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1、第二章第二章 随机变量与概率分布随机变量与概率分布1 随机变量随机变量2 离散型随机变量的概率分布离散型随机变量的概率分布3 随机变量的分布函数随机变量的分布函数4 连续型随机变量的概率密度连续型随机变量的概率密度5 随机变量函数的分布随机变量函数的分布.1 随机变量随机变量 1、有些试验结果本身与数、有些试验结果本身与数值有关（本身就是一个数）值有关（本身就是一个数）. 例如例如:掷一颗骰子面上出现的点数；掷一颗骰子面上出现的点数；七月份郑州的最高温度；七月份郑州的最高温度；每天从北京下火车的人数；每天从北京下火车的人数；昆虫的产卵数；昆虫的产卵数；.2、在有些试验中，试验结果看来与数值无、
2、在有些试验中，试验结果看来与数值无关，但我们可以引进一个变量来表示它的各关，但我们可以引进一个变量来表示它的各种结果种结果.也就是说，也就是说，把试验结果数值化把试验结果数值化. 正如裁判员在运动正如裁判员在运动场上不叫运动员的场上不叫运动员的名字而叫号码一样，名字而叫号码一样，二者建立了一种对二者建立了一种对应关系应关系. .在掷硬币试验在掷硬币试验E1中中,引入变量：引入变量：X1 出正面出正面0 出反面出反面在摸球试验在摸球试验E3中中,引入变量：引入变量：Y为取出的白球数为取出的白球数. 1.定义定义:随机试验随机试验E的样本的样本空间为空间为e,若对于每个若对于每个e , 有唯一实数
3、有唯一实数X(e)与之对与之对应应,这样就得到一个定义在这样就得到一个定义在 上的实的单值函数上的实的单值函数X(e),称其称其为：为：随机变量随机变量. e1e2e3e4X(e1)X(e2)X(e3)X(e4). 随机变量所取值一般随机变量所取值一般用小写字母用小写字母x,y,z等表示等表示.随机变量通常用大随机变量通常用大写字母写字母X,Y,Z或希腊字或希腊字母母 、等表示等表示 引入随机变量，使得现代引入随机变量，使得现代数学工具进入概率统计。从而数学工具进入概率统计。从而使概率统计有了飞速发展。使概率统计有了飞速发展。. 例例1. 设盒中有设盒中有 其中其中2白、白、3黑黑5个球个球,
4、 从中随从中随便抽取便抽取3个球个球, 则则 “ 抽得的白球数抽得的白球数”X是个随机是个随机变量变量. “ 抽得的黑球数抽得的黑球数”Y也是随机变量。也是随机变量。事件：事件：取到取到2白、白、1黑黑X=2=Y=13. 用随机变量取值表示事件：用随机变量取值表示事件：2. 随机变量与一般函数的区别随机变量与一般函数的区别 函数函数 定义域定义域随机性随机性 概率概率一般函数一般函数 实数轴某个范围实数轴某个范围 无无 无无随机变量随机变量 样本空间样本空间不一定是实数集不一定是实数集 有有 取每个值都取每个值都有有确定的概率确定的概率.三、随机变量的分类三、随机变量的分类 通常分为两类：通常
5、分为两类： 如如“取到次品的个数取到次品的个数”， “收到的呼叫数收到的呼叫数”等等.随随机机变变量量离散型随机变量离散型随机变量连续型随机变量连续型随机变量所有取值可以逐所有取值可以逐个一一列举个一一列举 例如，例如，“电视机的寿命电视机的寿命”，实际中常遇到的，实际中常遇到的“测量误差测量误差”等等.全部可能取值不仅全部可能取值不仅无穷多，而且还不能无穷多，而且还不能一一列举，而是充满一一列举，而是充满满一个或几个区间满一个或几个区间.非离散型随机变量非离散型随机变量非离散型非非离散型非连续型连续型.2.离散型随机变量及其概率分布离散型随机变量及其概率分布这样，我们就掌握了这样，我们就掌握
6、了X这个这个随机变量取值的概率规律随机变量取值的概率规律.从中任取从中任取3 个球个球取到的白球数取到的白球数X是一个随机变量是一个随机变量X可能取的值是可能取的值是0,1,2取每个值的概率为：取每个值的概率为：例例1且且.其中其中 (k=1,2, ) 满足：满足： k=1,2, （1）（2） 定定义义1 ：设设xk(k=1,2, )是是离离散散型型随随机机变量变量X所取的一切可能值，称所取的一切可能值，称 k=1,2, 为为离离散散型型随随机机变变量量X的的概概率率函函数数或或分分布布律，也称概率分布律，也称概率分布.这两条性质判这两条性质判断某函数是否断某函数是否是概率是概率分布分布一一
7、.离散型随机变量概率分布定义离散型随机变量概率分布定义.二、表示方法二、表示方法（1）列表法：）列表法：（2）图示法）图示法（3）公式法）公式法X再看例再看例1任取任取3 个球个球X为取到的白球数为取到的白球数X可能取的值可能取的值 是是0,1,20.10.30.6kPK012. 例例2. 汽车通过汽车通过4盏信号灯才能到达目的地，盏信号灯才能到达目的地，设汽车在每盏信号灯处通过的概率为设汽车在每盏信号灯处通过的概率为0.6求：求：(1). 汽车首次停车通过的信号灯数汽车首次停车通过的信号灯数X的概率分布。的概率分布。(2). 半路停车次数半路停车次数Y的概率分布。的概率分布。(3). 半路最
8、多停一次车的概率。半路最多停一次车的概率。PXk=(0.6)k0.4； k=0、1、2、3。 (0.6)k ； k=4 解：解：X的概率分布：的概率分布：.Y的概率分布：的概率分布：k=0、1、2、3、4。PY=k=P半路最多停一次车半路最多停一次车=PY 1 PY=0+PY=1=(0.6)4 + 2. 几个常见离散型随机变量的概率分布几个常见离散型随机变量的概率分布(1). 二项分布二项分布若随机变量若随机变量X的概率分布为：的概率分布为：则称则称X服从参数为服从参数为n、p的二项分布的二项分布.其中其中q=1p记为记为: Xb(n、p). 实例：一批产品中次品率为实例：一批产品中次品率为
9、p，有放回取有放回取n次，每次取次，每次取1个，取出的次品数个，取出的次品数Xb(n, p). 背景：只有两个可能结果的试验称为背景：只有两个可能结果的试验称为Bernoulli试验试验. 其样本空间为其样本空间为 A、A；0PA=p0。则对任一非负整数则对任一非负整数k有：有：其中：其中： npn. 例例3. 某人打靶命中率为某人打靶命中率为0.001, 重复射击重复射击5000次，求至少命中次，求至少命中2次的概率。次的概率。解：设解：设X为至命中次数。为至命中次数。P(X 2) =1P(X2) =1P(X=0)P(X=1)1(10.001)5000 0.9598用用Poissn定理：其中
10、定理：其中 np=50000.001=5P(X 2) =1P(X20=PX=30+PX=40=0.6解解 因代营业务得到的收入大因代营业务得到的收入大于当天的额外支出费用的概率为：于当天的额外支出费用的概率为：P3X60即即 PX20.3 随机变量的分布函数随机变量的分布函数1.分布函数定义分布函数定义: F(x)=PX x，(- x + ) 为为X的的分布函数分布函数.x设设X是随机变量是随机变量, 称函数：称函数：对于任意两点对于任意两点x1、x2 :P(x1 X x2)=F(x2)F(x1).分布函数的性质分布函数的性质(1) F(x) 非降，即若非降，即若 x1x2，则，则F(x1)
11、F(x2) ;(2) F( ) = F(x) = 0 (3) F(x) 右连续，即右连续，即 如果一个函数具有上述性质，则一定如果一个函数具有上述性质，则一定是某个是某个r.v Xr.v X 的分布函数的分布函数. . 也就是说，也就是说，性质性质(1)-(3)(1)-(3)是鉴别一个函数是否是某是鉴别一个函数是否是某r.vr.v的分布函数的充分必要条件的分布函数的充分必要条件. .F( ) = F(x) = 1. 例例4. 3个人抓阄决定取一物。第个人抓阄决定取一物。第X人抓到有物人抓到有物之阄。求之阄。求X的概率分布及其分布函数。的概率分布及其分布函数。解：解：PX=1=1/3PX=2=2
12、/31/2=1/3PX=3=2/31/21/1=1/3X的概率分布的概率分布:X的分布函数的分布函数:F(x)=0 x 11/3 1 x 22/3 2 x 31 3 x1 2312/ 31/ 3XY 离散型随机变量的分布函数为跳跃函数，在离散型随机变量的分布函数为跳跃函数，在xi处的跳跃高度恰为处的跳跃高度恰为PX= xi.0.4. 连续型随机变量的概率密度连续型随机变量的概率密度 1. 定义：对于随机变量定义：对于随机变量X的分布函的分布函F(x)，如果存在非负函数如果存在非负函数f(x),使对于任意实数使对于任意实数x有：有：则称则称X为为连续型随机变量连续型随机变量；称；称f(x)为为X
13、的概率的概率密度函数。简称密度函数。简称密度密度函数。函数。密度函数的性质：密度函数的性质：(1). f(x) 0; f (x)xo面积为面积为1.(4). 连续型随机变量连续型随机变量X对于任意实数对于任意实数a, PX=a=0x1x2f(x)xF(x)Px11解解: (1)由分布函数性质：由分布函数性质：F( )=0, F(+ )=1解得：解得：a=1/2 b=1/ .X的密度为的密度为: f(x) = F (x) = 1 (1+ x2 )(- x1=1P1 X 11F(1)F(1)1/ 2例例6. 设随机变量设随机变量X的密度函数为：的密度函数为：f(x) =k 3x x00 x 0求：
14、求：k=? PX0.1=? X的分布函数。的分布函数。.解解 (1).解得：解得：k=3f(x) =3 3x x00 x 00.7408(3).当当 x 0 时：时：F(x)=0当当 x 0时：时： F(x)=1 3x x00 x 0.（1）若）若 r.vX的概率密度为：的概率密度为：则称则称X服从区间服从区间( a, b)上的均匀分布，记作：上的均匀分布，记作：X U(a, b) 背景：背景： r.v X 在区间在区间(a, b) 上取值，并且在上取值，并且在(a, b)中任意小区间中任意小区间G取值的概率仅与取值的概率仅与G的长度成的长度成正比正比,与与G的位置无关的位置无关.则则 X 服
15、从服从(a,b)上均匀分布上均匀分布.2. 几个常见的连续型随机变量几个常见的连续型随机变量ba. 例例7. 某人睡醒后，发现表停了。打开收音机某人睡醒后，发现表停了。打开收音机对表对表 (假设收音机只正点报时假设收音机只正点报时)。求他等待时间。求他等待时间不超过不超过10分钟的概率。分钟的概率。解：设解：设X为他等待的时间，为他等待的时间，X的密度函数为：的密度函数为：0x0)的概率；已知的概率；已知该器件已使用该器件已使用t (t 0)年，求再使用年，求再使用a年的概率。年的概率。X的密度函数为：的密度函数为：解：解：PXa= a x x00 x 0f(x)=PXa+t / Xt=PXa
16、+t且且XtPXtPXa+tPXt= a 两两概概率率相相同同此此性性质质称称为为无无记记忆忆性性.(3)、正态分布的定义及图形特点、正态分布的定义及图形特点若若r.v X的的概率密度为概率密度为记作记作 f (x)所确定的曲线叫作正态曲线所确定的曲线叫作正态曲线.其中其中 和和 都是常数，都是常数， 任意，任意， 0，则称则称X服从参数为服从参数为 和和 的正态分布的正态分布. .正态分布正态分布 的密度函数图形特点的密度函数图形特点 (1) (1)正态分布的密度曲线正态分布的密度曲线是一条关于是一条关于 对称的钟形对称的钟形曲线曲线. . (2).当当x 时，以时，以X轴为渐近线轴为渐近线
17、.(3).在在x= 处取最大值。处取最大值。(4). 越大越平缓，越大越平缓， 越小越陡峭。越小越陡峭。. 决定了图形的中心位置，决定了图形的中心位置， 决定了图形决定了图形中峰的陡峭程度中峰的陡峭程度. . 正态分布正态分布 的图形特点的图形特点. 设设X ,X的分布函数是的分布函数是 .标准正态分布标准正态分布的正态分布称为标准正态分布的正态分布称为标准正态分布. .其密度函数和分布函数常用其密度函数和分布函数常用 和和 表示：表示：., ,则则 N(0,1) 设设定理定理 1： 书末的书末的标准正态分布函数标准正态分布函数数值表，可解决数值表，可解决正态分布的概率计算正态分布的概率计算.
18、 .表中给的是表中给的是x0时时, (x)的值的值.若若N(0,1) 若若 XN(0,1),. 例例9.设电源电压设电源电压 UN(220, 625) (单位单位:V)，通常有通常有3种状态；种状态；.不超过不超过200V； .在在200240之间；之间； . 超过超过240V。在上述在上述3状态状态, 某电子元件某电子元件损坏的概率分别为损坏的概率分别为0.1，0.001，0.2。求。求:(1).元件损坏的概率。元件损坏的概率。(2).在元件损坏情况下，分析电压所处状态。在元件损坏情况下，分析电压所处状态。 UN(220, 625) PA1= (20022025)=0.2119=1 (0.8
19、)考虑到对称性考虑到对称性 PA3= PA1= 0.2119 解：解：设设Ai为电压处在为电压处在i状态。状态。i=1, 2, 3 设设B为元件损坏；为元件损坏；.P(B)=P(A1)P(B/A1)+P(A2)P(B/A2)+P(A3)P(B/A3)= 0.21190.1+0.57620.001+0.21190.2 0.0642PA1 /B=P(A1)P(B/A1)P(B) 0.330类似：类似：PA2 / B 0.009; PA2 / B 0.660 所以电器损坏时所以电器损坏时, 电压处在高压状态可能性最电压处在高压状态可能性最大大, 而处在而处在(200240)可能性很小可能性很小, 几
20、乎是不会的。几乎是不会的。PA2=120.2119=0.5762. 例例10. 某大型设备在某大型设备在t时间内发生故障次时间内发生故障次数数N(t) 服从参数为服从参数为 t的的Poisson分布，分布，T表示表示相邻两次故障之间的时间间隔；相邻两次故障之间的时间间隔； 求：求：(1).T的密度函数。的密度函数。(2).1次故障修复后无故障运行次故障修复后无故障运行8小时的概率。小时的概率。(3).设备已无故障工作设备已无故障工作t0小时，小时，再无故障工作再无故障工作8小时的概率。小时的概率。.解：解：(1)先求先求T的分布函数。的分布函数。当当t0时：时：F(t)=PT t=0当当t 0
21、时：时：F(t) =PT t =1 t=1 PN(t)=0 =F(t)=1 t t 00 tt t t 00 t8=1F(8)= 8 (3). 根据指数分布无记忆性：根据指数分布无记忆性： PTt0+8 / Tt0= 8 . 例例2 公共汽车车门的高度是按男子与车门公共汽车车门的高度是按男子与车门顶头碰头机会在顶头碰头机会在0.01以下来设计的以下来设计的. .设男子设男子身高身高XN( (170, ,62),),问车门高度应如何确定问车门高度应如何确定? ? 解解: : 设车门高度为设车门高度为h cm, ,按设计要求按设计要求P(X h) 0.01或或 P(X h) 0.99下面我们来求满
22、足上式的最小的下面我们来求满足上式的最小的 h. .再看一个应用正态分布的例子再看一个应用正态分布的例子:.因为因为XN( (170, ,62),),故故 P(X0.99所以所以 = =2.33, ,即即 h=170+13.98 184设计车门高度为设计车门高度为184184厘米时，可使厘米时，可使男子与车门碰头男子与车门碰头机会不超过机会不超过0.01.0.01.P(X h ) 0.99求满足求满足的最小的的最小的 h .由标准正态分布的查表计算可以求得，由标准正态分布的查表计算可以求得，这说明，这说明，X的取值几乎全部集中在的取值几乎全部集中在-3,3 区间区间内，超出这个范围的可能性仅占
23、不到内，超出这个范围的可能性仅占不到0.3%. .当当XN(0,1)(0,1)时，时，P(|X| 1)=2 ( (1)-)-1= =0.6826 P(|X| 2)=2 ( (2)-)-1= =0.9544P(|X| 3)=2 ( (3)-)-1= =0.99743 3 准则准则.将上述结论推广到一般的正态分布将上述结论推广到一般的正态分布, ,时，时，可以认为，可以认为，Y 的取值几乎全部集中在的取值几乎全部集中在区间内区间内. . 这在统计学上称作这在统计学上称作“3 3 准则准则” （三倍标准差原则）（三倍标准差原则）. .解：解： 当当 X 取值取值 1，2，5 时，时， Y 取对应值取
24、对应值 5，7，13，例例1设设X求求 Y= 2X + 3 的概率函数的概率函数.而且而且X取某值与取某值与Y取其对应值是两个同时发生取其对应值是两个同时发生的事件的事件，两者具有相同的概率，两者具有相同的概率.故故5 随机变量函数的分布随机变量函数的分布1.离散型随机变量函数的分布离散型随机变量函数的分布.如果如果g(xk)中有一些相同中有一些相同,把它们适当并项即可把它们适当并项即可.一般，若一般，若X是离散型是离散型 r.v ，X的概率函数为的概率函数为X 则则 Y=g(X)如：如： X 则则 Y=X2 的概率函数为：的概率函数为： Y .例例11. 已知随机变量已知随机变量X的概率分布
25、为：的概率分布为：X 0 1 2 3 4 5 P 1/ 12 1/ 6 1/ 3 1/12 2/ 9 1/ 9 求：求：Y(X2)2的概率分布。的概率分布。X 0 1 2 3 4 5 P 1/ 12 1/ 6 1/ 3 1/12 2/ 9 1/ 9 解：解：Y 4 1 0 1 4 9故故Y的概率分布为：的概率分布为：Y 0 1 4 9 P 1/3 1/4 11/36 1/9.二、连续型随机变量函数的分布二、连续型随机变量函数的分布解：设解：设Y的分布函数为的分布函数为 FY(y)，例例2设设 X 求求 Y=2X+8 的概率密度的概率密度.FY(y)=P Y y = P (2X+8 y )=P
26、X = FX( )于是于是Y 的密度函数的密度函数.故故注意到注意到 0 x 4 时，时， 即即 8 y 0 时时, 注意到注意到 Y=X2 0，故当，故当 y 0时，时，解：解： 设设Y和和X的分布函数分别为的分布函数分别为 和和 ，.若若则则 Y=X2 的概率密度为：的概率密度为：.例例4 设随机变量设随机变量X的概率密度为的概率密度为求求Y=sinX的概率密度的概率密度.当当 y 0时时, 当当 y 1时时, 因为：当因为：当时时故故解：解：. =P(0 X arcsiny)+P( - arcsiny X ） 当当0y1, G(y)=1;对对y0 , G(y)=0;由于由于证明证明:Y=
27、F(X)服从服从0,1上的均匀分布上的均匀分布. 若若RU(0,1), 则则F-1(R)的分布函数为的分布函数为F(x).对对0y1,G(y)=P(Y y) =P(F(X) y)=P(X (y) =F( (y)= y即即Y的分布函数：的分布函数：求导得求导得Y的密度函数：的密度函数：可见可见, Y 服从服从0，1上的均匀分布上的均匀分布.(2)设：设：F-1(R)的分布函数为的分布函数为F2 (x),则则F2 (x)=PF-1(R) x=PR F(x)=FR F(x)=F(x)因为：因为：RU(0,1),所以：所以：R的分布函数为：的分布函数为：又因为：又因为： F(x) 0,1则则F-1(R
28、)的分布函数为的分布函数为F(x). 本例的结论给出构造分布函数为本例的结论给出构造分布函数为F(x) 的随的随机数的方法：取机数的方法：取U(0,1) 随机数随机数 i (i=1,2, )令令: i =F-1( i )，则，则 i (i=1,2, ) 就是就是F(x)随机数，随机数，若若 1, 2, 相互独立相互独立, 则则 1, 2, 也相互独立。也相互独立。 .其中，其中， x=h(y)是是y=g(x)的反函数的反函数定理定理: 设设 X是一个取值于区间是一个取值于区间a,b，具有概率，具有概率密度密度 f(x)的连续型的连续型r.v,又设又设y=g(x)处处可导，且处处可导，且对于任意
29、对于任意x, 恒有恒有 或恒有或恒有 ，则，则Y=g(X)是一个是一个连续型连续型r.v，它的概率密度为，它的概率密度为.证明：证明：(只证明只证明g (x)0的情况的情况) g (x)0 恒成立，恒成立， g(x)在在(- , )上上严格单调减。严格单调减。先求先求Y的分布函数：的分布函数：当当y 时，时，FY(y)=0当当y 时，时，FY(y)=1.yh(y)g(x)YX0当当 y 时：时：=Pg(X) y=PX h(y)=1FXh(y) FY(y)=0 y 1FXh(y) y 1 y Y的密度函数：的密度函数：fY(y)=fXh(y)|h (y)| y0 (或恒有或恒有(ax+b) 0)
30、； ax+b的值域为的值域为(- ,+ ).ax+b的反函数为的反函数为:ybayba; ()=1aX的密度函数：的密度函数：- x+ YaX+b的密度：的密度：- y+ 即：即：YaX+bN (a +b，(a )2) 特别特别: YX N(0, 1).例例6 设随机变量设随机变量X在在(0,1)上服从均匀分布，求上服从均匀分布，求Y=-2lnX的概率密度的概率密度.解：解： 在区间在区间(0,1)上上,函数函数lnx0, 于是于是 y在区间在区间(0,1)上单调下降，有反函数上单调下降，有反函数由前述定理得由前述定理得注意取注意取绝对值绝对值.已知已知X在在(0,1)上服从均匀分布，上服从均
31、匀分布，代入代入 的表达式中的表达式中得得即即Y服从参数为服从参数为1/2的指数分布的指数分布. 例例13. 设电压设电压VAsin , 其中其中A是正常数，相是正常数，相角角 为随机变量为随机变量,在区间在区间(- /2, /2)上服从均匀上服从均匀分分布布,求电压的概率密度。求电压的概率密度。解：解： vAsin 其反函数其反函数 arcsinvA =1A2v2 的密度为：的密度为：1/ - /2 /2 0 其它其它f( ) =V的密度：的密度：g(v)=-A v A 0 其它其它 A2v21在在(- /2, /2)上上 v =Acos 保保号号. 例例14. 点随机落在中心在原点点随机落
32、在中心在原点,半径为半径为R的圆的圆周上周上,且对弧长均匀分布且对弧长均匀分布,求落点横坐标求落点横坐标X的概率的概率密度。密度。则：则：Z的密度为：的密度为：fZ(z)=12 R0z2 R0 其它其它X0MXYZ解：如图设：解：如图设：M为随机点，为随机点，Z为为X轴正向沿逆时针方向到轴正向沿逆时针方向到M点所夹弧长。点所夹弧长。X=Rcon ZR下面求下面求X的分布函数的分布函数：.x=PRarccosR Z 2 R RarccosxR FZ(Rarccos )FZ(2 RRarccos )xRxRFX(x)=|X|R 0 x R FZ(2 RRarccos ) x RFZ(Rarccos
33、 ) xR1 x R当当 x R时：时：FX(x)=0;当当 x R时：时：FX(x)=1当当|x|R时：时：FX(x)=PX x=P RconZR x.X的密度函数：的密度函数：fZ(2 RRarccos )+ fZ(Rarccos ) xR0 |X| RxR|X|R RR2x2 RR2x2fX (x)=FX (x)= fX (x) = 1 R2x2|X|R 0 |X| R .用分布函数法求随机变量函数的分布：用分布函数法求随机变量函数的分布：由由X的概率密度的概率密度fX (x) Yg(X)的分布函数的分布函数FY(y) FY (y)则得则得Y的密度函数的密度函数fY (y) 例例15. XN(0, 1); 求求YX2的概率密度。的概率密度。解：先求解：先求Y的分布函数的分布函数 FY(y)。当当y0时：时：FY(y)0当当 y 0时时:FY(y)PX2 y=P X .0 y00 y 0=y00 y 0Y服从参数为服从参数为1的卡方分布，记为：的卡方分布，记为：fY (y)=FY (x)= FX( )FX( ) =2 FX( )1.
