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1、分解因式分解因式复复习习知识要点、考点聚焦知识要点、考点聚焦2.2.因式分解的几种常用方法因式分解的几种常用方法(1)(1)提公因式法提公因式法(2)(2)运用公式法：运用公式法：平方差公式：平方差公式：a a2 2-b-b2 2=(a+b)(a-b)=(a+b)(a-b)完全平方公式：完全平方公式：a a2 22ab+b2ab+b2 2=(a=(ab)b)2 2(3)(3)二二次次三三项项式式型型：x x2 2+(a+b)x+(a+b)x+abab=(x+a)(x+b)=(x+a)(x+b)1.1.因式分解的定义因式分解的定义把把一一个个多多项项式式化化为为几几个个整整式式的的积积的的形形式
2、式，叫叫做做把把这个多项式因式分解或分解因式这个多项式因式分解或分解因式. .n(3)十字相乘法十字相乘法n对于二次于二次项系数系数为l的二次三的二次三项式式寻找找满足足ab=q，a+b=p的的a，b，如有，如有，则对于一般的二次三于一般的二次三项式式寻找找满足足na1a2=a，c1c2=c,a1c2+a2c1=b的的a1，a2，c1，c2，如，如有，有，则n(4)分分组分解法：把各分解法：把各项适当分适当分组，先使分解因，先使分解因式能分式能分组进行，再使分解因式在各行，再使分解因式在各组之之间进行行n分分组时要用到添括号：括号前面是要用到添括号：括号前面是“+”号，括到号，括到括号里的各括
3、号里的各项都不都不变符号；括号前面是符号；括号前面是“-”号，号，括到括号里的各括到括号里的各项都改都改变符号符号.一、分解因式一、分解因式多项式多项式整式的积整式的积因式分解因式分解整式乘法整式乘法1、以下从左到右的变形中，哪些是因式分解？、以下从左到右的变形中，哪些是因式分解？(1) a(a+1)=a2+a (2) x2+2xy+y2=(x+y)2(3) 3at2-2a2 t +at=at(3t-2a)(4) 8a3bc=2a24abc (5) a2-b2=(a+b)(a-b)(6) m2+m-4=(m+3)(m-2)+22、若、若x2+mx+n=(x+3)(x-2),那么那么m。n= 。
4、3、若若x2-x-12=(x-a)(x+b).那么那么ab=. 下列由左边到右边的变形，哪下列由左边到右边的变形，哪些些是分解因式？哪些不是？说明是分解因式？哪些不是？说明理由。理由。(1)x2+3x+4=(x+2)(x+1)+2(2)6x2y3=3xy2xy2(3)(3x-2)(2x+1)=6x2-x-2(4)4ab+2ac=2a(2b+c)二、提公因式法二、提公因式法1、公因式的确定方法：、公因式的确定方法：(1)系数：系数：取各系数的最大公约数取各系数的最大公约数(2)字母：字母：取各项相同的字母取各项相同的字母(3)相同字母指数：相同字母指数：取最低指数取最低指数2、变形规律：、变形规
5、律：(1)xy=(yx) (2)(xy)2= (yx)2(3)(xy)3=(yx)3 (4)xy=(x+y)1.如：如：多项式多项式8a2b2-12ab3c的各项的公因式是的各项的公因式是()A.abB.ab2C.4ab2D.8ab2例例1.因式分解：因式分解：(1) 9a2b-12ab2 +3ab (2) a(x-3)+2b(3-x)(3) 5(x-y)3+10(y-x)2 (4) 计算：计算：9992+999解解:(1)原式原式=3ab(3a-4b+1)(2)原式原式=a(x-3)-2b(x-3)=(x-3)(a-2b)(3)原式原式=5(x-y)3+10(x-y)2=5(x-y)2(x-
6、y+2)(4)原式原式=999(999+1)=9991000=9990001、分解因式、分解因式 p(yx)q(xy)=p(yx)q(yx)=(yx)(pq)2、分解因式、分解因式 m(a-b)2-n(b-a)2=m(a-b)2+n(a-b)2=(a-b)2(m+n)3、分解因式、分解因式24x312x2+28x=(24x312x2+28x)=4x(6x23x+7)三、运用公式法三、运用公式法平方差公式：平方差公式： a2b2 = (ab)(ab)完全平方公式：完全平方公式：a22abb2 = (ab)2 a22abb2 = (ab)2例例2.因式分解：因式分解：(1) 25x16x3 (2)
7、 81x2+4y2(3) 9(xy)2 (x+y)2 (4) a2-22a+ 121(5) (x+y)26(x+y)+9 (6) 3x3-12x2y+12xy2(7)x2-15x-16 (8)y3+5y2-24y如果如果9x2+kx+25是一个完全平方式是一个完全平方式,那么那么k的值是的值是.诊断分析： 公式理解不准确，不能很好的公式理解不准确，不能很好的把握公式中的项，把握公式中的项，4x2y2中中4x2 相当于相当于a2 ,则则2x相当于相当于“a”.4、分解因式分解因式4x2y2 = (4x+y)(4x-y) 5、分解因式分解因式 x4y4 = (x2+y2)(x2y2) m5m3 =
8、 m3 (m21) 3ax2+6ax+3a = 3a(x2+2x+1)诊断分析： 综合运用提公因式，公式法公解因式综合运用提公因式，公式法公解因式时，提公因式后，另一个因式还可以继续时，提公因式后，另一个因式还可以继续分解，千万要注意分解完毕后对结果进行分解，千万要注意分解完毕后对结果进行检查，看是否分解彻底了。检查，看是否分解彻底了。6、分解因式、分解因式4a4-a2=(2a2+a)(2a2-a)诊断分析： 如果多项式的各项含有公因如果多项式的各项含有公因式，那么先提取这个公因式，式，那么先提取这个公因式，再进一步分解因式。再进一步分解因式。4、叙述因式分解的一般步骤：1、如果多项式的各项有
9、公因式，那么先提公因式；2、如果多项式的各项没有公因式，那么可以尝试运用公式来分解；3、因式分解必须进行到每一个多项式都不能再分解为止。诊断分析：诊断分析： 完全平方公式完全平方公式a2+2ab+b2=(a+b)2 , a2-2ab+b2=(a-b)2，x x2 2+kx+9+kx+9可是可是其中任何一个其中任何一个, ,则则k k应该考虑两个值应该考虑两个值. .7 7、x x2 2+kx+9+kx+9是完全是完全平方式平方式, ,则则k=6.k=6.一变：一变： x x2 2+2kx+9+2kx+9是完全平方式，是完全平方式，则则k k为何值。为何值。 二变：二变： x x2 2+8x+k
10、+8x+k是完全平方式，则是完全平方式，则k k为何为何值。值。三变：三变： kxkx2 2-12x+9-12x+9是完全平方式，则是完全平方式，则k k为为何值。何值。3.3.因式分解的一般步骤因式分解的一般步骤: :可归纳为一可归纳为一“提提”、二、二“套套”. .(1)(1)一一“提提”：先先看看多多项项式式的的各各项项是是否否有有公公因因式式，若若有有必必须须先先提提出来出来. .(2)(2)二二“套套”：若若多多项项式式的的各各项项无无公公因因式式( (或或已已提提出出公公因因式式) )，第第二二步步则则看看能能不不能能用用公公式式法法或或用用x x2 2+(p+q)x+(p+q)x
11、+pqpq型分解型分解. .四、综合运用四、综合运用例例3、利用因式分解计算：、利用因式分解计算：(1) 9752252 (2)(2) 8002 1600798+7982(3)(3) (-2)101+(-2)1004. 248-1可以被可以被60到到70之间的某两个之间的某两个 整数整除，求这两个整数整数整除，求这两个整数.(4)32005-32004(5)6.42-3.62(6)992+198+15.求求证证：对对于于正正整整数数n，2n+4-2n能能被被30整除整除. 解解：2n+4-2n=2n(2-1)=2n(16-1)=152n=1522n-1=302n-1.n为自然数时，为自然数时，
12、2n-1为整数，为整数，2n+4-2n能被能被30整除整除.4.对于任意自然数对于任意自然数n,(n+7)2-(n-5)2是否能被是否能被24整除整除?解：解：(n+7)2-(n-5)2=(n+7)+(n-5)(n+7)-(n-5)=12(2n+2)=24(n+1)故能被故能被24整除整除6.求证两个连续偶数的平方差能被求证两个连续偶数的平方差能被4整除整除.7.求证求证:当当n是整数时是整数时,(n+12)2-n2是是24的倍的倍数数.证明证明:设两个连续偶数为设两个连续偶数为2n,2n+2,(2n+2)2-(2n)2=(2n+2+2n)(2n+2-2n)=(4n+2)2=4(2n+1)两个
13、连续偶数的平方差能被两个连续偶数的平方差能被4整除整除“借马还马借马还马”的思想给我们的的思想给我们的启示：启示：x4+4=x4+4x2+4-4x2=(x2+2)2-4x2=(x2+2x+2)(x2-2x+2)把把x4+4分解因式分解因式练习练习: 1. 因式分解：因式分解：(1)-4x2y+2xy2-12xy；(2)3x2(a-b)-x(b-a)；(3)9(x+y)2-4(x-y)2；(4)81a4-1；(5)(x2+2x)2+2(x2+2x)+1；(6)(a2+b2)2-4a2b2.2.若若x2+mx+4是一个完全平方式，则是一个完全平方式，则m=解：解：(1)原式原式=-2xy(2x-y
14、+6)(2)原式原式=3x2(a-b)+x(a-b) =x(a-b)(3x+1)(3)原式原式=3(x+y)+2(x-y)3(x+y)-2(x-y) =(5x+y)(x+5y)(4)原式原式=(9a2)2-1 =(9a2+1)(9a2-1) =(3a+1)(3a-1)(9a2+1)(5)原式原式=(x2+2x+1)2=(x+1)4(6)原式原式=(a+b2+2ab)(a2+b2-2ab) =(a+b)2(a-b)2因式分解综合练习教学目标： 通过教学，培养学生综合运用因式分解两种基本方法的解题能力，提高学生综合使用因式分解方法的熟练程度教学重点：熟练掌握利用两种基本方法进行因式分解教学难点：灵
15、活运用各种因式分解方法进行因式分解教学过程：一、复习提问：1、把 化成 的形式，叫做把这个多项式因式分解。2、因式分解与 是互逆变形，分解的结果对不对可以用 运算检验 一个多项式 几个整式的乘积 整式乘法整式乘法3、本节学习了（1） 、 （2） 两种因式分解的方法。提公因式法运用公式法4、叙述因式分解的一般步骤：1、如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；2、如果多项式的各项没有公因式，那么可以尝试运用公式来分解；3、因式分解必须进行到每一个多项式都不能再分解为止。二、精讲精练：练习1：(1)分解因式：3ax2+6axy+3ay2= 。 3a(x+y)2(2)下列解法对吗？若不对，应如何改正
16、？解： -x4y5+x2y2-xy=-xy(x3y4-xy)解：解法不对改正：-x4y5+x2y2-xy = -xy(x3y4-xy+1)2a(b-c)-3(c-b)2 =2a(b-c)+3(b-c)2 =(b-c)(2a+3b-3c)解：解法不对改正：2a(b-c)-3(c-b)2 =2a(b-c)-3(b-c)2 =(b-c)(2a-3b+3c)(3)把5x3y(x-y)-10x4y3(y-x)2因式分解解：原式=5x3y(x-y)-10x4y3(x-y)2 =5x3y(x-y)1-2xy2(x-y) =5x3y(x-y)(1-2x2y2+2xy3)练习2：(4)判断对错：25t2-0.0
17、9y2=(5t+0.03y)(5t-0.03y)( )4a-a2-4=-(a+2)2 ( )a2-25=(a+5)(a-5) ( )a3-a=a(1-a)2 ( )错 错 对 错(5)因式分解：x4-2x2+1解：原式=（x2-1)2 =(x+1)(x-1)2 =(x+1)2(x-1)2 (x2+y2)2-4x2y2解：原式=（x2+y2)2-(2xy)2 =(x2+y2+2xy)(x2+y2-2xy) =(x+y)2(x-y)2 a5b3-a3b5解：原式=a3b3(a2-b2) =a3b3(a+b)(a-b)练习3：(6)如果(x+y)(x2-xy+y2)-(x+y)xy有公因式(x+y)
18、，那么另外的因式是( )(A)x2+y2 (B)(x-y)2(C)(x+y)(x-y) (D)(x+y)2B(7)a(a+b)+c(-a-b)因式分解的结果是( )(A)(a-b)(a-c) (B)(a-b)(a-c)(C)(a+b)(a-c) (D)(a+b)(a+c)C(8)把下列各式因式分解：-x2+6x-9x2+2xy+y2-z2ab+a+b+1(x-1)(x-3)+1解：原式=（x2-6x+9) =(x-3)2解：原式=（x2+2xy+y2)-z2 =(x+y)2-z2 =(x+y+z)(x+y-z)解：原式=(ab+a)+(b+1) =a(b+1)+(b+1) =(b+1)(a+1
19、)解：原式=(x2-4x+3)+1 =x2-4x+4 =(x-2)2练习4：(9)把下列各式因式分解：4x4-12x2y2+9y2x2-2x+1-y2(x2-x)2-14(x2-x)+49m2(m-1)-4(1-m)2(10)若a+b=4,a2+b2=10 求 a3+a2b+ab2+b3的值。解：原式=(a3+a2b)+(ab2+b3) =a2(a+b)+b2(a+b) =(a+b)(a2+b2) a+b=4,a2+b2=10 原式=410=40 三、小结1、因式分解的定义2、因式分解的两种基本方法3、因式分解的一般步骤4、引导学生换个角度思考：即按其项数确定分解方法（1）多项式是两项时，考虑
20、用平方差公式分解因式（两项为异号时）（2）多项式是三项时，考虑用完全平方公式分解因式强调：因式分解必须分解到每一个因式都不能再分解为止。四、布置作业 教科书P93 B组12五、堂上小测：1、下列有左到右的变形，属因式分解的是 （ ）(A)(a+2)(a-2)=a2-4(B)a2-9=(a+3)(a-3)(C)x2-1+2x=(x-1)(x+1)+2x(D)x2+6x+10=(x+3)2+1 B2、填空：(a-b)3(x-y)2= (b-a)3(y-x)2-3、把下列各式因式分解：（1）xy-x-y+1（2）(y2-1)2-25y2（3）x2-4ax-a4+4a2(11)已知(x+y)2-2x-2y+1=0,求2x2+4xy+2y2的值。解：由题意：(x+y)2-2(x+y)+1=0 (x+y-1)2=0即x+y-1=0 x+y=1 2x2+4xy+2y2=2(x+y)2 =212=2
