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1、理学院University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上海理工大学上海理工大学向量的范数向量的范数例例1 考虑下面的两个线性方程组：考虑下面的两个线性方程组：其解分别为：其解分别为：和和在对方程组的解进行误差分析、讨论解方程组的迭代在对方程组的解进行误差分析、讨论解方程组的迭代法的收敛性以及讨论方程组的法的收敛性以及讨论方程组的“优劣优劣”时，需要利时，需要利用向量与矩阵的范数的概念。用向量与矩阵的范数的概念。理学院University of Shanghai for Science and Technol
2、ogyCollege of Science 上海理工大学上海理工大学定义：设定义：设X=(x1,x2,xn)T Rn ,则定义则定义:(1)(1)向量的向量的2 2范数：范数：(2)(2)向量的向量的 范数：范数：(3)(3)向量的向量的1 1范数：范数：定义定义 设向量设向量X Rn ,若若X的实值函数的实值函数N(X)=X,满足条件满足条件:(1)非负性非负性: X 0 ,且且X=0的充要条件为的充要条件为X=0;(2)齐次性齐次性: kX =|k |X, k R；(3)三角不等式三角不等式:对任意对任意 X,Y Rn ,都有都有: X+Y X+Y则称则称N(X)=X为为Rn上的上的向量向
3、量 X 的范数的范数。理学院University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上海理工大学上海理工大学 矩阵范数和条件数矩阵范数和条件数定义定义:设矩阵设矩阵A Rnn ,若若A的实值函数的实值函数N(A)=A,满足条件满足条件: (1)(1)非负性非负性: : A 0 ,且且A=0=0当且当且仅仅当当 A=0;=0; (2)(2)齐次性齐次性: : A=| |A, R;R; (3)(3)三角不等式三角不等式:A+B A+B; (4)(4)柯西施瓦茨不等式柯西施瓦茨不等式:AB AB.则称则称A为为矩阵矩阵A
4、的范数的范数. 定义：定义：设向量设向量X X R Rn n , ,矩阵矩阵A A R Rn nn n , ,且给定一种向量范数且给定一种向量范数Xp ,则称则称为由向量范数派生的为由向量范数派生的矩阵算子范数矩阵算子范数.理学院University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上海理工大学上海理工大学定理：设定理：设A=(aij)nn,则对应于则对应于3种常见的向量范数，有种常见的向量范数，有3种矩阵范数种矩阵范数列和的最大值列和的最大值行和的最大值行和的最大值是是ATA的最大特征值，也称为谱范数的最大特征
5、值，也称为谱范数矩阵范数的一些性质：矩阵范数的一些性质：理学院University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上海理工大学上海理工大学定理：定理： A为矩阵为矩阵A的的范数范数，则易知：，则易知：证：证：x为为A的特征向量的特征向量#证毕证毕定义：设定义：设A=(aij)nn,的特征值为的特征值为 r，定义定义A的的谱半径谱半径为：为：理学院University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上海理工大学上海理工大学条件数和
6、病态矩阵条件数和病态矩阵定义：（条件数）定义：（条件数）表示表示A的某种范数的某种范数设设，引入误差引入误差 后后，解引入误差，解引入误差，则，则若若矩阵矩阵A的条件数较大，则称的条件数较大，则称A为病态矩阵。为病态矩阵。理学院University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上海理工大学上海理工大学注意到注意到因为：因为：理学院University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上海理工大学上海理工大学条件数条件数很小很小条
7、件数表示了对条件数表示了对误差的放大率误差的放大率理学院University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上海理工大学上海理工大学同样，类似有同样，类似有理学院University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上海理工大学上海理工大学注：注：一般判断矩阵是否病态，并不计算一般判断矩阵是否病态，并不计算A 1，而由经验得出。而由经验得出。 行列式很大或很小（如某些行、列近似相关）；行列式很大或很小（如某些行、列近似相关）； 元素间相差大数量级，且无规则；元素间相差大数量级，且无规则； 主元消去过程中出现小主元；主元消去过程中出现小主元； 特征值相差大数量级。特征值相差大数量级。精确解精确解为为例例计算计算cond (A)2 。A 1 = 理学院University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上海理工大学上海理工大学解：解：考察考察 A 的特征根的特征根39206 1 测试病态程度：测试病态程度：给一个扰动给一个扰动，其相对误差为，其相对误差为此时此时精确解精确解为为2.0102 200%为对称矩阵
