《数学 第三章 基本初等函数（Ⅰ）3.2 对数与对数函数 3.2.3 指数函数与对数函数的关系 新人教B版必修1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学 第三章 基本初等函数（Ⅰ）3.2 对数与对数函数 3.2.3 指数函数与对数函数的关系 新人教B版必修1（23页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、3 3.2 2.3 3指数函数与对数函数的关系指数函数与对数函数的关系一二一、反函数的概念【问题思考】1.(1)已知一次函数y=2x-1,你能从方程的角度把x用y表示出来吗?一二2.填空.(1)构成反函数的前提:函数f(x)是一一映射.(2)反函数的定义把函数f(x)的因变量作为新的函数的自变量,而把函数f(x)的自变量作为新的函数的因变量,我们就称这两个函数互为反函数.(3)反函数的记法函数y=f(x)的反函数通常用y=f-1(x)表示.一二二、指数函数与对数函数的关系【问题思考】1.函数y=ax(a0,且a1)与函数y=logax(a0,且a1)的解析式有何内在联系?提示:根据对数式与指数
2、式的互化可知y=ax可化为对数式“x=logay”,再将等式“x=logay”中的x,y互换,也就形成了对数函数y=logax,从这一内在联系可以看出y=ax与y=logax的定义域和值域是互换的.2.函数y=ax(a0,且a1)与函数y=logax(a0,且a1)的单调性有一致性吗?提示:当0a1时,上述两个函数均是其定义域上的增函数.因此单调性具有一致性,但变化速度有差异.一二3.填空.(1)关系指数函数y=ax(a0,a1)与对数函数y=logax(a0,a1)互为反函数.(2)图象特征指数函数y=ax(a0,a1)与对数函数y=logax(a0,a1)的图象关于直线y=x对称.(3)单
3、调性当a1时,在区间1,+)内,指数函数y=ax随着x的增长,函数值的增长速度逐渐加快,而对数函数y=logax的增长速度逐渐变得很缓慢.思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号里打“”,错误的打“”.(1)任何函数都有唯一一个反函数.()(2)若函数y=logax的图象过点(m,n),则函数y=ax的图象定过点(n,m).()(3)互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称.()答案:(1)(2)(3)探究一探究二探究三思维辨析求反函数求反函数【例1】求下列函数的反函数:分析:按照求反函数的基本步骤求解即可.解:(1)由y=log2x,得x=2y,探究一探究二探究三思维辨析反思感悟
4、求函数的反函数的主要步骤:(1)从y=f(x)中解出x=(y);(2)x,y互换;(3)标明反函数的定义域(即原函数的值域),简记为“一解、二换、三写”.探究一探究二探究三思维辨析变式训练变式训练1求函数y=2x+1(x0)的反函数.解:由y=2x+1,得2x=y-1,x=log2(y-1),y=log2(x-1).又x0,02x1,12x+12.所求函数的反函数为y=log2(x-1)(1x0,且a1,则函数y=ax与y=loga(-x)的图象只能是()(2)将y=2x的图象(),再作关于直线y=x对称的图象,可得到函数y=log2(x+1)的图象.A.先向上平行移动一个单位长度B.先向右平
5、行移动一个单位长度C.先向左平行移动一个单位长度D.先向下平行移动一个单位长度探究一探究二探究三思维辨析解析:(1)方法一:首先,曲线y=ax只可能在上半平面,y=loga(-x)只可能在左半平面,从而排除A,C.其次,从单调性着眼.y=ax与y=loga(-x)的单调性正好相反,又可排除D.故选B.方法二:若0a1,则曲线y=ax上升且过点(0,1),而曲线y=loga(-x)下降且过点(-1,0),只有B满足条件.方法三:如果注意到y=loga(-x)的图象关于y轴的对称图象为y=logax,又y=logax与y=ax互为反函数(图象关于直线y=x对称),则可直接选B.(2)本题是关于图象
6、的平移变换和对称变换,可求出解析式或利用几何图形直观推断.答案:(1)B(2)D探究一探究二探究三思维辨析反思感悟互为反函数的图象特点:(1)互为反函数的图象关于直线y=x对称;图象关于直线y=x对称的两个函数互为反函数.(2)互为反函数的两个函数在相应区间上的单调性一致.(3)若一奇函数有反函数,则它的反函数也是奇函数.探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析指数函数与对数函数关系的综合应用指数函数与对数函数关系的综合应用【例3】设方程2x+x-3=0的根为a,方程log2x+x-3=0的根为b,求a+b的值.分析:根据方程的特点,难以从正面下手,可转变方程形式,用数形结合的方法
7、求解.解:将方程整理得2x=-x+3,log2x=-x+3.如图可知,a是指数函数y=2x的图象与直线y=-x+3交点A的横坐标,b是对数函数y=log2x的图象与直线y=-x+3交点B的横坐标.探究一探究二探究三思维辨析由于函数y=2x与y=log2x互为反函数,所以它们的图象关于直线y=x对称,由题意可得出A,B两点也关于直线y=x对称,于是A,B两点的坐标为A(a,b),B(b,a).则A,B都在直线y=-x+3上,b=-a+3(A点坐标代入),或a=-b+3(B点坐标代入),故a+b=3.反思感悟根据指数函数与对数函数图象的关系,利用数形结合、等价转化的思想可较为简便地解决有关方程解的
8、个数问题.探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析因对反函数定义理解:不清而致误【典例】已知函数y=f(x+1)与函数y=g(x)的图象关于直线y=x对称,且g(x)的图象过定点(1,2018),则y=f-1(x+1)的图象过定点.错解:g(x)的图象过定点(1,2018),y=f(x+1)的图象过定点(2018,1).y=f-1(x+1)的图象过定点(1,2018).以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何订正?你怎么防范?提示:错解过程是把f(x+1)与f-1(x+1)误认为是互为反函数了,实际上f(x)与f-1(x)是互为反函数的,对此不能对自变量x随意变化拓展.
9、探究一探究二探究三思维辨析正解:g(x)的图象过定点(1,2018),f(x+1)的图象过定点(2018,1).又f(x)的图象可以看作由f(x+1)的图象向右平移一个单位长度得到的,f(x)过定点(2019,1).又f(x)与f-1(x)互为反函数,f-1(x)的图象过定点(1,2019).再结合f-1(x)与f-1(x+1)的关系可知,f-1(x+1)的图象过定点(0,2019).防范措施1.防止以上错误的产生,首先要明确反函数的求解原则和步骤,并且要清楚f(x)与f-1(x)是互为反函数的本质是等式中的x,y进行了互换.2.对于复合函数f(x+1)的函数的求解,可将“x+1”看成整体来对待,即由y=f(x+1)可初步得x+1=f-1(y),即y=f-1(x)-1才是y=f(x+1)的反函数.探究一探究二探究三思维辨析变式训练变式训练已知函数y=f(x-2)的图象过定点(2,6),则函数y=f-1(x-2)的图象过定点.答案:(8,0)答案:B2.函数y=x+2(xR)的反函数为()A.x=2-y B.x=y-2C.y=2-x(xR) D.y=x-2(xR)解析:由y=x+2(xR),得x=y-2(xR).互换x,y,得y=x-2(xR).答案:D
