(23).xexxC (5)ln(1)xxdx 思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。 解：222111ln(1)ln(1) ()ln(1)-2221xxxdxxdxxxdxx 2221111111ln(1)(1)ln(1)ln(1).2212422xxxdxxxxxxCx (6)cosxexdx 思路
53、：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。 解：coscos()cossinxxxxexdxxdeexexdx 27 cossin()cossincoscos(sincos ).2xxxxxxxexxdeexexexdxeexdxxxC 3、已知sin xx是( )f x的原函数，求( )xfx dx。 知识点：考察原函数的定义及分部积分法的练习。 思路分析：积分 ( )xfx dx中出现了( )fx，应马上知道积分应使用分部积分， 条件告诉你sin xx是( )f x的原函数，应该知道sin( ).xf x dxCx 解：( )( )( )( )xfx dxxf xxf xf x dx
54、d()= 又2sincossincossin( ),( ),( );xxxxxxxf x dxCf xxf xxxx cossinsin2( )cossinCxxxxxfx dxCxxxxx 4、已知( )xef xx=，求( )xfx dx。 知识点：仍然是分部积分法的练习。 思路分析：积分( )xfx dx中出现了(fx)，应马上知道积分应使用分部积分。 解：( )( )( )( )( )( ).xfx dxxd fxxfxfx dxxfxf xC 又22(1)(1)(,( ),( );xxxxxexeeexexf xfxxfxxxxx)= (1)(2)( ).xxxexeexxfx dx
55、CCxxx 5、设nI sinndxx，(2)n ；证明：211cos21 sin1nnnxnIInxn 。 知识点：仍然是分部积分法的练习。 思路分析：要证明的目标表达式中出现了nI，1cossinnxx和2nI 提示我们如何在被积函数的表达式1sinnx中变出1cossinnxx 和21sinnx 呢？这里涉及到三角函数中1的变形应用，初等数学中有过专门的介绍，这里1可变为22sincosxx。 证明：22sincosxx1= 28 2222222221222-1sincoscossincos1sinsinsinsinsinsincoscossinsinsincossinsinsincos
56、sinsinsinsincossinnnnnnnnnnnnnnnnnnndxxxxxxIdxdxdxdxdxxxxxxxxxdxIdxIxxxxxnxxxxdxIxxxIx22222212222112 .1coscos1 sinsinsinsincoscos(2)sinsin1cos21 sin1nnnnnnnnnnnnnnnnnxxxndxIIndxIxxxxxInInIInInIxxxnIInxn 6、设f x( )为单调连续函数，fx-1( )为其反函数，且( )( )f x dxF xC ， 求：1fxx( )d。 知识点：本题考察了一对互为反函数的函数间的关系，还有就是分部积分法的练
57、习。 思路分析：要明白1( )xffx这一恒等式，在分部积分过程中适时替换。 解：fxx xfxxfx-1-1-1( )d =( )-d( ) 又1( )xf fx 111111( )( )( )( )( ) ( )fx dxfxxd fxfxf fx d fx 又( )( )f x dxF xC 111111( )( )( ) ( )( )( ).fx dxfxf fx d fxfxF fxC 习题 4-4 1、 求下列不定积分 知识点：有理函数积分法的练习。 思路分析：被积函数为有理函数的形式时，要区分被积函数为有理真分式还是有理假分式，若是假分式，通常将被积函数分解为一个整式加上一个真分
58、式的形式，然后再具体问题具体分析。 (1)33xdxx 思路：被积函数为假分式，先将被积函数分解为一个整式加上一个真分式的形式，然后分项积分。 解：3327272739333xxxxxxx2 29 322727(39)(39)33313927ln3C.32xdxxxdxxxdxdxxxxxxxx223 (2) 5438xxdxxx 思路：被积函数为假分式，先将被积函数分解为一个整式加上一个真分式的形式，然后分项积分。 解：545342323338()()()881,xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 22 而3(1)(1),xxx xx 令23811xxABCxxxxx，等式右边通分后比
59、较两边分子x的同次项的系数得： 118ABCCBA解此方程组得：843ABC 5435433288431118843(1)11118ln4ln13ln132xxxxxxxxxxdxxxdxxxxxxxxxxxxC 22x (3)331dxx 思路：将被积函数裂项后分项积分。 解：321(1)(1)xxxx ，令323111ABxCxxxx等式右边通分后比较两边分子x的同次项的系数得： A+B=0B+C-A=0A+C=3解此方程组得：112ABC 322213(21)312122111113()()22xxxxxxxx 30 222322222221(21)1312131213()()()242
60、21(21)313121311213()()()24221111312ln1()3()1312243()2422()132121ln1ln(1)3arctan().23xxxxxdxdxdxdxxxxxxxdxdxxxxxxC (4)31(1)xdxx 思路：将被积函数裂项后分项积分。 解：令32311(1)(1)(1)xABCxxxx，等式右边通分后比较两边分子x的同次项的系数得： 0,21,1ABAABC，解此方程组得：0,1,2ABC。 32332322112(1)(1)(1)112111(1)(1)(1)(1)(1)xxxxxxdxdxdxCCxxxxxx (5)332(1)xdxx
61、x 思路：将被积函数裂项后分项积分。 解：3333232(1)(1)(1)xx xxx x，令32321(1)(1)(1)ABCDxxx xxx 等式右边通分后比较两边分子x的同次项的系数得： 31 0320302ABABCABCDA解此方程组得：2222ABCD 。 323222221(1)(1)(1)xxx xxx 3323323322232322221222(1)(1)1(1)(1)(1)1(1)321222(1)(1)(1)11122ln12ln2 (1)1432ln.12(1)xx xxxxxxxxxxxdxdxdxdxdxx xxxxxxxCxxxxCxx (6)2(2)(3)xd
62、xxx 思路：将被积函数裂项后分项积分。 解：22222222(2)(3)(2)(3)(2)(3)(2)(3)xxxxxxxxxxx 2212(3)(2)(3)xxx；令22223(2)(3)(3)ABCxxxxx，等式右边通分后比较两边分子x的同次项的系数得： 06509622ABABCABC解此方程组得：2222222223(2)(3)(3)2ABxxxxxC 22222221222322()(2)(3)(3)23(3)(3)23322(2)(3)(3)233332ln22ln3ln.323xxxxxxxxxxxdxdxdxdxxxxxxxxxCCxxx (7)331xdxx 思路：将被积
63、函数裂项后分项积分。 解：332333(1)3331111xxxxxxx 32 令323111ABxCxxxx，等式右边通分后比较两边分子x的同次项的系数得： 003ABABCAC 解此方程组得：112ABC 3223121211111xxxxxxxxx 而222222131313(21)(21)(21)2222222111111xxxxxxxxxxxxxxxx 3222223311(21)211121111123()ln1(1)121322()132xxdxdxdxdxxxxxxxxdxd xxxxx 22113arctanln1ln(1)23xxxxC 21213arctanln31xxC
64、xx (8)2221(1)xxdxx 思路：将被积函数裂项后分项积分。 解：22222222112(1)1(1)(1)xxxxxxx 22222222222222112(1)1(1)(1)111(1)221(1)(1)xxxdxdxdxdxxxxxdxdxd xxxx 又由分部积分法可知：222212(1)11dxxdxxxx 2222221111 21()(1)12121xxxxdxCCxxxx 33 (9)(1)(2)(3)xdxxxx 思路：将被积函数裂项后分项积分。 解：3313(1)(2)(3)(1)(2)(3)(1)(2)(1)(2)(3)xxxxxxxxxxxxx 令3(1)(2
65、)(3)123ABCxxxxxx， 等式右边通分后比较两边分子x的同次项的系数得： 054306323ABCABCABC解之得：333233223(1)(2)(3)12332ABxxxxxxC 而111(1)(2)12xxxx 31122(1)(2)(3)21231132(1)(2)(3)2122313ln12ln2ln3.22xxxxxxxxdxdxdxdxxxxxxxxxxC (10)221(1) (1)xdxxx 思路：将被积函数裂项后分项积分。 解：22222112121(1) (1)(1) (1)(1) (1)xxxxxxxxx 令22211(1) (1)(1)ABCxxxxx，等式
66、右边通分后比较两边分子x的同次项的系数得： 0,20,2ABACABC；解之得：11,122ABC 。 34 22112122(1) (1)11(1)xxxxx 222111122(1) (1)11(1)xxxxxx 2221111(1) (1)2121(1)xdxdxdxdxxxxxx ln1ln11xxCx 11122 211ln1.21xCx (11)21(1)dxx x 思路：将被积函数裂项后分项积分。 解：令221(1)1ABxCxx xx，等式右边通分后比较两边分子x的同次项的系数得： 001ABCA解之得：221111(1)10AxBx xxxC 2222221111ln(1)2
67、(1)111lnln(1)ln.21xdxdxdxxd xxx xxxxxxCCx (12)22()(1)dxxx x 思路：将被积函数裂项后分项积分。 解：22211()(1)(1)(1)xx xx xx 令22211()(1)1ABCxDxxxx xx，等式右边通分后比较两边分子x的同次项的系数得： 0,0,0,1ABCACDABDA，解之得： 1111,.222ABCD 35 22222222222111111212()(1)111111112122()(1)11111112122()(1)11xxxxx xxxxxxx xxxdxxdxdxdxdxxxxx xxx 2221111lnl
68、n1(1)arctan2421111lnln1ln(1)arctan.242xxd xxxxxxxC (13)41dxx 思路：将被积函数裂项后分项积分。 解：4221(12 )(12 )xxx xx 令422111212AxBCxDxxxxx ，等式右边通分后比较两边分子x的同次项的系数得： 02202201ACABCDABCDBD解之得：24122412ABCD 36 42222222242211221222 (22)22 (22)24488112122121()()22222(22)(22)1118421212121()()()()222222222(22)(22)118412121()
69、()(2222xxxxxxxxxxxxxxxxxdxxxdxxxxx 2212121)()2222dxx222222222(22)(22)1118412122121()()2222211(12 )(12 )81212xxdxdxdxdxxxxxxxd xxd xxxxxx 22211( 21)( 21)4( 21)1( 21)1dxdxxx 222212lnarctan( 21)arctan( 21)8421xxxxCxx 22222122ln(arctan).84121xxxCxxx 注：由导数的性质可证22arctan( 21)arctan( 21)arctan1xxxx 本题的另一种解法
70、： 37 224442222444222222222221111211111111111112211111111()()11211111()()112()2()21212()142()12xxxxxdxxxxxdxdxdxdxxxxxxxxd xd xxxxxxxd xd xxxxxxxxxdxx111 () ()118()2()2d xxxxxx 2222211211()(2)1481221()21211212(2)arctanln1148222xdd xxxxxxxxxxd xCxxxxxx 22221221arctanln48221xxxCxxx 22222122ln(arctan).8
71、4121xxxCxxx 注：由导数的性质可证2212arctanarctan212xxxx。 (14)2222(1)xdxxx 思路：将被积函数裂项后分项积分。 解：222222211(1)(1)xxxxxxxx 22222112131221(1)(1)xxxxxxx 38 222222222222222222222221213122(1)1(1)(1)1131(1)1322(1)(1)()241131(1)22(1)(1)13()()2221()2 33213()13xdxxdxdxdxxxxxxxxxdxd xxdxxxxxxdxd xxdxxxxxxxdx 222222221131(1)
72、22(1)(1)2 3211131arctan()3221(1)3d xxdxxxxxxdxxxxx 又22223112122(1)11xdxdxxxxxxx 222221212 321arctan()231324 3211arctan().3(1)13xxCxxxxxdxCxxxx 注：本题再推到过程中用到如下性质：（本性质可由分部积分法导出。） 若记 22()nndxIxa，其中n为正整数，0a ，则必有： 122211(23)2(1) ()nnnxInIanxa。 2、 求下列不定积分 知识点：三角有理函数积分和简单的无理函数积分法的练习。 思路分析：求这两种积分的基本思路都是通过适当的
73、变换化为有理函数积分去完成。 (1)23sindxx 思路：分子分母同除以x2sin变为2csc x后凑微分。 解：222223(cot )csccot3263sin3csc13cot43(cot )12dxdxxdxdxxxxx 39 3332arctan(cot )arctan(tan ).6263xCxC (2)3cosdxx 思路：万能代换！ 解：令tan2xt ，则22212cos,;11tdtxdxtt 2222211arctan13cos2223111arctan(tan).3cos222dtdxdtttCtxttdxxCx 注：另一种解法是： 2222sec1123cos223
74、2cos11 cossec1222xdxdxdxdxxxxx 2221111tantanarctan(tan).22222tan2(tan)( 2)22xxxddCxx (3)2sindxx 思路：万能代换！ 解：令tan2xt ，则2222sin,;11tdtxdxtt 22222212()231213212sin132()1()2413221arctan()33tdtddxdtdttttxtttttC 2tan122arctan().2sin33xdxCx (4)1tandxx 思路：利用变换tantx！（万能代换也可，但较繁！） 40 解：令tantx，则2arctan ,;1dtxt
75、dxt 2211tan1(1)(1)dtdxdttxttt 2222222221111111()()(1)(1)2 112 111111()(1)(1)211111ln 1ln(1)arctan 2211ln 1tanln(1tan).1tan22tttttttttdttdtdtdtttttttttCdxxxxCx (5)1sincosdxxx 思路：万能代换！ 解：令tan2xt ，则2222212sin,cos,;111ttdtxxdxttt 222221ln 1ln 1tan2112111dtdtxttCCttttt (6)52sincosdxxx 思路：万能代换！ 解：令tan2xt
76、，则2222212sin,cos,;111ttdtxxdxttt 222222152sincos213225211dtdxdttxxtttttt 而222231()111315arctan()31332215555()1()()533tddtdttCtttt 3tan112arctan().52sincos55xdxCxx 41 (7)(54sin )cosdxxx 思路一：万能代换！ 解：令tan2xt ，则2222212sin,cos,;111ttdtxxdxttt 222222222222(1)1(54sin )cos21(585)(1)(54)1124()585(585)(1)dtdx
77、tdttxxtttttttdtttttt 而22244(585)(1)(585)(1)(1)ttttttt， 令22411(585)(1)(1)585AtBCDtttttttt，等式右边通分后比较两边分子t的同次项的系数得： 55013301330554ACDBCDACDBCD解之得：116,;916CD 5A=27B=8 224120711918161161(585)(1)(1)585ttttttttt 22222211911108911611614 5858 5851191110871()(54sin )cos1611614 5858 5851191110871(54sin )cos161
78、161458585851ln16tttttttdxtdtxxttttttdxtdtdtdtdtxxttttttt 22917541ln1ln(585)arctan()1642435tan419172ln tan1ln tan1ln(5tan8tan5)arctan()162162422243ttttCxxxxxC 思路二：利用代换sintx！ 解：令sintx x， 0x时，有2( )F( )sin 2f xxx，且(0)1F， ( )0F x 试求( )f x。 知识点：原函数的定义性质考察。 思路分析：注意到( )( )dF xf x dx，先求出( )F x，再求( )f x 即可。 解
79、：22( ) ( )sin 2( ) ( )sin 2f x F xxf x F x dxxdx； 即2221( )( )sin 2,( ( )sin 2,2F x dF xxdxF xxdx 221( ( )2 sin 2(1 cos4 )sin4;4F xxdxx dxxxC 又21(0)1,1;( ( )sin41;(0.)4FCF xxxx 又1( )0,( )sin41,4F xF xxx 47 又22sin 2( ) ( )sin 2 ,( )1sin414xf x F xxf xxx。 5、求下列不定积分。 知识点：求不定积分的综合考察。 思路分析：具体问题具体分析。 (1)25
80、xxdx 思路：变无理式为有理式，变量替换25tx。 解：令25tx，则222,55ttxdxdt 2243535322222125()(2)()552525 3542308(25 )(25 )(25 ).75125375ttxxdxtdttt dtttCxxxCxC (2)2(1)1dxxx x 思路：变无理式为有理式，变量替换secxt。 解：令sec ,02xtt ，则sec tandxttdt。 2sec tan1arccossec tan1dxttdtdttCCttxx x (3)2 394xxxxdx 思路：将被积函数2 394xxxx 变为2222( )33221 ( ) 1()
81、33xxxxxx=后换元或凑微分。 解：令2( )3xt ，则22( ) ln33xdtdx。 48 222( )2 311113()2ln2ln32(ln3ln2)119411 ( ) 32( )11113lnln.22(ln3ln2)12(ln3ln2)( )13xxxxxxxxdtdxdxdtttttCCt 132ln2(ln3ln2)32xxxxC (4)266(0)xdx aax 思路：凑微分。 解：23336666632111133()xdxdxdxtxaxaxax, 令, 333331ln6xaCaxa (5)(1)dxxx 思路：将被积函数进行配方后换元或先凑微分再换元。 解：
82、方法一：22(1)11()( )22dxdxxxx 令11sec ,0,222xtt，则1sec tan;2dxttdt 1sec tan2secln sectan1(1)tan2ttdxdttdtttCxxt 2ln 212.xxxC 方法二：222(1)11()dxdxdxxxxx 23663 2233333111111()ln3()66xtadxdtdtCaxatatataata 49 令22;(1)1dxdttxxxt， 再令tan ,2tz z，则2sec,dtzdz 22sec22 sec2ln sectansec(1)2ln1ln 212.dxzdzzdzzzCzxxxxCxxx
83、C (6)10(2)dxxx 思路：倒代换！ 解：令1xt ，则21,dxdtt 9101010210101010101010111(21)()1(2)2110212021211ln(21)ln().20202dxttdtdtdtdtxxtttttxtCCx (7)7cos3sin5cos2sinxxdxxx 思路：大凡被积函数的分子分母皆为同一个角的正余弦函数的线性组合的形式的积分，一般思路是将被积函数的分子写成分母和分母的导数的线性组合的形式，然后分项分别积分即可。 解：7cos3sin5cos2sin(5cos2sin )xxxxxx 7cos3sin5cos2sin(5cos2sin
84、)5cos2sin5cos2sin(5cos2sin )(5cos2sin )15cos2sin5cos2sin(5cos2sin )ln 5cos2sin.5cos2sinxxxxxxdxdxxxxxxxdxxdxdxxxxxdxxdxxxxCxx (8) (1sin)1cosxexdxx 思路：分项积分后对前一积分采用分部积分，后一积分不动。 解：2(1sin)sin()(tan)1cos1cos1cos22cos2xxxxxexeexexdxdxedxxxxx 50 6、求不定积分：23( )( )( )( )( )f xfx fxdxfxfx 知识点：分部积分法考察兼顾凑微分的灵活性。
85、 思路分析：分项后，第二个积分显然可凑现成的微分，分部积分第二个积分，第一个积分不动，合并同种积分，出现循环后解出加一个任意常数即可。 解：2233( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )f xfx fxf xfx fxdxdxdxfxfxfxfx 而22223333( )( )( )( )( )( )( )( ) ()( )( )( )( )fx fxfxfxfxdxdfxfxfx dfxfxfxfx 245226( )2 ( )( )3( )( )( )( )( )( )fxf x fxfx fx fxfxdxfxfx 2223( )( )( )( )23( )( )(
86、 )fxf xfx fxdxdxfxfxfx 2223232232( )( )( )( )( )( )( )3 ( )( )( )( )( )( )( )( )1( ).( )2( )( )f xfx fxfxf xfx fxdxdxfxfxfxfxfxf xfx fxfxdxCfxfxfx 7、设tan(1)nnIxdx n，求证：121tan1nnnIxIn，并求5tan xdx。 知识点：分部积分法考察，三角恒等式的应用，凑微分等。 思路分析：由要证明的目标式子可知，应将tannx分解成22tantannxx，进而写成 22tan(sec1)nxx，分部积分后即可得到2nI。 证明：22
87、22tantantantan(sec1)nnnnIxdxxxdxxxdx 22121tantantantan1nnnnxdxxdxxIn。 22tansectan22222cos2tantantantantan22222tan.2xxxxxxxxxxexxxxdxedxededxxxxxxxe dedxeedxedxxeC 51 54425314242111tantantan(tan)4421111tantantantantanln cos4242xdxIxIxxIxxxdxxxxC 8、1( ).1xdxBx 思路：化无理式为有理式，三交换元。 解：21111xxxx，令sin ,2xt t
88、，则cosdxtdt。 22111sincos(1sin )cos1cos1arcsin1.xxtdxdxtdtt dtttCxtxxxC 9、设不定积分1(1)xxdxxxe1I，若xuxe，则有()D。 思路：xu xe=，提示我们将被积函数的分子分母同乘以xe后再积分。 解：1(1)(1)(1)xxxxxexdxdxxxee xxe1I 又()(1);xxxduexedxex dx 2,(1)duIuu1I选()D。 10、求下列不定积分: 知识点：求无理函数的不定积分的综合考察。 思路分析：基本思路将被积函数化为有理式。 (1)、4.1dxxx 思路：先进行倒代换，在进行三角换元 。
89、解：令1xt，则21dxdtt 。 22444411()211111dxttdtdtdttxxttt 52 令2tan ,02tuu，则22secdtudu。 2244242411sec1sec22sec211111ln sectanln( 1)ln()22211dxdtuduuduuxxtxuuCttCCx 42111ln()2xCx (2)、221.1xdxxx 思路：进行三角换元，化无理式为有理式。 解：令sec ,02xtt ，则sec tan,dxttdt 2222211 sec1 secsec tan(cos1)sectansec11111sinarccosarcsin.xttdx
90、ttdtdttdttttxxxxttCCCxxxx 注： 11(arccos)( arcsin)xx (3)、222.1xdxxx 思路：进行三角换元，化无理式为有理式。 解：令sin ,02xtt ，则cosdxtdt； 22222222sin212cos()csc2 cscsincossinsin1112 1ln csccot2cotln.xtdxtdtdttdttdtttttxxxxtttCCxxx (4)、22.(1) 1dxxx 思路：进行三角换元，化无理式为有理式。 解：令sin ,02xtt ，则cosdxtdt； 53 2222222222cossec(1 sin)cos1 s
91、incos2sin12tan(1) 12( 2 tan )222arctan( 2 tan )arctan().2221 ( 2 tan )1dxtdtdtdttdtttttttxxdtxtCCtx (5)、2.4dxxx 思路：进行三角换元，化无理式为有理式。 解：令2sin ,02xtt ，则2cosdxtdt； 2222cos11cscln csccot2sin 2cos2sin224124142lnln.22dxtdtdttdtttCtttxxxxCCxxx 11、求下列不定积分: 知识点：较复杂的分部积分法的考察。 思路分析：基本思路严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分。 (1)
92、、2ln(1)xxdx 思路：分部积分。 解：2222ln(1)ln(1)(1)11xxxxdxxxxdxxxx 22222222221ln(1)ln(1)2111(1)ln(1)ln(1)121xdxxxxdxxxxxxd xxxxxxxxCx (2)、2ln(1)x dx 思路：分部积分。 解：222222222(1)2ln(1)ln(1)ln(1)11xxx dxxxdxxxdxxx 2221ln(1)22ln(1)22arctan1xxdxdxxxxxCx。 (3)、4tansecxxxdx 思路：分部积分。 解：4343tansecsecsecsecsec (secxxxdxxxdx
93、xxxx 54 34444244344433 sectan )secsec3tan secsec(tan1) tan3tansec1sectantan3tan sec3111tan secsectantan.4124xxx dxxxxdxxxxdxxxxdxxxxdxxxxxxxxdxxxxdxxxxxC (4)、22arctan1xxdxx 思路：分项后分部积分。 解：222221 11arctanarctanarctanarctan111xxxdxxdxxdxxdxxxx 222arctanarctanarctan111arctanln(1)(arctan ).22xxxdxxdxxxxx
94、xC (5)、23ln(1)xdxx 思路：分部积分后 倒代换。 解：22222232ln(1)111ln(1) ()ln(1)2222 1xxdxx dxxxxdxxx 2221ln(1)2(1)dxxxxx 对于积分2(1)dxxx应用倒代换，令1xt，则21dxdtt ， 22222221111()ln(1)ln()122(1)11dxttdtxdttCCxxttxt 222322ln(1)ln(1)11ln().22xxxdxCxxx (6)、1cosxdxx 思路：将被积函数变形后分部积分。 55 解：2221secsectan1cos222222cos2xxxxxxdxdxxdxx
95、dxdxx tantantan2 tantan2ln cos2222222xxxxxxxxdxxdxC 11costanlntanln 1cos222xxxxCxxC。 12、求不定积分:,nxnIx e dx n为自然数。 知识点：较复杂的分部积分法的考察。 思路分析：基本思路严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分，推一个递推关系式。 解：1xIxexC 11nxnxnxnxnxnnIx e dxx dex en xe dxx enI 123101231(1)(1)(2)( 1)(1)(2)(1)( 1)! )( 1)!(1)(1)(2)( 1)(1)(2)(1)( 1)! )( 1)!x
96、nnnnkn knnxnnnnkn knnxexnxn nxn nnxn nnnkxn xn Iexnxn nxn nnxn nnnkxn xn eC 13、求不定积分:2(23)cos 2.xxxdx 知识点：较复杂的分部积分法的考察。 思路分析：基本思路严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分，分项后分别积分。 解：22(23)cos2cos22cos23 cos2xxxdxxxdxxxdxxdx 213sin2sin2cos222213(sin22sin2) ( sin2sin2)sin222113(sin2cos2 ) ( sin2sin22 )sin222211113sin2cos2
97、cos2sin2cos2sin22222211sin2c22x dxxdxxd xxxxx xxxxdxxxxxdxxxxd xxxxxxxdxxxxxxxx2222d-+-+2113os2sin2sin2cos2sin24221511()sin2()cos2.2422xx xxxxCxxxxxC- 14、求下列不定积分: 56 知识点：求解较复杂的有理函数和无理函数的不定积分。 思路分析：基本思路有理式分项、无理式化为有理式。 (1)、118432x dxxx 思路：将被积函数化为一个整式加上一个真分式的形式，然后积分。 解：117373338484843232()323232x dxxxx
98、xxdxx dxdxxxxxxx 73373448484208121313812348483232xxxxxxdxxdxxxxx 384448484842013(32)58488323232x dxd xxdxxxxxxxx 8444844213(32)53148832()24d xxdxxxxx 484484423()13(32)523148832()24d xd xxxxxx 448441351ln32ln4882xxxxCx 444441351ln (1)(2)ln4882xxxxCx 444411ln.42xxCx (2)、881(1)xdxxx 思路：将被积函数化为一个整式加上一个真
99、分式的形式，然后积分。 解：887888881(1)(1)(1)(1)1xdxxdxxdxdxdxxxxxxxxxx 对8(1)dxxx采用倒代换，令1xt，则21dxdtt 。 57 788182888111()ln(1)1(1)18 181dxttdtdtdttCxxtttt 111ln();8xCx 88 而78828811ln(1);8811xxdxxCxxd 888811111ln()ln(1)lnln(1).(1)884xxdxxCxxCxxx 88 (3)、310021(2)xxdxx 思路：将被积函数分项后分部积分。 解：33221(2)6(2)10(2)5;xxxxx 332
100、1001009798991009697989921(2)6(2)10(2)5(2)(2)6105(2)(2)(2)(2)1655.96(2)97(2)49(2)99(2)xxxxxdxdxxxdxdxdxdxxxxxCxxxx (4)、22(1)(4)xdxxx 思路：将被积函数裂项分项后积分。 解：222222222221111ln.(1)(4)2(1)(4)61464xdxdxdxxdxCxxxxxxx (5)、22(1)(1)dxxxx 思路：将被积函数分项后积分。 解：令22221(1)(1)11AxBCxDxxxxxx，等式右边通分后比较等式两边分子上x的同次幂项的系数得：0,0,0
101、,1ACABDABCBD； 解之得：1,0,1.ABCD 58 222222222222222222211(1)(1)111112222(1)(1)11111121111(1)ln(1)22222111111ln(1322()24xxxxxxxxdxxxdxxdxdxdxdxxxxxxxxxxdxxdxd xxdxdxxxxxxxxxdxx 2222221()1131)ln(1)2123()1311121ln(1)ln(1)arctan().2233xdxxxxxxxxC (6)、33()xdxxxx 思路:化无理式为有理式，第二类换元法。该题中欲同时去掉3x，x，应令6tx。 解：令6tx，
102、则56;dxt dt 2356323363666666ln(1)11()()6ln.()1xtdtdtdttdxt dtCt tttttttxxxxxdxCxxxx (7)、(1)1x xdxxx 思路:分母有理化，换元。 解：(1)(1)(1)(1)11x xdxx xxx dxxxdxx xdxxx 对于积分(1)xxdx，令tx，则2;dxtdt 2425315322122(1)(1) 22 ()5322(1)53xxdxtt tdtttdtttCxxdxxxC 对于积分1x xdx，令1ux，则2;dxudu 59 2425325322255332222221(1) 22 ()5322
103、1(1)(1)53(1)22 (1)(1) .531x xdxuu uduuuduuuCx xdxxxCx xdxxxxxCxx (8)、2(1)2dxxx 思路：换元倒代换。 解：令11xt ，则21;dxdtt （解题过程中涉及到开方，不妨设10-1tx，若小于零，不影响最后结果的形式。也就是：不论正负，结果都一样。） 222221()12()11(1)22(1)(1)21 ()2tddxtdtdtttxxtt 11121arcsinarcsinarcsin.222( -1)txxCCCx (9)、243(1) (1)dxxx 解答详见习题 4-4 第 2 题的（15）题。 (10)、22
104、31(1)xdxxx 思路:“一路”换元。 解：2222322322311(1)221(1)1(1)1(1)xdxdxdxxxxxxx 令21tx ，则 2233111222111(1)xdxdtdtdtd ttt ttttxxtt 令ut，则 60 2223(1)2 12 11.111(1)xdxduduuCxCuuxx 15、求下列不定积分: 知识点：求解较复杂的三角函数有理式的不定积分。 思路分析：基本思路三角代换等，具体问题具体分析。 (1)、sin 22sindxxx 思路:万能代换。 解：令tan2xt ，则2222221,sin,cos;111dtttdxxxttt 222222
105、2221(1)11212sin22sin44221111111lnln tantan.484282dtdxtdtdtttdttttxxtttttxxttCC (2)、tan21sincosxdxxx 思路:万能代换。 解：令tan2xt ，则2222221,sin,cos;111dtttdxxxttt 22222tan12ln 1211 sincos11111tan2tanln 1tan.1 sincos22dtxtdxtdtdttdtttCttxxttttxdxxxCxx (3)、3sincosdxxx 思路:将被积函数的分子1 变换一下，221sincosxx。 解：222233331si
106、ncos1cossincoscossincossincossincossincossinsinxxxxxxxxxxxxxxxx 61 2222322tancotcsccottancotcsccot(tancotcsccot )tancotcsccotsincos1ln cosln sincsccscln cosln sincsc21ln tancsc.2xxxxxxxxdxxxxx dxxdxxdxxxdxxxxxxdxxxxCxxC (4)、sincossincosxxdxxx 思路:注意到21sincossin (),42xxx，而sincos2sin()4xxx，此题易解。 解：21si
107、n ()sin cos42sincos2sin()4xxxxxx 21sin ()sin cos2242sin()csc()sincos24442sin()422cos()ln csc()cot().24444xxxdxdxxdxxdxxxxxxxC (5)、sinsin2 sin3xxxdx 思路:将被积函数积化和差。 解：1sin sin3(cos4cos2 )2xxxx 22231sinsin 2 sin3(cos4cos2 )sin2211cos4 sin2cos2 sin22211(2cos 21)sin2sin42411cos 2 sin2sin2sin424111cos 2cos
108、2sin22sin44241611cos 26xxxdxxxxdxxxdxxxdxxxdxxdxxxdxxdxxdxxdxxd xxd xx 1cos2cos4.416xxC 注：另一种解法是： 62 1sin sin2 sin3(cos4cos2 )sin2211cos4 sin2cos2 sin222xxxdxxxxdxxxdxxxdx 111111(sin6sin2 )sin4cos6cos2cos4.22424816xx dxxdxxxxC (6)、44sincossincosxxdxxx 思路:注意到被积函数的分子1sincossin22xxx，分母4421sincos1sin 22
109、xxx ，易解。 解：44211sincossin2 ,sincos1sin 2 ,22xxxxxx 4422211sin2sin2sincos1122cos2112sincos1cos 21sin 21sin 2221arctan(cos2 ).2xxxxdxdxdxdxxxxxxxC (7)、2211(01,)2 12 cosrdxrxrxr 思路:万能代换。 解：令tan2xt ，则22221,cos11dttdxxtt，代入得： 22222211122212 cos(1)(1)2 (1)rrdtdxrxrrtrt 2222222221()1212112(1)(1)2(1)(1)()11
110、11arctan()arctan(tan).112rdtrdtrdtrrrtrrtrtrrrxtCCrr (8)、4sin3cossin2cosxxdxxx 思路:非常典型的解题思路-将被积函数的分子4sin3cosxx表示成分母sin2cosxx和分母的导数cos2sinxx的线性组合的形式。 解：4sin3cos2(sin2cos )(cos2sin )xxxxxx 63 2(sin2cos )(sin2cos )4sin3cos2(sin2cos )(sin2cos )sin2cossin2cos(sin2cos )22ln sin2cos.sin2cosxxxxxxxxxxdxdxxx
111、xxdxxdxxxxCxx 16、求max 1, x dx 知识点：被积函数表现为一个分段函数，则不定积分也表现为一个分段函数。 思路分析：基本思路讨论。 解：当x 1时，max 1,1x ；而当1x 时，max 1, xx ； 当1x 时，max 1, xx； 当1x 时，max 1, x dx21;2xxdxC 当x 1时，2max 1,;x dxdxxC 当1x 时，23max 1,.2xx dxxdxC 由max 1, x dx的连续性可知：2132111,1,22CCCCC设1,CC 22,1;21max 1,21,1.2xCxx dxxCxxCx 1; 17、设2(),y xyx求
112、3dxxy 思路: 变量替换。 解：令txy，则3342222233,;3;11(1)tttttyxt xxydxdtttt 222221(1)11ln1ln ()1322211dxtd tdttCxyCxytt。 64 18、设( )f x定义在( , )a b上，( , )ca b,又( )f x在( , ) a bc连续，c为( )f x的第一类间断点，问( )f x在( , )a b内是否存在原函数？为什么？ 知识点：考察对原函数定义的理解。 思路分析：反证法。 解证：假设( )F x为( )f x的一个原函数，考察( )F x在点c的导数， ( )( )( )( )lim(0), l
113、im(0);xcxcF xF cF xF cf cf cxcxc 而( )( )lim( )( ),(0)(0)( )xcF xF cF cf cf cf cf cxc ( )f x在点c连续，这与c为( )f x的第一类间断点矛盾！ 课外典型例题与习题解答 1、62(1)dxxx 思路分析：此题属于有理函数的积分，且分母的次数大于分子的次数，可使用倒代换。下面的解答采用另一种方法，仔细体会，你会收获不小！ 解：22226262642642(1)(1)(1)(1)(1)(1)dxxxdxdxdxxxdxdxxxxxxxxxxx 6422642253(1)1111arctan.53dxdxdxd
114、xdxdxdxxxxxxxxxxCxxx 2、51xdxx 思路分析：此题属于有理函数的积分，且分子的次数大于分母的次数。经典的解法 -将被积函数写成一个整式加上一个真分式的形式，然后分项积分。 解：54443334443(1)(1)11111xxxxxxxxxxxxxxxxxx 65 2224343243243243243254324325432(1)(1)1111 11111111(1)(1)1111111ln 1.5432xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxdxxxxxdxxxxxdxdxxxxxxxxxxC 3、5cos xdx 思路分析：经典思路-
115、若被积函数为弦函数的奇数次幂，则取其一次凑微分，余下部分化为余函数的形式积分即可。 解：5422coscos(sin )(1sin)(sin )xdxxdxxdx 243521(12sinsin) (sin )sinsinsin.35xx dxxxxC 4、4sin xdx 思路分析：经典思路-若被积函数为弦函数的偶数次幂，则将被积函数降幂，然后分项积分即可。 解：42221cos21111sin()(12cos2cos 2 )cos2cos 224424xxxxxx 4111 1cos4311cos2cos2cos4 ;4242828311311sin(cos2cos4 )sin2sin4.
116、8288432xxxxxdxxx dxxxxC 5、sin2xexdx 思路分析：经典思路-大凡被积函数表现为反三角函数、对数函数、幂函数、三角函数、指数函数等五大类基本初等函数中的某两类的乘积的形式，则使用分部积分法求解！且按照“反、对、幂、三、指”的顺序，顺序排后者优先纳入到微分号下凑微分。其中“反、对、幂、三、指”依次代表“反三角函数、对数函数、幂函数、三角函数、指数函数”五类函数。 解：sin2sin2sin22cos2sin22 cos2xxxxxxexdxxdeexexdxexxde sin 22cos24sin21sin2(sin22cos2 ).5xxxxxexexexdxex
117、dxexxC 66 6、211ln11xdxxx 思路分析： 凑微分。 21111111ln(1)ln(1)ln12 11221xdxdxdxxdxxxx 解： 221111111lnlnlnln1121141xxxxdxdCxxxxx。 7、22ln(1)1xxdxx 思路分析： 凑微分。 222222(1)1(ln(1)(1)1111d xxxdxdxxdxxxxxxx 解：222222ln(1)1ln(1) ln(1)ln (1)21xxdxxxdxxxxCx 注：第一类换元法( ( )( )( ( )( )( ( )fxx dxfx dxFxC，6、7 小题均为中间变量较复杂的情形，这
118、需要大家对第 3 章求导数过程比较熟悉，请大家好好体会！ 8、21 ln(ln )xdxxx 解： 方法一：凑微分。注意到被积函数中有1 ln x，而2ln1 lnxxddxxx，这同样需要大家对经常出现的求导过程比较熟悉。 222221 ln1 ln1ln1ln1lnlnln(ln )(1)(1)(1)xxxxdxdxddxxxxxxxxxxx 1.lnln1xCCxxxx 方法二：分部积分法。先分项，再用分部积分法，注意到1(ln )(1)d xxdxx。 2221 lnln111(ln )(ln )ln(ln )xxxxxdxdxdxdxxxxxxxxx 2211111(ln )ln(l
119、n )ln(ln )xdxxdxdxxd xxxxxxxxxx 67 1111lnlnlnlnlnlnxxdxxddxdxCxxxxxxxxxxxx 9、sincos(0)41 sin2xxdxxx 思路：凑微分。三角函数2221 sin 2cos2sincossin(cossin )xxxxxxx，且(cossin )(sincos )dxxxx dx 。 解： 2sincossincos(cossin )ln(cossin )cossin1 2sin2(cossin )xxxxdxxdxdxxxCxxxxx 10、设ln(1)(ln ),xfxx计算( ).f x dx（2000 年数学二
120、、三） 思路：先求出( )f x，再根据分部积分法计算。 解： 令lntx，则,txe带入原式得： ( )ln(1)ttf tee，故( )ln(1)xxf xee ( )ln(1)ln(1) ()xxxxf x dxee dxe de 1ln(1)()ln(1)11xxxxxxxxeeeedxeedxee ln(1)ln(1)xxxeeeC 具体求解过程见习题4-3，1（24）。 11、23xx e dx （94 年数学二） 思路： 分部积分法。2212xxxe dxde。 解： 2222322221122xxxxx e dxx xe dxx e dxx de 22222222221111112222222xxxxxxx eexdxx ee dxx eeC 12、2lnsinsinxdxx （98 年数学二） 思路： 分部积分法。 解： 2lnsincoslnsin( cot )cotlnsincotsinsinxxdxxdxxxxdxxx 22cotlnsincotcotlnsin(csc1)xxxdxxxxdx cotlnsincotxxxxC 13、已知22(sin)cos2tan, 02fxxxx，求( )f x。
