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1、 概率论与数理统计 开课系：开课系：公共教学部公共教学部教师教师: : 白强白强 e-mail: 电话：电话：Company Logo概率论是研究什么的？随机现象：不确定性与统计规律性随机现象：不确定性与统计规律性随机现象：不确定性与统计规律性随机现象：不确定性与统计规律性概率论概率论研究和揭示随机现象研究和揭示随机现象量的统计规律性的科学量的统计规律性的科学 序序 言言 在自然界和人类社会中存在着两类不同在自然界和人类社会中存在着两类不同的现象：的现象：确定性现象确定性现象：在一定条件下事先可以断言必然会发生某在一定条件下事先可以断言必然会发生某种结果的现象；种结果的现象；不确定性现象（随
2、机现象）：在一定条件下，可能出现这种结果，也可能出现那种结果。事先不能预言会出现哪种结果的现象。Company Logo第一章 随机事件及其概率l随机事件随机事件l概率概率l概率的加法法则概率的加法法则l条件概率与乘法法则条件概率与乘法法则l独立实验概型独立实验概型Company Logo1.1随机事件一、随机试验(简称“试验”)对随机现象进行观测称为随机试验随机试验的特点：1.可在相同条件下重复进行； （必然性） 2.每次试验的结果具有多种可能性,但在试验之前可 以明确试验的所有可能结果; （可示性）3.一次试验之前无法确定具体是哪种结果出现。 （偶然性） 随机试验可表为E Company
3、LogoE1: 抛一枚硬币，分别用“H” 和“T” 表示出正面和反面;E2: 将一枚硬币连抛三次，考虑正反面出现的情况；E3:将一枚硬币连抛三次，考虑正面出现的次数;E4:掷一颗骰子，考虑可能出现的点数；E5: 记录某网站一分钟内受到的点击次数；E6:在一批灯泡中任取一只，测其寿命;E7:任选一人，记录他的身高和体重 。概率论中研究的随机现象不是日常人们所谈的偶然现象，它有特定的含义和特点。随机实验的例Company Logo二、随机事件每次实验中，可能发生也可能不发生，而在大量实验中具有某种规律性的事件称为随机事件。简称为事件通常用大写的拉丁字母A、B、C等表示基本事件：不能分解成其它事件组
4、合的最简单的随机事件复合事件：由基本事件复合而成的事件Company Logo必然事件、不可能事件必然事件、不可能事件l必然事件（ ）：每次试验中一定发生的事件l不可能事件（ ）：每次试验中一定不发生的事件Company Logo三、样本空间： 1、样本空间：实验的所有可能结果所组成的集合称为样本空间，记为 = ； 2、样本点: 试验的每一个结果或样本空间的元素称为一个样本点,记为 . 3.由一个样本点组成的单点集由一个样本点组成的单点集称为一个基本事件,也记为 . Company Logo随机事件 1.定义定义 ： 试验中可能出现或可能不出现的情况叫“随机事件”, 简称“事件”.记作A、B、
5、C等任何事件均可表示为样本空间的某个子集任何事件均可表示为样本空间的某个子集.称事件事件A发生发生当且仅当试验的结果是子集A中的元素 2.两个特殊事件两个特殊事件: 必然事件 、不可能事件.例如例如 对于试验E2 ，以下A 、 B、C即为三个随机事件:A“至少出一个正面” HHH, HHT, HTH, THH，HTT，THT，TTH；B=“三次出现同一面”=HHH,TTTC=“恰好出现一次正面”=HTT，THT，TTH 再如，试验E6中D“灯泡寿命超过1000小时”x:1000x3lC= xl x9lD= xl xP(A)?P(A|B)P(A)?何时何时P(A|B)P(A)?P(A|B)0,则
6、 P(AB)P(A)P(B|A). (1.10)若P(B)0,则 P(AB)P(B)P(A|B).式(1.10)就称为事件A、B的概率乘法公式乘法公式。 式(1.10)还可推广到三个事件的情形： P(ABC)P(A)P(B|A)P(C|AB). 一般地，有下列公式： P(A1A2An)P(A1)P(A2|A1).P(An|A1An1). (1.11)Company Logo例例5 5、市场上供应的灯泡中，甲厂产品占、市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%70%，乙，乙厂占厂占30%30%，甲厂产品的合格率为，甲厂产品的合格率为95%95%，乙厂产品的，乙厂产品的合格率为合格率为80%80%，求从
7、市场上买到一个灯泡是甲厂，求从市场上买到一个灯泡是甲厂生产的合格灯泡的概率。生产的合格灯泡的概率。l根据乘法法则：lP(AB)=P(A)P(B/A)=0.70.95=0.665lP(B)=P()P(B/)=0.30.8=0.24若用A、分别表示甲乙两厂的产品，B表示产品为合格品，试写出有关事件的概率。解：P(A)= 70% P()= 30% P(B/A)95% P(B/)=80%Company Logo例例6：10个考签中有个考签中有4个难签，个难签，3人参加抽签（不放人参加抽签（不放回）甲先、乙次、丙最后。求甲抽到难签，甲乙都回）甲先、乙次、丙最后。求甲抽到难签，甲乙都抽到难签，甲没抽到难签
8、而乙抽到难签，以及甲乙抽到难签，甲没抽到难签而乙抽到难签，以及甲乙丙都抽到难签的概率丙都抽到难签的概率l解：设事件A、B、C分别表示甲、乙、丙各抽到难签Company Logo例例7 7 盒中有盒中有3 3个红球，个红球，2 2个白球，每次从盒中任取个白球，每次从盒中任取一只，观察其颜色后放回，并再放入一只与所取之一只，观察其颜色后放回，并再放入一只与所取之球颜色相同的球，若从盒中连续取球球颜色相同的球，若从盒中连续取球4 4次次, ,试求第试求第1 1、2 2次取得白球且第次取得白球且第3 3、4 4次取得红球的概率。次取得红球的概率。Company LogolP27 l 18、19、Com
9、pany Logo三、全概率公式与贝叶斯公式例例1.1.市市场场上上有有甲甲、乙乙、丙丙三三家家工工厂厂生生产产的的同同一一品品牌牌产产品品，已已知知三三家家工工厂厂的的市市场场占占有有率率分分别别为为1/41/4、1/41/4、1/21/2，且且三三家家工工厂厂的的次次品品率率分分别别为为 2 2、1 1、3 3，试试求求市市场场上上该该品品牌产品的次品率。牌产品的次品率。Company Logo例例2 2、市场上供应的灯泡中，甲厂产品占、市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%70%，乙厂占，乙厂占30%30%，甲厂产品的合格率为，甲厂产品的合格率为95%95%，乙厂产品的合格率为，乙厂产品的
10、合格率为80%80%，求从市场上买到一个灯泡是甲厂生产的合格灯泡的，求从市场上买到一个灯泡是甲厂生产的合格灯泡的概率。概率。求从市场上买到一个灯泡是合格灯泡的概率。试求从市场上买到一个灯泡是合格灯泡的概率。试判断该合格灯泡是甲厂生产的概率判断该合格灯泡是甲厂生产的概率 P(B)=P(AB)+P(B)=P(A)P(B/A)+P()P(B/) =0.665+0.24=0.905P(A/B)=P(AB)/P(B)=0.665/0.9050.7348若用A、分别表示甲乙两厂的产品，B表示产品为合格品，试写出有关事件的概率。解：P(A)= 70% P()= 30% P(AB)=0.665 P(B/A)9
11、5% P(B/)=80% P(B)=Company Logo定义定义 :事件组事件组A1，A2，An (n可为)，称为样本空间的一个划分，若满足：A1A2AnBCompany Logo定理定理1.1(p17) 设设A1，, An是是 的一个划的一个划分，分，构成一个完备事件组构成一个完备事件组,且且P(Ai)0，(i1，n)，则对任何事件则对任何事件B 有有 式式(1.12)就称为就称为全概率公式全概率公式。Company Logo例例3 :有有甲甲乙乙两两个个袋袋子子，甲甲袋袋中中有有两两个个白白球球，1个个红红球球，乙乙袋袋中中有有两两个个红红球球，一一个个白白球球这这六六个个球球手手感感
12、上上不不可可区区别别今今从从甲甲袋袋中中任任取取一一球球放放入入乙乙袋袋，搅搅匀匀后后再再从从乙乙袋袋中中任任取取一一球球，问此球是红球的概率？问此球是红球的概率？甲乙Company Logo定理定理2 2 (p18) 设A1，, An是 的一个划分，且P(Ai) 0，(i1，n)，则对任何事件B，有 Company Logo例例4. 4. 市市场场上上有有甲甲、乙乙、丙丙三三家家工工厂厂生生产产的的同同一一品品牌牌产产品品，已已知知三三家家工工厂厂的的市市场场占占有有率率分分别别为为1/41/4、1/41/4、1/21/2，且且三三家家工工厂厂的的次次品品率率分分别别为为 2 2、1 1、3
13、 3，试试求求市市场场上上该该品品牌牌产产品品的的次次品品率率。试试判判断断该该次品是甲厂生产的概率次品是甲厂生产的概率l由全概率公式：l由Bayes公式:Company Logo例5 (88.3) 商店论箱出售玻璃杯，每箱商店论箱出售玻璃杯，每箱2020只，只，其中每箱含其中每箱含0 0，1 1，2 2只次品的概率分别为只次品的概率分别为0.8, 0.8, 0.1, 0.10.1, 0.1，某顾客选中一箱，从中任选，某顾客选中一箱，从中任选4 4只检只检查，结果都是好的，便买下了这一箱查，结果都是好的，便买下了这一箱. .l问这一箱含有一个次品的概率是多少？l解：设A“从一箱中任取4只检查,
14、结果都是好的”.l B0, B1, B2分别表示事件每箱含0，1，2只次品Company LCompany Logo例例6 ：12个乒乓球都是新球，每次比赛时取出个乒乓球都是新球，每次比赛时取出3个用完后放回去，求第个用完后放回去，求第3次比赛时取到的次比赛时取到的3个球个球都是新球的概率。都是新球的概率。l解：设事件Ai、Bi、Ci分别表示第一、二、三次比赛时取到i个新球（i0、1、2、3）l则l且B0、B1、B2、B3构成一个完备事件组Company Logo根据全概率公式：根据全概率公式：l有Company Logo条件概率 条件概率 小 结缩减样本空间 定义式 乘法公式 全概率公式 贝
15、叶斯公式Company LogolP27 l22、23、26、Company Logo定义1.4 (P20) 如果事件A发生的可能性不受事件B发生与否的影响，即P(A/B)=P(A),则称事件A对于事件B独立。若A对于B独立，则B对于A也一定独立，称事件A与事件B相互独立。1.5 独立独立试验概型概型(一一)事件的独立性事件的独立性Company Logo定义定义1.5 如果如果n(n2)2)个事件个事件A A1 1,A,A2 2,A,An n中中任何一个事件发生的可能性都不受其他一任何一个事件发生的可能性都不受其他一个或几个事件发生与否的影响，则称个或几个事件发生与否的影响，则称A A1 1
16、,A,A2 2,A,An n相互独立相互独立Company Logo一、两事件独立等价于：根据定义1.4 设A、B是两事件，P(B) 0,若则称事件A与B相互独立。Company Logo二、三个事件的相互独立根据根据定义定义1.4和和1.5 若三个事件A、B、C满足：(1)P(AB)=P(A)P(B), (2) P(AC)=P(A)P(C), (3)P(BC)=P(B)P(C),则称事件A、B、C两两两两相互相互独立独立；Company Logo2.以下四个命题等价： 1.事件A与B相互独立的充分必要条件是P(AB)=P(A)P(B)3.3.若事件A1,A2,An相互独立，则有Company
17、 Logo注意注意:互斥与独立的区别互斥与独立的区别4.在用途上有区别：互斥通常用于概率的加法运算, 独立通常用于概率的乘法运算。1.互斥的概念是事件本身的属性； 独立的概念是事件的概率属性。2.两事件互斥,即A与B不能同时发生； AB 独立是指A与B的概率互不影响.P(A/B)=P(A)3.若0P(A)1, 0P(B)1, 互斥一定不独立；独立一定不互斥。Company Logo思考题：思考题：证明：概率为1的事件与任何事件都相互独立； 概率为0的事件与任何事件都相互独立；概率为1的事件与其他事件什么关系？概率为0的事件与其他事件什么关系？Company Logo例例1 1 甲、乙两人射击，
18、甲击中的概率为甲、乙两人射击，甲击中的概率为0.80.8，乙击中，乙击中的概率为的概率为0.70.7，并假定中靶与否是相互独立的。求下，并假定中靶与否是相互独立的。求下列各事件的概率：列各事件的概率：l两人都击中靶的概率l甲击中乙未击中的概率l甲不中乙中的概率l目标被击中的概率解：设A、B分别表示甲、乙击中目标Company Logo例例2 甲、乙、丙三部机床独立工作，由一个工甲、乙、丙三部机床独立工作，由一个工人照管，某段时间内他们不需要工人照管的概人照管，某段时间内他们不需要工人照管的概率分别为率分别为0.9，0.8及及0.85。求在这段时间内有。求在这段时间内有机床需要工人照管的概率；机
19、床因无人照管而机床需要工人照管的概率；机床因无人照管而停工的概率。停工的概率。l解:设A=“机床甲不需要工人照管”; lB=“机床乙不需要工人照管”;lC=“机床丙不需要工人照管”;l根据题意,A、B、C相互独立，并且lP(A)=0.9 P(B)=0.8 P(C)=Company Logo求求机床因无人照管而停工的概率。机床因无人照管而停工的概率。l即求至少有两台机床同时需要照管的概率Company Logo例例3 若例若例1中的中的3部机床性能相同，设部机床性能相同，设P(A)P(B)P(C)0.8，求这段时间内恰有一，求这段时间内恰有一部机床需要照管的概率；部机床需要照管的概率；恰有两部机
20、床需要照管的概率；恰有两部机床需要照管的概率；l解：设Di“恰有i部机床需要照管”l则P(D1)=lP(D2) Company Logo例例4 若例若例1中有中有n部机床性能相同，每部机部机床性能相同，每部机床需要照管的概率为：床需要照管的概率为：P(A1)P(A2) P(An)p，求这段时间内恰有，求这段时间内恰有k部机床需部机床需要照管的概率；要照管的概率；lP(Dk)=Company Logo例例5：如图，如图，1、2、3、4、5表示继电器触表示继电器触点点,假设每个触点闭合的概率为假设每个触点闭合的概率为p,且各继电且各继电器接点闭合与否相互独立，求器接点闭合与否相互独立，求L至至R是
21、通路是通路的概率。的概率。解：设解：设A“L至至R为通路为通路”, Ai“第第i个继电器通个继电器通”,i=1,2,Company LCompany LCompany Logo一般地，设A1，A2，An是n个事件个事件，如果对任意k (1kn), 任意的1i1i2 ik n，具有等式 P(A i1 A i2 A ik)P(A i1)P(A i2)P(A ik) 则称n个事件个事件A1，A2，An相互独立相互独立。Company Logo三、事件独立性的应用1、加法公式的简化加法公式的简化：若事件A1，A2，An相互独立, 则 (1.15)Company LogolP29l32、33、34、Co
22、mpany Logo(二二) 独立试验序列概型独立试验序列概型l在概率论中，把在相同条件下重复进行试验的数学模型称为独立试验序列概型。l进行n次试验，若任何一次试验中各结果发生的可能性都不受其他各次试验结果发生情况的影响，称这n次试验是相互独立的。Company Logo进行进行n次试验，如果这次试验，如果这n次试验满足：次试验满足：l)每次试验的条件相同l)每次试验的结果互不影响l称这n次试验为： n次重复独立试验概型。l特别的：当每次试验只有两种可能结果，即只有事件A与，且在每次试验中lP(A)=p, P()=1-p 时，称为n重贝努里试验概型Company Logo例例1 一批产品的废品
23、率为一批产品的废品率为0.1，每次抽取一个，每次抽取一个，观察后放回去，下次再取一个，共重复观察后放回去，下次再取一个，共重复3次，次，3次中恰有两次取到废品的概率次中恰有两次取到废品的概率l解：设B2“3次中恰有两次取到废品”lAi“第i次取到废品” ( i=1,2,3)l则A1A2A3 ，1A2A3 , A12A3 , A1A23 ,l A123 , 1A23 , 12A3 , 123lP(B2)=P(1A2A3 + A12A3 + A1A23 )l= P(1A2A3 ) +P( A12A3 ) + P( A1A23 )l=0.90.10.1+0.10.90.1+Company Logo例
24、例2 例例1中废品率若为中废品率若为p(0p1),重复抽取重复抽取n次，求恰有次，求恰有k次取到废品的概率次取到废品的概率l解：设Bk“n次中恰有k次取到废品”l则定理1.3 (p24)（贝努里定理）设一次试验中事件A发生的概率为p(0p0,则 P(AB)P(A)P(B|A). 若P(B)0,则 P(AB)P(B)P(A|B)Company Logo定理1.1 设A1，, An是 的一个划分，构成一个完备事件组,且P(Ai)0，(i1，n)，则对任何事件B有3.全概公式全概公式Company Logo4.逆概公式逆概公式定理定理2 设A1，, An是 的一个划分，且P(Ai) 0，(i1，n)，则对任何事件B，有 Company Logo
