经济数学基础形考答案

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1、.电大【经济数学基础】形成性考核册参考答案经济数学基础形成性考核册（一）（一）一、填空题一、填空题1.limx sin xx0x_.答案：12.设f (x) x21,x 0，在x 0处连续，则k _.答案 1k,x 03.曲线y x+1 在(1,1)的切线方程是. 答案:y=1/2X+3/24.设函数f(x 1) x22x 5，则f (x) _.答案2x5.设f (x) xsin x，则f ()_.答案:22二、单项选择题二、单项选择题1. 当x 时，下列变量为无穷小量的是（ D ）1Aln(1 x)Bx2x 1Cex2Dsin xx2. 下列极限计算正确的是（B）A.limxxx0x1B.x

2、lim0x1C.limxsin1sinx0x1D.limxxx13. 设y lg2 x，则dy （B） A11ln1012xdxBxln10dxCxdxDxdx4. 若函数f(x)在点x0处可导，则(B)是错误的A函数f(x)在点x0处有定义Blimxxf(x) A，但A f(x0)0C函数f(x)在点x0处连续D函数f(x)在点x0处可微5.若f (1x) x，则f (x) （ B）.A1x2B1x2C11xDx三、解答题三、解答题1计算极限本类题考核的知识点是求简单极限的常用方法。它包括：利用极限的四则运算法则；利用两个重要极限；利用无穷小量的性质(有界变量乘以无穷小量还是无穷小量)-优选

3、.利用连续函数的定义。x23x 2（1）lim2x1x 1分析：这道题考核的知识点是极限的四则运算法则。具体方法是：对分子分母进行因式分解，然后消去零因子，再利用四则运算法则限进行计算解：原式=lim(x 1)(x 2)x 21 21=lim= x1(x 1)(x 1)x1x 1112x25x 6（2）lim2x2x 6x 8分析：这道题考核的知识点主要是利用函数的连续性求极限。具体方法是：对分子分母进行因式分解，然后消去零因子，再利用函数的连续性进行计算解：原式=lim(x 2)(x 3)x 3231=limx2(x 2)(x 4)x2x 42 421 x 1x（3）limx0分析：这道题考

4、核的知识点是极限的四则运算法则。具体方法是：对分子进行有理化，然后消去零因子，再利用四则运算法则进行计算解：原式=lim( 1 x 1)( 1 x 1)x( 1 x 1)x0=lim1 x 1x( 1 x 1)x0=limx011 x 1=122x23x5（4）limx3x22x4分析：这道题考核的知识点主要是函数的连线性。3522xx2002解：原式=limx24323003xxsin3x（5）limx0sin5x分析：这道题考核的知识点主要是重要极限的掌握。具体方法是：对分子分母同时除以x，并乘相应系数使其前后相等，然后四则运算法则和重要极限进行计算sin3xsin3xlim33x03x3

5、13解：原式=lim3xx0sin5xsin5x51555limx05x5xx2 4（6）limx2sin(x 2)分析：这道题考核的知识点是极限的四则运算法则和重要极限的掌握。-优选.具体方法是：对分子进行因式分解，然后消去零因子，再利用四则运算法则和重要极限进行计算解：原式=lim(x 2)(x 2)x 2 lim(x 2)lim414x2x2x2sin(x 2)sin(x 2)1xsinb,x 0x2设函数f (x) a,x 0，sin xx 0x问： （1）当a,b为何值时，f (x)在x 0处极限存在？（2）当a,b为何值时，f (x)在x 0处连续.分析：本题考核的知识点有两点，一

6、是函数极限、左右极限的概念。即函数在某点极限存在的充分必要条件是该点左右极限均存在且相等。二是函数在某点连续的概念。解： （1）因为f (x)在x 0处有极限存在，则有x0lim f (x) limf (x)x0x0又limf (x) lim(xsinx01b) bxx0limf (x) limx0即b 1sin x1x所以当 a 为实数、b 1时，f (x)在x 0处极限存在.（2）因为f (x)在x 0处连续，则有x0lim f (x) limf (x) f (0)x0又f (0) a，结合（1）可知a b 1所以当a b 1时，f (x)在x 0处连续.3计算下列函数的导数或微分：本题考

7、核的知识点主要是求导数或（全）微分的方法，具体有以下三种：利用导数(或微分)的基本公式利用导数(或微分)的四则运算法则利用复合函数微分法（1）y x 2 log2x 2，求y2x2分析：直接利用导数的基本公式计算即可。-优选.解：y 2x 2 ln2（2）y x1xln2ax b，求ycx d(ax b)(cx d) (ax b)(cx d)a(cx d) (ax b)cad bc=(cx d)2(cx d)2(cx d)2分析：利用导数的基本公式和复合函数的求导法则计算即可。解：y （3）y 13x 5，求y分析：利用导数的基本公式和复合函数的求导法则计算即可。 1132(3x 5) (3x

8、 5)2解：y (3x 5) (3x 5)221213（4）y x xex，求y分析：利用导数的基本公式计算即可。1xx解：y (x )(xe ) x2e xe2x121分析：利用导数的基本公式和复合函数的求导法则计算即可。（5）y eaxsinbx，求dyaxaxax解：y (e)sinbx e(sinbx) e(ax)sinbx eaxcosbx(bx)=aeaxsinbxbeaxcosbxdy ydx (aeaxsinbx beaxcosbx)dx（6）y ex x，求dy分析：利用微分的基本公式和微分的运算法则计算即可。1x1x13解：y (e ) (x ) e ( )xx2e3dy

9、ydx (2x2)dx2x（7）y cosx ex，求dy21x321x312e3 2x22x11x1分析：利用导数的基本公式和复合函数的求导法则计算解：y (cosx)(ex) sin（8）y sinx sinnx，求yn2x( x)ex(x2) 2sinx2 x 2xex2-优选.分析：利用导数的基本公式和复合函数的求导法则计算解：y (sinx) (sinnx) n(sinx)nn1(sinx)cosnx(nx) n(sin x)n1cos x ncosnx（9）y ln(x 1 x2)，求y分析：利用复合函数的求导法则计算1解：y 1x 1 x2(x 1 x2) 1x 1 x2(1(1

10、 x2)2)=1112211x 1 x21x 1 x2(12(1 x )2x) x 1 x21 x21 x21（10）y 2cotx13x22xx，求y分析：利用导数的基本公式和复合函数的求导法则计算115解：y (2sin1x)(x2)(x6)( 2) 2sin1xln2(sin1x)12x3216x60sin1335 2sin1xln2(111256cos)( )x1xx2x2xln212166x2cosx2x6x4.下列各方程中y是x的隐函数，试求y或dy本题考核的知识点是隐函数求导法则。（1）x2 y2 xy 3x 1，求dy解：方程两边同时对 x 求导得：(x2) (y2)(xy)

11、(3x) (1)2x 2yy y xy3 0y y 2x 32y xdy y dx y 2 x 32 y xdx（2）sin(xy) exy 4x，求y解：方程两边同时对 x 求导得：cos(x y)(x y) exy(xy) 4 cos(x y)(1 y) exy(y xy) 4y(cos(x y) xexy) 4cos(x y) yexy-优选. 4cos(x y) yexyycos(x y) xexy5求下列函数的二阶导数：本题考核的知识点是高阶导数的概念和函数的二阶导数（1）y ln(1 x2)，求y解：y 121 x2(1 x ) 2x1 x2 (2x2(1 x2)2x(0 2x)2

12、2x2y1 x2) (1 x2)2(1 x2)2（2）y 1 xx，求y及y(1)113解：y (1 xx) (x2)(x2) 1112x22x21315353y (x21x2) 1(3x2) 1(1)x2312222224x24x2=1经济数学基础形成性考核册（二）（二）（一）填空题1.若f(x)dx 2x 2xc，则f (x) 2xln2 2.2.(sinx)dx sin x c.3.若f(x)dx F(x)c，则xf (1 x2)dx 12F(1 x2) c4.设函数dedx1ln(1 x2)dx 05.若P(x) 011x1t2dt，则P(x) 1 x2.（二）单项选择题1. 下列函数

13、中， （D）是xsinx2的原函数A1cosx2B2cosx2C-2cosx2D-12cosx222. 下列等式成立的是（C） Asinxdx d(cosx)Bln xdx d(1)C2xdx 1xD1xln2d(2 )xdx d x-优选.3. 下列不定积分中，常用分部积分法计算的是（C） Acos(2x 1)dx，Bx 1 x dxCxsin2xdxD4. 下列定积分中积分值为0 的是（D） A2x1 x2dx112xdx 2B161dx 15Ccosxdx 0Dsinxdx 05. 下列无穷积分中收敛的是（B） A111xCDdxBdxe dxsinxdx2101xx(三)解答题1.计算

14、下列不定积分1）3x（exdx解：原式(3e)xdx 1ln31(3e)xc13(x-12 2x2 x2)dx13 2x245x2235x2 c（3）x2 4x 2dx解：原式(x 2)(x 2)1x 2dx2x2 2xc（5）x 2 x2dx解：原式122 x2d(2 x2)133(2 x2)2 c 2cosx c（7）xsinx2dx解：原式 2xdcosx2-2）(1 x)2xdx解：原式1 2x x2xdx4）11 2xdx解：原式 1121 2xd(1-2x) 12ln12x c6）sinxxdx解：原式 2sin xd x8）ln(x 1)dx解：原式 xln(x 1)xx 1dx

15、优选（. 2xcosxxx2 4cos2d(2) xln(x 1) (11 2cosxxx 1)dx2 4sin2 c xln(x 1) x ln(x 1) c2.计算下列定积分1（1）22ex11xdx（2）1x2dx解：原式11(1 x)dx 21(x 1)dx解：原式 211exd(1x) 1(1 x)21212112(x 1)21 ex21 211252 ee2（3）e311x 1 ln xdx（4）20xcos2xdx3解：原式 2e12 1 ln xd(lnx 1)解：原式11220xdsin2x 2 1 ln xe31xsin2x1202sin2xd(21240x) 4 2 21

16、4cos2x102 2（5）elnxdx（6）41x0(1xex)dx解：原式1e1ln xdx2解：原式4dx4xdex20012x2ln xe1e121xdx 4 xex44x0ed(x)102e214e214 4 4e4e41414(e21) 55e经济数学基础形成性考核册（三）（三）（一）填空题-优选.10451.设矩阵A 3 232，则A的元素a23 _.答案：321612.设A,B均为 3 阶矩阵，且A B 3，则 2ABT=_. 答案：723.设A,B均为n阶矩阵，则等式(A B) A 2AB B成立的充分必要条件是.答案：AB BA2224. 设A,B均为n阶矩阵，(I B)可

17、逆，则矩阵A BX X的解X_.答案：(IB)1A05.设矩阵A 100 020，则A1 _.答案：答案：1100030020013（二）单项选择题1. 以下结论或等式正确的是（C C） A若A,B均为零矩阵，则有A BB若AB AC，且A O，则B CC对角矩阵是对称矩阵D若A O,B O，则AB O2. 设A为34矩阵，B为52矩阵，且乘积矩阵ACBT有意义，则CT为（A）矩阵A24B42C35D533. 设A,B均为n阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（C） A(A B)1 A1 B1，B(AB)1 A1B1CAB BADAB BA4. 下列矩阵可逆的是（A） 123A101023B101C

18、111100312300D2225. 矩阵A 22333的秩是（B B） 444A0B1C2D3三、解答题1计算-优选.（1）210112=53103502 1100（2）000003 3 0（3）1254=01223124 245 12计算122143 6101322313 2723124 2457197 245 5152 1610=11100解122143 610 7121322313 270 473 273 214231123，B 112，求AB。13设矩阵A 11011 011解 因为AB A B2A 131111023122 (1)23(1)1 101123011010213122

19、212B 112 0-1-1 0所以AB A B 20 0（注意：因为符号输入方面的原因，在题4题 7 的矩阵初等行变换中，书写时应把（1）写成； （2）写成； （3）写成；）1244设矩阵A 21，确定的值，使r(A)最小。110-优选.1242,3解：21110当24 1242111732110312401 4210 4721019044 409时，r(A) 2达到最小值。42532158543的秩。5求矩阵A 174204112325325854解：A 17424112131,3031742585425324112021531234141301004202331702715634332,

20、3095 210271563r(A) 2。6求下列矩阵的逆矩阵：2174095 200000000 132 1（1）A 30111 1321002133111010解：AI3011001110032413201121 112043101100132097232 31004310100 132132101111 2231 1349 00100113113010237A1237001349349130581801021233749 00131363（2）A = 4 2111 2-优选.0130136310010123解：AI 4 21010 4 210101100111001220130102,3

21、0 21 4130126101214312110130100112610 21 4130100130100130 3220112612310102710010120010120 A-1 =13271012 7设矩阵A 1235, B 1223，求解矩阵方程XA B122解：AI121035012131210211050131013A152 31X BA11252 233=10111四、证明题1试证：若B1,B2都与A可交换，则B1 B2，B1B2也与A可交换。证：B1A AB1，B2A AB2B1 B2A B1A B2A AB1 AB2 AB1 B2即B1 B2也与A可交换。B1B2A B1B

22、2A B1AB2B1AB2 AB1B2即B1B2也与A可交换.2试证：对于任意方阵A，A AT，AAT, ATA是对称矩阵。证：A ATT ATATT AT A A AT-2 1优选.A AT是对称矩阵。(AA )=ATTT T AT AATAAT是对称矩阵。ATATATAT TATAATA是对称矩阵.3设A,B均为n阶对称矩阵，则AB对称的充分必要条件是：AB BA。证：必要性：ATA，BT B若AB是对称矩阵，即ABABT而ABB ABA因此AB BATT充分性：TT若AB BA，则ABB ABAABTAB是对称矩阵.4设A为n阶对称矩阵，B为n阶可逆矩阵，且B证：AABT11 BT，证明

23、B1AB是对称矩阵。 BTT1TB1AB1ABBT BT AT BT T B1ABBAB是对称矩阵.证毕.经济数学基础形成性考核册（四）（四）（一）填空题1.函数f (x) 4 x 21_。答案：(1,2)2,4.的定义域为_ln(x 1)2.函数y 3(x 1)的驻点是_，极值点是，它是极值点。答案：x=1； （1，0） ；小。3.设某商品的需求函数为q(p) 10ep2，则需求弹性Ep.答案：Ep=p2-优选.4.行列式1D 1 11111 _1A 0011.答案：4. 116，则t _时，方程组有唯一解. 答案：t1320t 105.设线性方程组AX b，且（二）单项选择题 1.1. 下

24、列函数在指定区间(,)上单调增加的是（BAsinxBexCx2D3 x2. 设f (x) ） 1，则f ( f (x) （C） x112AB2CxDxxxxx1e e11exexdx 0Bdx 0Cxsinxdx 0D(x2 x3)dx 0A11-1-12213. 下列积分计算正确的是（A） 4. 设线性方程组AmnXb有无穷多解的充分必要条件是（D） Ar(A) r(A) mBr(A) nCm nDr(A) r(A) nx1 x2 a15. 设线性方程组x2 x3 a2，则方程组有解的充分必要条件是（C） x 2x x a2331Aa1 a2 a30Ba1 a2 a3 0Ca1 a2 a3

25、0D a1 a2 a3 0三、解答题1求解下列可分离变量的微分方程：(1)y e解:xydy exey,eydy exdxeydy exdx,eyexcdxdyxex（2）2dx3y2x3xx解:3y dyxe dx3y dy xdey xe e dxy xe e c2x3xx2. 求解下列一阶线性微分方程：（1）y2y (x 1)3x 1-优选.解:y e2 dxx123x1dxx 1e e2lnx1dx cx 1e32lnx1dx c x 12x 1dx cx 12122x 1 c（2）yyx 2xsin2x解:y e1 xdx 1 dx2 x sin 2 x exdx c eln x2x

26、sin2xeln xdx c x12xsin2xxdx c xsin2xd2x c xcos2x c3.求解下列微分方程的初值问题：(1)y e2xy,y(0) 0解：dye2xdxeyeydy e2xdxey12e2x c用x 0, y 0代入上式得：e012e0c，解得c 12特解为：ey12x12e2(2)xyyex 0,y(1) 0解：y1xy 1xexy e1xdxex1xdxxedx c eln x1exxeln xdx c1xxxe dx c1xe c用x 1, y 0代入上式得：-优选.0 e c解得：c e特解为：y 1xecx（注意：因为符号输入方面的原因，在题4题 7 的

27、矩阵初等行变换中，书写时应把（1）写成； （2）写成； （3）写成；）4.求解下列线性方程组的一般解： 2x3 x4 0x1（1） x1 x2 3x3 2x4 02x x 5x 3x 023412121 10 10211312321解：A=1 132011121530111所以一般解为102101110 000x1 2x3 x4其中x3,x4是自由未知量。x2 x3 x42x1 x2 x3 x41（2）x1 2x2 x3 4x4 2x 7x 4x 11x 52341211111,2解：A 1214217 41152 12142212121421111311053733 17 411505371

28、101214252 1214123731223321501 053730155550000000000000416x x 15535x4因为秩A 秩A=2，所以方程组有解，一般解为337x2x3x45556575045350 其中x3,x4是自由未知量。5.当为何值时，线性方程组-优选.x1 x25x3 4x4 22x1 x23x3 x413x12x22x33x4 37x15x29x310x4有解，并求一般解。1154221211542解：A 213113134 113933 2 23330175910011393022618141154232110851 0113934 2212101139

29、300000 000080000000008可见当 8时，方程组有解，其一般解为x1 18x35x4其中xx3,x4是自由未知量。2 313x39x46a,b为何值时，方程组x1 x2 x31x1 x2 2x3 2x13x2 ax3 b有唯一解、无穷多解或无解。11112111111 解：A 3111 2212113221102ab01304a 1b 100根据方程组解的判定定理可知：当a 3，且b 3时，秩A秩A，方程组无解；当a 3，且b 3时，秩A=秩A=23 ，方程组有无穷多解；当a 3时，秩A=秩A=3，方程组有唯一解。7求解下列经济应用问题：（1）设生产某种产品q个单位时的成本函数

30、为：C(q)1000.25q26q（万元）,求：当q 10时的总成本、平均成本和边际成本；-11 11a 3b 3优选.当产量q为多少时，平均成本最小？解:cq1000.25q 6qcq 0.5q 6当q 10时总成本：c101000.2510610185（万元）2平均成本：c101000.2510618.5（万元）10边际成本：c10 0.510 6 11（万元）cq 1000.25q2令cq 0得q1 20q2 20（舍去）由实际问题可知，当q=20 时平均成本最小。（2） .某厂生产某种产品q件时的总成本函数为C(q) 20 4q 0.01q（元） ， 单位销售价格为p 140.01q2

31、（元/件） ，问产量为多少时可使利润达到最大？最大利润是多少解:Rq pq 14q 0.01q2Lq RqCq14q 0.01q2 20 4q 0.01q210q 0.02q2 20Lq100.04q令Lq 0，解得：q 250（件）L25010250 0.022502 20 1230（元）因为只有一个驻点，由实际问题可知，这也是最大值点。所以当产量为250件时利润达到最大值1230元。-优选.（3）投产某产品的固定成本为 36(万元)，且边际成本为C(x) 2x 40(万元/百台)试求产量由 4 百台增至 6百台时总成本的增量，及产量为多少时，可使平均成本达到最低解:c 22x 40 dx

32、x 40x466100（万元）4cxcxdx 2x 40dx x2 40x c固定成本为 36 万元cx x 40x 362cx x 40cx1362x36x令cx 0解得：x16,x2 6（舍去）因为只有一个驻点，由实际问题可知cx有最小值，故知当产量为6 百台时平均成本最低。（4）已知某产品的边际成本C(q)=2（元/件） ，固定成本为 0，边际收入R(q) 120.02q，求：产量为多少时利润最大？在最大利润产量的基础上再生产50 件，利润将会发生什么变化？解:Lx RxCx120.02x 2 100.02x令Lx 0解得：x 500（件）L 10 0.02xdx 10x 0.01x2500550550500 10550 0.015502 10500 0.015002 =2470-2500=-25（元）当产量为500件时利润最大，在最大利润产量的基础上再生产50 件，利润将会减少25元。-优选