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1、一阶线性微分方程的标准一阶线性微分方程的标准(biozhn)形式形式:上方程(fngchng)称为齐次的.上方程(fngchng)称为非齐次的.一、线性方程一、线性方程例如例如线性的;非线性的.第1页/共12页第一页，共13页。齐次方程(fngchng)的通解为1. 线性齐次方程(fngchng)一阶线性微分方程(wi fn fn chn)的解法(使用分离变量法)第2页/共12页第二页，共13页。2. 线性非齐次方程(fngchng)讨论讨论(toln)两边(lingbin)积分非齐次方程通解形式与齐次方程通解相比:第3页/共12页第三页，共13页。常数常数(chngsh)变变易法易法把齐次方
2、程通解中的常数把齐次方程通解中的常数(chngsh)(chngsh)变易为待定函数的方变易为待定函数的方法法. .实质实质: : 未知函数的变量未知函数的变量(binling)(binling)代代换换. .作变换第4页/共12页第四页，共13页。积分(jfn)得一阶线性非齐次微分方程(wi fn fn chn)的通解为:对应齐次对应齐次方程方程(fngchng)通解通解非齐次方程特解非齐次方程特解第5页/共12页第五页，共13页。即非齐次线性方程(xin xn fn chn)用常数变易用常数变易(biny)法（因变量代法（因变量代换）：换）：为非齐次线性方程(xin xn fn chn)的解
3、第6页/共12页第六页，共13页。解解例例1 1第7页/共12页第七页，共13页。第8页/共12页第八页，共13页。两边(lingbin)求导, 得解解解此微分方程(wi fn fn chn)：例例4 4 如图所示，平行与如图所示，平行与 y y 轴的动直线被曲线轴的动直线被曲线y=f (x) y=f (x) 与与 y=x3 y=x3 截下的线段截下的线段PQ PQ 之长等于之长等于(dngy)(dngy)阴影部分的面积阴影部分的面积, , 求曲线求曲线 y=f (x) . y=f (x) .第9页/共12页第九页，共13页。解此微分方程(wi fn fn chn)：所求曲线(qxin)为第10页/共12页第十页，共13页。三、小结三、小结(xioji)1. 齐次线性微分方程通解(tngji)公式2. 非齐次线性微分方程通解(tngji)公式第11页/共12页第十一页，共13页。感谢您的观看(gunkn)！第12页/共12页第十二页，共13页。内容(nirng)总结一阶线性微分方程的标准形式(xngsh):。把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.。第11页/共12页。感谢您的观看。第12页/共12页第十三页，共13页。
