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1、 概率论与数理统概率论与数理统计计第十讲第十讲主讲教师：杨勇主讲教师：杨勇佛山科学技术学院数学系佛山科学技术学院数学系问题的提出问题的提出 在实际中，人们有时对随机变量的函数在实际中，人们有时对随机变量的函数更感兴趣。如更感兴趣。如: 已知圆轴截面直径已知圆轴截面直径 D 的分布的分布, 4.1 一维随机变量的函数及其分布一维随机变量的函数及其分布求截面面积求截面面积 的分布。的分布。 第四章第四章 随机变量的函数及其分布随机变量的函数及其分布又如：已知又如：已知 t=t0 时刻噪声电压时刻噪声电压 I 的分布，的分布，求功率求功率 W=I2R (R为电阻为电阻) 的分布等。的分布等。 一般地
2、，设随机变量一般地，设随机变量 X 的分布已知，的分布已知，求求Y = g(X) (设设 g 是连续函数是连续函数) 的分布。的分布。 设设X是一维随机变量，是一维随机变量， g(x)为一元函数，为一元函数，那么那么Y = g(X)也是随机变量，称为随机变量也是随机变量，称为随机变量X的函数。的函数。4.1.1 离散型随机变量离散型随机变量函数的分布函数的分布解：解：当当 X 取值取值 - -1，0，1，2 时，时， Y 取对应值取对应值 4，1，0 和和 1。由由 PY=0 = PX=1=0.1， PY=1 = PX=0+PX=2 = 0.3+0.4 = 0.7， PY=4 = PX=- -
3、1 = 0.2 .例例1 1：设随机变量设随机变量 X 有如下概率分布：有如下概率分布： 求求 Y= (X 1)2 的概率分布。的概率分布。得得 Y 的概率分布：的概率分布： 把 yi 所对应的所有所对应的所有xk ( 即即yi = g(xk) ) 的的 pk相加，相加，记成记成 qi , 则则 q1, q2, , qi ,就是就是Y = g(X) 的的概率分布。概率分布。一般地，若一般地，若X是离散型随机变量，概率分布为是离散型随机变量，概率分布为如果如果 g(x1), g(x2), , g(xk), 中有一些是相同中有一些是相同的，把它们作适当并项即可得到一串互不相同的，把它们作适当并项即
4、可得到一串互不相同 (不妨认为从小到大不妨认为从小到大) 的的 y1, y2 , yi ,.4.1.2 连续型随机变量函数的分布连续型随机变量函数的分布解：解：设设 X 的分布函数为的分布函数为 Fx(x) ,Y 的分的分布函数为布函数为 FY(y)，则，则例例2：设随机变量设随机变量X 有概率密度有概率密度求求 Y = 2X+8 的概率密度。的概率密度。于是于是Y 的密度函数的密度函数注意到注意到得得求导可得求导可得当当 y0 时时,例例3：设设 X 具有概率密度具有概率密度fX(x)，求求Y=X2的密度。的密度。解：解：设设Y 和和X的分布函数分别为的分布函数分别为FY(y)和和FX(x)
5、, 注意到注意到 Y=X2 0，故当，故当 y0时，时，FY(y)=0；若若则则 Y=X2 的概率密度为：的概率密度为： 从上述两例中可以看到从上述两例中可以看到, 在求在求P(Yy)的过的过程中程中, 关键的一步是设法从关键的一步是设法从 g(X)y 中解出中解出X,从而得到与从而得到与 g(X)y 等价的等价的X的不等式的不等式 。例如例如: 用用X(y- -8)/2 代替代替 2X+8y,用用 代替代替 X2 y 。 这样做是为了利用已知的这样做是为了利用已知的 X的分布，求出的分布，求出相应的相应的Y的分布函数的分布函数 FY (y)。 这是求随机变量函数这是求随机变量函数 Y = g
6、(X) 的分布函数的分布函数的一种常用方法。的一种常用方法。 下面给出一个定理，当定理的条件满足下面给出一个定理，当定理的条件满足时，可直接求连续性随机变量函数的概率密时，可直接求连续性随机变量函数的概率密度度 。定理的证明与前面的解题思路类似。定理的证明与前面的解题思路类似。其中其中 x = h(y) 是是 y = g(x) 的反函数，的反函数， 定理定理1: 设设 X是一个取值于区间是一个取值于区间a, b, 具具有概率密度有概率密度 fX(x)的连续型的连续型随机变量随机变量, 又设又设 y= g(x) 是在是在a, b上上处处可导的严格单调函数处处可导的严格单调函数, 记记 (, )
7、为为g(x)的值域，则随机变量的值域，则随机变量Y = g(X)是是连续型连续型随机变量，概率密度为随机变量，概率密度为例例4：设随机变量设随机变量X在在 (0,1) 上服从均匀分布，上服从均匀分布，求求 Y=- -2ln X 的概率密度。的概率密度。解：解：在区间在区间 (0, 1) 上，上，于是于是 y = - -2ln x 在区间在区间 (0,1) 上严格单调下降，上严格单调下降，有反函数有反函数由前述定理，得由前述定理，得注意取注意取绝对值绝对值已知已知 X 在在 (0,1) 上服从均匀分布，上服从均匀分布，代入代入 的表达式中的表达式中得得即即Y 服从参数为服从参数为1/2的指数分布
8、。的指数分布。4.2.1 离散型分布情形离散型分布情形4.2 二维随机变量的函数的分布二维随机变量的函数的分布 一般地，已知二维随机变量一般地，已知二维随机变量 (X,Y)的分的分布，求布，求Z= g(X,Y ) (设设 g 是连续函数是连续函数) 的分布。的分布。 设设(X,Y)是二维随机变量，是二维随机变量， g(x,y)为二元为二元函数，那么函数，那么Z= g(X,Y ) 是一维随机变量，称是一维随机变量，称为二维随机变量为二维随机变量(X,Y)的函数。的函数。例例1：若若X与与Y独立，且独立，且 P(X=k)=ak , k=1,2, P(Y=k)=bk , k=1,2，求求 Z=X+Y
9、 的概率分布。的概率分布。解：解：Z可能的取值是可能的取值是2，3，4，于是，于是证明证明: 依题意，有依题意，有 例例2: 若若X和和Y相互独立，它们分别服从参数为相互独立，它们分别服从参数为 的泊松分布的泊松分布, 证明证明 Z=X+Y 服从参数为服从参数为 的泊松分布。的泊松分布。则则得得即即 Z 服从参数为服从参数为 的泊松分布。的泊松分布。 设设X和和Y的联合密度为的联合密度为 f (x, y), 求求 Z=X+Y 的的概率密度。概率密度。 因因 Z =X+Y 的分布函数是的分布函数是: FZ(z)=P(Zz)=P(X+Y z)这里积分区域这里积分区域 D= (x, y): x+y
10、z ，是直线是直线 x+y = z 左下方的半平面。左下方的半平面。4.2.2 连续型分布的情形连续型分布的情形 化成累次积分化成累次积分, 得得 固定固定z和和y, 对方括号内的积分作变量代换对方括号内的积分作变量代换, 令令 x= u-y, 得得变量代换变量代换交换积分次序交换积分次序由概率由概率密度与分布函数的关系密度与分布函数的关系, 即得即得 Z=X+Y 的概率密度的概率密度由由X和和Y的对称性的对称性, 知知 fZ (z)又可写成又可写成 以上两式就是两个随机变量和的概率密以上两式就是两个随机变量和的概率密度的一般公式度的一般公式。 特别地特别地, 当当X和和Y独立独立, 设设 (
11、X,Y) 关于关于X, Y的的边缘密度分别为边缘密度分别为fX(x) 和和fY(y) , 上述两式化成上述两式化成: 这两个公式称为卷积公式。这两个公式称为卷积公式。 下面考虑用下面考虑用卷积公式求卷积公式求 Z=X+Y 的概率密度的概率密度的方法。的方法。为确定积分限为确定积分限, 先找出被积函数不为零的区域先找出被积函数不为零的区域 例例3: 设设X和和Y独立独立, 有共同的概率密度有共同的概率密度求求 Z=X+Y 的概率密度。的概率密度。解解: 由卷积公式，得由卷积公式，得即即（如图示）（如图示）即即于是于是例例4: 设设X和和Y相互相互独立独立, 均服从标准正态分布，均服从标准正态分布
12、， 求求 Z=X+Y的概率密度。的概率密度。解解: 由卷积公式，对由卷积公式，对- - z 0 时，时，所以，所以，Z 的概率密度为的概率密度为4.2.3 M = max(X,Y) 及及 N = min(X,Y) 的分布的分布 设设X，Y是两个相互独立的随机变量，分布是两个相互独立的随机变量，分布函数分别为函数分别为FX(x)和和FY(y)。求。求 M = max (X, Y) 及及N = min (X, Y)的分布函数。的分布函数。再由再由X 和和Y 相互独立，得到相互独立，得到 M = max (X,Y) 的的分布函数为分布函数为: 即即 FM(z) = FX(z) FY(z) .FM(z
13、)=P(Mz) = P(Xz, Yz)= P(Xz) P(Yz) .分析：分析：由于由于 “M = max (X,Y) z” 等价于等价于“Xz, Yz”，故有，故有 P(Mz) = P(Xz, Yz). 类似地，可得类似地，可得 N = min (X,Y) 的分布函数的分布函数 下面进行推广到下面进行推广到 n 个相互独立的随机变个相互独立的随机变量的情况。量的情况。 即有即有 FN(z) = 1- -1- -FX(z)1- -FY(z) = FX(z)+FY(z)- -FX(z)FY(z) . = 1- -P(Xz, Yz)FN(z) = P(Nz) = 1- -P(Nz)= 1- - P
14、(Xz) P(Yz) . 设设X1, , Xn 是是 n 个个相互独立相互独立的随机变量的随机变量,分布函数分别为分布函数分别为 用与二维时完全类似的方法，可得：用与二维时完全类似的方法，可得： N = min(X1,Xn)的分布函数为的分布函数为M = max(X1,Xn)的分布函数为的分布函数为 特别地，当特别地，当X1, , Xn相互独立，且具有相互独立，且具有相同分布函数相同分布函数 F(x) 时，有时，有 FM(z)=F(z) n ， FN(z)=1- -1- -F(z) n . 需要指出的是需要指出的是: 当当X1, , Xn相互独立，相互独立，且具有相同分布函数且具有相同分布函数
15、 F(x) 时，常时，常称称M=max(X1,Xn)，N=min(X1,Xn)为极值分布。为极值分布。 桥梁或铸件所承受的最大应力、洪峰的桥梁或铸件所承受的最大应力、洪峰的高度、地震的震级等都用极值分布来描述。高度、地震的震级等都用极值分布来描述。故，研究极值分布有重要意义故，研究极值分布有重要意义。例例 6：如图所示如图所示, , 系统系统L L 由两个相互独立的子系由两个相互独立的子系统统 L L1 1,L,L2 2 联接而成联接而成, , 联联接方式分别为接方式分别为: : (1). (1). 串联；串联； (2). (2). 并联；并联； (3). (3). 备用备用( (开关完全开关
16、完全可靠，子系统可靠，子系统 L L2 2在储备在储备期内不失效，当期内不失效，当L L1.1.损坏损坏时时, L, L2 2开始工作开始工作) )。解：解：先求先求X, Y的分布函数的分布函数 设设L L1 1,L,L2 2的寿命分别为的寿命分别为X和和Y，概率密度分，概率密度分别为别为: :其中其中 0, 0, 0, 0, 且且 为常数为常数。分别对以上三。分别对以上三种联接方式写出种联接方式写出系统系统寿命寿命Z 的概率密度。的概率密度。(1). (1). 串联时，串联时，Z = minX, Y， F FZ Z(z(z)=1-1-F)=1-1-FX X(z)1-F(z)1-FY Y(z)
17、(z)(2). 并联时，并联时， Z = maxX,Y FZ(z) = FX(z)FY(z)当当 z 0时，有时，有(3). 备用时，备用时， Z=X+Y，当当 z0 时，时，fZ(z) = 0；习题：习题：对某种电子装置的输出测量了对某种电子装置的输出测量了5 5次，得次，得到观察值到观察值X X1 1， X X2 2， X X3 3， X X4 4， X X5 5 。设它们是相互独立。设它们是相互独立的随机变量，且有相同的概率密度函数的随机变量，且有相同的概率密度函数求求Z=maxXZ=maxX1 1， X X2 2， X X3 3， X X4 4， X X5 5 的分布函数。的分布函数。 本节是首先介绍随机变量函数的分布问本节是首先介绍随机变量函数的分布问题。对于连续型随机变量题。对于连续型随机变量，在求在求Y=g(X) 的分的分布时布时, 关键一步是把事件关键一步是把事件 g(X) y 转化为转化为X在一定范围内取值在一定范围内取值 X G 的形式的形式，接着利，接着利用用 X 的分布求的分布求 P g(X)y 。然后介绍求两个。然后介绍求两个随机变量和的分布、两个独立随机变量极大随机变量和的分布、两个独立随机变量极大值分布和极小值分布的原理和方法。值分布和极小值分布的原理和方法。小结小结
