《数学第八章 立体几何 第二节 空间点、直线、平面之间的位置关系 理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学第八章 立体几何 第二节 空间点、直线、平面之间的位置关系 理（29页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第二节空间点、直线、平面之间的位置关系总纲目录教材研读1.平面的基本性质考点突破2.空间中两直线的位置关系3.空间中直线与平面、平面与平面的位置关系考点二空间两直线的位置关系考点二空间两直线的位置关系考点一共点、共线、共面问题共点、共线、共面问题考点三考点三异面直线所成角异面直线所成角教材研读教材研读1.平面的基本性质平面的基本性质(1)公理1:如果一条直线上的两点两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内.(2)公理2:过不在一条直线上不在一条直线上的三点,有且只有一个平面.(3)公理3:如果两个不重合的平面有一个一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线.2.空间中两直线的位置关系空间
2、中两直线的位置关系(1)空间中两直线的位置关系(2)异面直线所成的角(i)定义:设a,b是两条异面直线,经过空间任一点O作直线aa,bb,把a与b所成的锐角锐角(或直角或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).(ii)范围:.(3)公理4:平行于同一条直线同一条直线的两条直线互相平行.(4)定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相相等或互补等或互补.3.空间中直线与平面、平面与平面的位置关系空间中直线与平面、平面与平面的位置关系(1)直线与平面的位置关系有相交相交、平行平行、在平面在平面内内三种情况.(2)平面与平面的位置关系有平行平行、相交相交两种情况.1.如图是正方体和
3、四面体,P,Q,R,S分别是所在棱的中点,则这四个点不共 面 的 是()D答案答案DA、B、C中四个点一定共面,D中四个点不共面.2.若直线l不平行于平面,且l,则()A.内的所有直线与l异面B.内不存在与l平行的直线C.内存在唯一的直线与l平行D.内的直线与l都相交B答案答案B假设内存在直线ml,l,l,与题设矛盾,故选B.3.(2017北京东城一模,4)已知m是直线,是两个互相垂直的平面,则“m”是“m” 的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件D答案答案D当,m时,m或m或m与相交,故“m”不是“m”的充分条件;当m,时,m或m,故“m”不是
4、“m”的必要条件.故选D.4.两两相交的三条直线最多可确定3个平面.答案答案3解析解析当三条直线共点且不共面时,最多可确定3个平面.5.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB,AD的中点,则异面直线B1C与EF所成的角的大小为60.答案答案60解析解析连接B1D1,D1C,因B1D1EF,故D1B1C(或其补角)为所求角,又B1D1=B1C=D1C,所以D1B1C=60.考点一共点、共线、共面问题考点一共点、共线、共面问题典例典例1如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是AB和AA1的中点.求证:(1)E、C、D1、F四点共面;(2)CE、D1F、
5、DA三线共点.考点突破考点突破证明证明(1)如图所示,连接CD1、EF、A1B,E、F分别是AB和AA1的中点,FEA1B且EF=A1B.A1D1BC,四边形A1BCD1是平行四边形,A1BD1C,FED1C,EF与CD1可确定一个平面,即E、C、D1、F四点共面.(2)由(1)知EFCD1,且EF=CD1,四边形CD1FE是梯形,直线CE与D1F必相交,设交点为P,则PCE平面ABCD,且PD1F平面A1ADD1,P平面ABCD且P平面A1ADD1.又平面ABCD平面A1ADD1=AD,PAD,CE、D1F、DA三线共点.方法技巧方法技巧1.点线共面问题的证明方法:(1)纳入平面法:先确定一
6、个平面,再证有关点、线在此平面内;(2)辅助平面法:先证有关点、线确定平面,再证其余点、线确定平面,最后证明平面、重合.2.证明三线共点问题常用的方法:先证其中两条直线交于一点,再证交点在第三条直线上(发现第三条直线是两相应平面的交线,从而利用公理3证明).3.证明点共线问题的方法:(1)公理法:先找出两个平面,然后证明这些点都是这两个平面的公共点,再根据公理3证明这些点都在交线上;(2)同一法:选择其中两点确定一条直线,然后证明其余点也在该直线上.1-1如图,在四边形ABCD中,已知ABCD,直线AB,BC,AD,DC分别与平面相交于点E,G,H,F,求证:E,F,G,H四点必定共线.证明证
7、明因为ABCD,所以AB,CD确定一个平面.又因为AB=E,AB,所以E,E,即E为平面与的一个公共点.同理可证F,G,H均为平面与的公共点,因为两个平面有公共点,它们有且只有一条过公共点的公共直线,所以E,F,G,H四点必定共线.典例典例2如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为棱C1D1,C1C的中点,有以下四个结论:直线AM与CC1是相交直线;直线AM与BN是平行直线;直线BN与MB1是异面直线;直线AM与DD1是异面直线.其中正确的结论为.(注:把你认为正确的结论的序号都填上)考点二空间两直线的位置关系考点二空间两直线的位置关系答案答案解析解析直线AM与CC1是异面直线
8、,直线AM与BN也是异面直线,所以错误.点B,B1,N在平面BB1C1C中,B1在直线BN外,点M在此平面外,所以BN与MB1是异面直线.同理,AM与DD1也是异面直线.方法技巧方法技巧异面直线的判定方法(1)利用反证法:先假设两条直线不是异面直线,即两条直线平行或相交,由假设出发,经过严格的推理,导出矛盾,从而否定假设,肯定两条直线异面.此法在异面直线的判定中经常用到.(2)利用结论:平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线.2-1设A,B,C,D是空间中四个不同的点,则下列说法中,不正确的是(填序号).若AC与BD共面,则AD与BC共面;若AC与BD是异面直线,则
9、AD与BC也是异面直线;若AB=AC,DB=DC,则AD=BC;若AB=AC,DB=DC,则ADBC.答案答案解析解析显然正确.对于,假设AD与BC共面,由正确得AC与BD共面,这与题设矛盾,故假设不成立,从而得正确.对于,当AB=AC,DB=DC时,易知AD与BC不一定相等,故不正确.对于,取BC的中点E,连接AE,DE,由题设得BCAE,BCDE,根据线面垂直的判定定理得BC平面ADE,从而ADBC,故正确.典例典例3在正方体ABCD-A1B1C1D1中:(1)求AC与A1D所成角的大小;(2)若E,F分别为AB,AD的中点,求A1C1与EF所成角的大小.考点三异面直线所成角考点三异面直线
10、所成角解析解析(1)如图所示,连接B1C,AB1,由ABCD-A1B1C1D1是正方体,易知A1DB1C,从而B1CA(或其补角)就是AC与A1D所成的角.AB1=AC=B1C,B1CA=60.即AC与A1D所成的角为60.(2)如图所示,连接BD,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,ACBD,ACA1C1,E,F分别为AB,AD的中点,EFBD,EFAC.EFA1C1.即A1C1与EF所成的角为90.方法技巧方法技巧求异面直线所成角的三个步骤(1)作:通过作平行线得到相交直线.(2)证:证明所作角(或其补角)为异面直线所成的角.(3)求:解三角形,求出所作的角,如果求出的角是锐角或直角,则它就是要求的角,如果求出的角是钝角,则它的补角才是要求的角.3-1如图,E、F分别是三棱锥P-ABC的棱AP、BC的中点,PC=10,AB=6,EF=7,则异面直线AB与PC所成的角为60.答案答案60解析解析取AC的中点D,连接DE、DF,则DEPC,DFAB,EDF或其补角为异面直线AB与PC所成的角,在DEF中利用余弦定理可求得EDF=120,所以异面直线AB与PC所成的角为60.
