电磁场与电磁波第四版：第1章 矢量分析

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1、第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学 1第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学 本章内容本章内容1.1 矢量代数矢量代数1.2 三种常用的正交曲线坐标系三种常用的正交曲线坐标系1.3 标量场的梯度标量场的梯度1.4 矢量场的通量与散度矢量场的通量与散度1.5 矢量场的环流和旋度矢量场的环流和旋度1.6 无旋场与无散场无旋场与无散场1.7 拉普拉斯运算与格林定理拉普拉斯运算与格林定理1.8 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理2第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学 1

2、. 1. 标量和矢量标量和矢量矢量的大小或模矢量的大小或模：矢量的单位矢量矢量的单位矢量：标量标量：一个只用大小描述的物理量。一个只用大小描述的物理量。矢量的代数表示矢量的代数表示：1.1 矢量代数矢量代数矢量矢量：一个既有大小又有方向特性的物理量，常用黑体字一个既有大小又有方向特性的物理量，常用黑体字 母或带箭头的字母表示。母或带箭头的字母表示。 矢量的几何表示矢量的几何表示：一个矢量可用一条有方向的线段来表示一个矢量可用一条有方向的线段来表示 注意注意：单位矢量不一定是常矢量。单位矢量不一定是常矢量。 矢量的几何表示矢量的几何表示常矢量常矢量：大小和方向均不变的矢量。大小和方向均不变的矢量

3、。 3第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学 矢量用坐标分量表示矢量用坐标分量表示zxy4第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学 （1）矢量的加减法矢量的加减法 两矢量的加减在几何上是以这两矢量为两矢量的加减在几何上是以这两矢量为邻边的平行四边形的对角线邻边的平行四边形的对角线, ,如图所示。如图所示。矢量的加减符合交换律和结合律矢量的加减符合交换律和结合律2. 矢量的代数运算矢量的代数运算 矢量的加法矢量的加法矢量的减法矢量的减法 在直角坐标系中两矢量的加法和减法：在直角坐标系中两矢量的加法和减法：结

4、合律结合律交换律交换律5第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学 （2 2）标量乘矢量标量乘矢量（3）矢量的标积（点积）矢量的标积（点积）矢量的标积符合交换律矢量的标积符合交换律q矢量矢量 与与 的夹角的夹角6第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学 （4）矢量的矢积（叉积）矢量的矢积（叉积）qsinABq矢量矢量 与与 的叉积的叉积用坐标分量表示为用坐标分量表示为写成行列式形式为写成行列式形式为若若 ，则，则若若 ，则，则7第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大

5、学 （5 5）矢量的混合运算矢量的混合运算 分配律分配律 分配律分配律 标量三重积标量三重积 矢量三重积矢量三重积8第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学 1.2 三种常用的正交曲线坐标系三种常用的正交曲线坐标系三种常用的正交曲线坐标系：三种常用的正交曲线坐标系：坐标变量：坐标变量：描述坐标轴的量描述坐标轴的量正交曲线坐标系正交曲线坐标系：三条正交曲线组成的确定三维空间任：三条正交曲线组成的确定三维空间任 意点位置的体系意点位置的体系坐标轴：坐标轴：三条正交曲线三条正交曲线直角直角坐标系坐标系圆柱坐标系圆柱坐标系球坐标系球坐标系9第第1 1章章 矢

6、量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学 1. 直角坐标系直角坐标系 位置矢量位置矢量坐标变量坐标变量坐标单位矢量坐标单位矢量 点点P(x0,y0,z0)（平面）（平面）oxy（平面）（平面）（平面（平面）P 直角坐标系直角坐标系 10第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学 位置矢量位置矢量面元矢量面元矢量线元矢量线元矢量体积元体积元 x yz直角坐标系的长度元、面积元、体积元直角坐标系的长度元、面积元、体积元 odzd ydx11第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学 2.

7、圆柱坐标系圆柱坐标系坐标变量：坐标变量：坐标单位矢量：坐标单位矢量：圆柱坐标系圆柱坐标系变化范围：变化范围：变换关系：变换关系：12第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学 圆柱坐标系圆柱坐标系与与直角坐标直角坐标之间单位矢量的变换关系之间单位矢量的变换关系 ofxy单位圆单位圆 直角坐标系与柱坐标系之间直角坐标系与柱坐标系之间坐标单位矢量的关系坐标单位矢量的关系f13第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学 线元矢量线元矢量体积元体积元面元矢量面元矢量位置矢量位置矢量圆柱坐标系中的线元、面元和体积元圆柱坐

8、标系中的线元、面元和体积元14第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学 3. 球坐标系球坐标系坐标变量：坐标变量：坐标单位矢量坐标单位矢量变化范围：变化范围：变换关系：变换关系：15第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学 坐标单位矢量之间的关系坐标单位矢量之间的关系 球坐标系球坐标系与与圆柱坐标圆柱坐标球坐标系球坐标系与与直角坐标直角坐标oqrz单位圆单位圆 柱坐标系与求坐标系之间柱坐标系与求坐标系之间坐标单位矢量的关系坐标单位矢量的关系qq16第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波

9、电子科技大学电子科技大学 线元矢量线元矢量体积元体积元面元矢量面元矢量球坐标系中的线元、面元和体积元球坐标系中的线元、面元和体积元位置矢量位置矢量17第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学 1.3 标量场的梯度标量场的梯度标量场和矢量场标量场和矢量场q标量场标量场：物理量是为标量物理量是为标量q矢量场矢量场：物理量是矢量：物理量是矢量q时变场：时变场： q场的概念：场的概念：物理量在空间区域上的一个确定分布物理量在空间区域上的一个确定分布q静态场静态场： 例如例如：流速场：流速场、重力场重力场、电场、磁场等、电场、磁场等 例如例如：温度场、电位场、

10、高度场等。：温度场、电位场、高度场等。18第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学 1.1.标量场的等值面标量场的等值面等值面等值面: : 标量场取得同一数值的点在空标量场取得同一数值的点在空 间形成的曲面。间形成的曲面。等值面方程等值面方程：常数常数C 取一系列不同的值，就得到一系列取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形成等值面族；不同的等值面，形成等值面族；标量场的等值面充满场所在的整个空间；标量场的等值面充满场所在的整个空间；标量场的等值面互不相交。标量场的等值面互不相交。 等值面的特点等值面的特点：意义意义: : 形象直观地描述了物理

11、量在空间形象直观地描述了物理量在空间 的分布状态。的分布状态。标量场的等值线标量场的等值线( (面面) )19第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学 2. 方向导数方向导数意义意义：方向导数表示场沿某方向的空间变化率：方向导数表示场沿某方向的空间变化率。概念概念： u(M)沿沿 方向增加；方向增加； u(M)沿沿 方向减小；方向减小； u(M)沿沿 方向无变化。方向无变化。 M0M方向导数的概念方向导数的概念 特点特点：方向导数既与点：方向导数既与点M0有关，也与有关，也与 方向有关方向有关。问题问题：在什么方向上变化率最大、其最大的变化率为多少？

12、：在什么方向上变化率最大、其最大的变化率为多少？ 的方向余弦。的方向余弦。 式中式中： 20第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学 梯度的表达式梯度的表达式：圆柱坐标系圆柱坐标系 球坐标系球坐标系直角坐标系直角坐标系 3. 标量场的梯度标量场的梯度（ 或或 ）意义意义：描述标量描述标量场在某点的最大变化率及场在某点的最大变化率及 其变化最大的方向其变化最大的方向概念概念： 其中其中 取得最大值的方向取得最大值的方向M0梯度的概念梯度的概念 21第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学 标量场的梯度是矢量场

13、，它在空间某点的方向表示该点场标量场的梯度是矢量场，它在空间某点的方向表示该点场变化最大（增加）的方向，其数值表示变化最大方向上场变化最大（增加）的方向，其数值表示变化最大方向上场的空间变化率。的空间变化率。梯度的性质梯度的性质：标量场的梯度垂直于通过该点的标量场的梯度垂直于通过该点的等值面（或切平面）等值面（或切平面）标量场在某个方向上的方向导数，是梯度在该方向上的投标量场在某个方向上的方向导数，是梯度在该方向上的投影，即影，即22第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学 梯度运算的基本公式梯度运算的基本公式：23第第1 1章章 矢量分析矢量分析电

14、磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学 解解 (1) 例例1.3.1 设设一一标标量量函函数数 ( x, y, z ) = x2y2z 描描述述了了空空间间标标量场。试求：量场。试求： (1) 该该函函数数 在在点点 P(1,1,1) 处处的的梯梯度度，以以及及表表示示该该梯梯度度方方向向的单位矢量。的单位矢量。 (2) 求该函数求该函数 沿单位矢量沿单位矢量方方向向的的方方向向导导数数，并并以以点点 P(1,1,1) 处处的的方方向向导导数数值值与与该该点点的的梯梯度度值作以比较，得出相应结论。值作以比较，得出相应结论。24第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电

15、磁波电子科技大学电子科技大学 (2)而该点的梯度值为而该点的梯度值为 显显然然，梯梯度度 描描述述了了P P点点处处标标量量函函数数 的的最最大大变变化化率率，即最大的方向导数，故即最大的方向导数，故 恒成立。恒成立。25第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学 1.4 矢量场的通量与散度矢量场的通量与散度 1. 矢量线矢量线 意义意义：形象直观地描述了矢量场的空间形象直观地描述了矢量场的空间 分分 布状态。布状态。矢量线方程矢量线方程：概念概念：矢量线是这样的曲线，其上每一矢量线是这样的曲线，其上每一 点的切线方向代表了该点矢量场点的切线方向代表了

16、该点矢量场 的方向。的方向。矢量线矢量线OM 26第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学 2. 矢量场的通量矢量场的通量 问题问题：如何定量描述矢量场的大小？如何定量描述矢量场的大小？ 引入通量的概念。引入通量的概念。 通量的概念通量的概念其中：其中：面积元矢量；面积元矢量；面积元的法向单位矢量；面积元的法向单位矢量；穿过面积元穿过面积元 的通量。的通量。如果如果 S 是闭合曲面，则是闭合曲面，则面积元矢量面积元矢量外法向单位矢量外法向单位矢量27第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学 通过闭合曲面有通

17、过闭合曲面有净的矢量线穿出净的矢量线穿出有净的矢有净的矢量线进入量线进入进入与穿出闭合曲进入与穿出闭合曲面的矢量线相等面的矢量线相等三种可能结果三种可能结果通量的物理意义通量的物理意义28第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学 3. 矢量场的散度矢量场的散度散度的概念散度的概念：散度的意义散度的意义：通量源密度通量源密度 散度表征矢量场的通量源的分布特性 ( (正源正源) ) ( (负负源源) ) ( (无源无源）29第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学 圆柱坐标系圆柱坐标系球坐标系球坐标系直角坐标系

18、直角坐标系散度的表达式散度的表达式：散度的有关公式散度的有关公式：30第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学 直角坐标系下散度表达式的推导直角坐标系下散度表达式的推导 穿出前、后两侧面的净通量值为穿出前、后两侧面的净通量值为包围包围P点的微体积点的微体积 V 为一直平行六面体，如图所示。则为一直平行六面体，如图所示。则oxy在直角坐标系中计算在直角坐标系中计算zzDxDyDP31第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学 根据定义，则得到直角坐标系中的散度根据定义，则得到直角坐标系中的散度 表达式为表达式为

19、 同理，分析穿出另两组侧面的净通量，并合成之，即得由点同理，分析穿出另两组侧面的净通量，并合成之，即得由点P 穿出该六面体的净通量为穿出该六面体的净通量为32第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学 4. 散度定理散度定理体积的剖分体积的剖分VS1S2en2en1S 矢量场在空间任意闭合曲面的通量等于该闭合曲面所包含矢量场在空间任意闭合曲面的通量等于该闭合曲面所包含体积中矢量场的散度的体积分，即体积中矢量场的散度的体积分，即 散度定理是闭合曲面积散度定理是闭合曲面积分与体积分之间的一个变换分与体积分之间的一个变换关系，在电磁理论中有着广关系，在电磁理

20、论中有着广泛的应用。泛的应用。33第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学 1.5 矢量场的环流和旋度矢量场的环流和旋度 1. 矢量场的环流矢量场的环流磁感应线要磁感应线要么穿过曲面么穿过曲面磁感应线要么同时磁感应线要么同时穿入和穿出曲面穿入和穿出曲面磁感应线磁感应线流速场。流速场。34第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学 （1）环流的概念环流的概念 矢量场沿闭合曲线矢量场沿闭合曲线C 的环流定义为的环流定义为该矢量对闭合曲线该矢量对闭合曲线C 的线积分，即的线积分，即（2）环流面密度环流面密度称为称为

21、矢量场在矢量场在点点M 处沿方向处沿方向 的的环流面密度环流面密度。特点特点：其值：其值与与点点M 处的方向处的方向 有关。有关。矢量场矢量场的环流的环流35第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学 而而 推导推导 的示意图如图所示的示意图如图所示。oyDz DyCMzx1234计算计算 的示意图的示意图 直角坐标系中直角坐标系中 、 、 的表达式的表达式36第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学 于是于是 同理可得同理可得故得故得概念概念：矢量场在矢量场在 M 点处的旋度为一矢量，其数值为点处的旋度为一

22、矢量，其数值为M 点的环点的环 流面密度最大值，其方向为取得环量密度最大值时面积流面密度最大值，其方向为取得环量密度最大值时面积 元的法线方向，即元的法线方向，即物理意义物理意义：旋涡源密度矢量。旋涡源密度矢量。性质性质：（3）矢量场的旋度矢量场的旋度37第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学 旋度的计算公式旋度的计算公式: : 直角坐标系直角坐标系 圆柱坐标系圆柱坐标系 球坐标系球坐标系38第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学 旋度的有关公式旋度的有关公式：矢量场的旋度矢量场的旋度的散度恒为零的散度

23、恒为零标量场的梯度标量场的梯度的旋度恒为零的旋度恒为零39第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学 3. 斯托克斯定理斯托克斯定理 斯托克斯斯托克斯定理是闭合曲线定理是闭合曲线积分与曲面积分之间的一个变积分与曲面积分之间的一个变换关系式，也在电磁理论中有换关系式，也在电磁理论中有广泛的应用。广泛的应用。曲面的曲面的剖分剖分方向相反大小方向相反大小相等结果抵消相等结果抵消 矢量场沿任意闭合曲线的环流等于矢量场的旋度在该闭合矢量场沿任意闭合曲线的环流等于矢量场的旋度在该闭合曲线所围的曲面的通量，即曲线所围的曲面的通量，即40第第1 1章章 矢量分析矢量分

24、析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学 4. 散度和旋度的区别散度和旋度的区别 41第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学 1. 无旋场无旋场1.6 无旋场与无散场无旋场与无散场性质性质： ，线积分与路径无关，是保守场。，线积分与路径无关，是保守场。仅有散度源而无旋度源的仅有散度源而无旋度源的矢量场，矢量场，无旋场无旋场可以用标量场的梯度表示为可以用标量场的梯度表示为例如：静电场例如：静电场42第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学 43第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁

25、场与电磁波电子科技大学电子科技大学 2. 无散场无散场 仅有旋度源而无散度源的矢量场仅有旋度源而无散度源的矢量场，即，即性质性质：无散场可以表示为另一个矢量场的旋度无散场可以表示为另一个矢量场的旋度例如，恒定磁场例如，恒定磁场44第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学 1.7 拉普拉斯运算与格林定理拉普拉斯运算与格林定理 1. 拉普拉斯运算拉普拉斯运算 标量拉普拉斯运算标量拉普拉斯运算概念概念： 拉普拉斯算符拉普拉斯算符直角坐标系直角坐标系计计算公式算公式：圆柱坐标系圆柱坐标系球坐标系球坐标系45第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场

26、与电磁波电子科技大学电子科技大学 矢量拉普拉斯运算矢量拉普拉斯运算概念概念：即即注意注意：对于非直角分量，对于非直角分量，直角坐标系中：直角坐标系中：如：如：46第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学 2. 格林定理格林定理 或或以上两式称为以上两式称为标量第一格林定理标量第一格林定理。 设任意两个标量场设任意两个标量场 及及 在区域在区域 V 中具有连续的二阶偏导数，则由中具有连续的二阶偏导数，则由利用利用令令47第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学 基于上式还可获得下列两式：基于上式还可获得下列两

27、式：上两式称为上两式称为标量第二格林定理标量第二格林定理。 格格林林定定理理说说明明了了区区域域 V 中中的的场场与与边边界界 S 上上的的场场之之间间的的关关系系。因因此此，利利用用格格林林定定理理可可以以将将区区域域中中场场的的求求解解问问题题转转变变为为边边界界上上场的求解问题。场的求解问题。 此外，格林定理反映了两种标量场之间满足的关系。因此，此外，格林定理反映了两种标量场之间满足的关系。因此，如果已知其中一种场的分布，即可利用格林定理求解另一种场如果已知其中一种场的分布，即可利用格林定理求解另一种场的分布。的分布。48第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科

28、技大学电子科技大学 式中：式中：1.8 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理 在以在以S 为边界的有界区域为边界的有界区域V内，任一矢内，任一矢量场量场 由它的散度和旋度以及边界由它的散度和旋度以及边界S 上上的值确定有关，且的值确定有关，且49第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学 讨论：讨论：在无源区域中在无源区域中在无界空间区域中在无界空间区域中 矢量场由其散度及旋度确定。矢量场由其散度及旋度确定。 矢量场由其在矢量场由其在边界边界S 上的值上的值确定。确定。50第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学 练练 习习 题题1.1, 1.9 1.11, 1.12, 1.16, 1.18 1.21, 1.23, 1.27 51第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学 圆柱坐标系中圆柱坐标系中 的推导的推导52第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学 圆柱坐标系中圆柱坐标系中 的推导的推导53