《2018届高三数学理一轮复习求空间角及应用考点专练十二》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018届高三数学理一轮复习求空间角及应用考点专练十二（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、-板块命题点专练十二板块命题点专练十二命题点命题点向量法求空间角及应用向量法求空间角及应用命题指数：命题指数：难度：中难度：中题型：解答题题型：解答题1 1(2015(2015全国卷全国卷) )如图，长方体如图，长方体ABCDABCD- -A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，ABAB1616，BCBC1010，AAAA1 18 8，点，点E E，F F 分别在分别在 A A1 1B B1 1，D D1 1C C1 1上，上，A A1 1E ED D1 1F F4 4过点过点E E，F F 的平面的平面 与此长方体的面相交，交与此长方体的面相交，交线围成一个正方形线围成一个正
2、方形(1)(1)在图中画出这个正方形在图中画出这个正方形( (不必说明画法和理由不必说明画法和理由) )；(2)(2)求直线求直线 AFAF 与平面与平面 所成角的正弦值所成角的正弦值解：解：(1)(1)交线围成的正方形交线围成的正方形 EHGFEHGF 如下图如下图(2)(2)作作 EMEM ABAB，垂足为，垂足为 MM，则则 AMAMA A1 1E E4 4，EMEMAAAA1 18 8因为四边形因为四边形 EHGFEHGF 为正方形，为正方形，所以所以 EHEHEFEFBCBC1010于是于是 MHMHEHEH2 2EMEM2 26 6，所以，所以 AHAH1010 以以 D D 为坐
3、标原点，为坐标原点，DADA的方向为的方向为* *轴正方向，建立如下图的空间直角坐标系轴正方向，建立如下图的空间直角坐标系 D D- -*yz*yz，则，则 A A(10,0,0)(10,0,0)，H H(10,10,0)(10,10,0)，E E(10,4,8)(10,4,8)，F F(0,4,8)(0,4,8)，FEFE(10,0,0)(10,0,0)，HEHE(0(0，6,8)6,8)设设n n( (* *，y y，z z) )是平面是平面 EHGFEHGF 的法向量，则的法向量，则错误错误! !即即错误错误! !所以可取所以可取 n n(0,4,3)(0,4,3) 又又 AFAF (
4、(10,4,8)10,4,8)， | |n n AFAF | |4 4 5 5 故故|cos|cosn n，AFAF | | 1515| |n n| |AFAF | |4 4 5 5所以所以 AFAF 与平面与平面 EHGFEHGF 所成角的正弦值为所成角的正弦值为15152 2(2014(2014全国卷全国卷) )如图，四棱锥如图，四棱锥 P P- -ABCDABCD 中，底面中，底面 ABCDABCD 为矩形，为矩形，PAPA平面平面 ABCDABCD，E E 为为 PDPD 的中点的中点(1)(1)证明：证明：PBPB平面平面 AECAEC；(2)(2)设二面角设二面角 D D - -A
5、EAE- -C C 为为 6060，APAP1 1，ADAD 3 3，求三棱锥，求三棱锥 E E- -ACDACD 的体积的体积解：解：(1)(1)证明：连接证明：连接 BDBD 交交 ACAC 于点于点 O O，连接，连接 EOEO因为平面因为平面 ABCDABCD 为矩形，所以为矩形，所以 O O 为为 BDBD 的中点的中点.z.-又又 E E 为为 PDPD 的中点，所以的中点，所以 EOEO PBPB因为因为 EOEO平面平面 AECAEC，PBPB 平面平面 AECAEC，所以所以 PBPB平面平面 AECAEC(2)(2)因为因为 PAPA平面平面 ABCDABCD，平面，平面
6、ABCDABCD 为矩形，所以为矩形，所以 ABAB，ADAD，APAP 两两垂直两两垂直 如图，以如图，以 A A 为坐标原点，为坐标原点，ABAB 的方向为的方向为* *轴的正方向，轴的正方向，| | APAP | |为单位长，建立空间直角坐为单位长，建立空间直角坐标系标系 A A- -*yz*yz，则，则 D D(0(0， 3 3，0)0)，E E 0 0，3 3 2 2，1 12 2 ，AEAE 0 0，3 31 12 2，2 2 设设 B B( (m,m,0,0)(0,0)(m m0)0)，则，则 C C( (m m， 3 3，0)0)，ACAC( (m m， 3 3，0)0)设设
7、n n1 1( (* *，y y，z z) )为平面为平面 ACEACE 的法向量，的法向量，则则错误错误! !即即错误错误! !可取可取 n n1 1 3 3 m m，1 1， 3 3 又又 n n2 2(1,0,0)(1,0,0)为平面为平面 DAEDAE 的法向量，的法向量，由题设由题设|cos|cosn n1 1，n n2 2| |1 12 2，即即3 33 34 4m m2 21 13 32 2，解得，解得 m m2 2因为因为 E E 为为 PDPD 的中点，所以三棱锥的中点，所以三棱锥 E E- -ACDACD 的高为的高为1 12 2三棱锥三棱锥 E E- -ACDACD 的体
8、积的体积 V V1 13 31 13 31 13 32 2 3 32 22 28 83 3 (2016(2016*高考高考) )在如下图的圆台中，在如下图的圆台中， ACAC 是下底面圆是下底面圆 O O 的直径，的直径，EFEF 是上底面圆是上底面圆 O O的直径，的直径，FBFB 是圆台的一条母线是圆台的一条母线(1)(1)G G，H H 分别为分别为 ECEC，FBFB 的中点，求证：的中点，求证：GHGH平面平面 ABCABC；(2)(2)EFEFFBFB1 12 2ACAC2 2 3 3，ABABBCBC，求二面角，求二面角 F F- -BCBC- -A A 的余弦的余弦值值解：解：
9、(1)(1)证明：设证明：设 CFCF 的中点为的中点为 I I，连接，连接 GIGI，HIHI在在CEFCEF 中，因为点中，因为点 G G，I I 分别是分别是 CECE，CFCF 的中点，的中点，所以所以 GIGI EFEF又又 EFEF OBOB，所以，所以 GIGI OBOB.z.-在在 CFBCFB 中，因为中，因为 H H ，I I分别是分别是 FBFB ，CFCF 的中点，的中点，所以所以 HIHI BCBC 又又 HIHIGIGII I，BCBC OBOB B B，所以平面所以平面 GHIGHI 平面平面 ABCABC 因为因为 GHGH平面平面 GHIGHI ，所以所以 G
10、HGH 平面平面 ABCABC (2)(2) 法一：法一：连接连接 OOOO ，则，则 OOOO 平面平面 ABCABC 又又 ABAB BCBC ，且，且 ACAC 是圆是圆 O O 的直径，的直径，所以所以 BOBO ACAC 以以 O O 为坐标原点，建立如下图的空间直角坐标系为坐标原点，建立如下图的空间直角坐标系O O - -*yz*yz由题意得由题意得 B B(0,2(0,2 3 3，0)0)，C C( (2 2 3 3，0,0)0,0) 过点过点 F F 作作 FMFM OBOB 于点于点 M M ，所以所以 FMFM FBFB2 2BMBM2 23 3，可得，可得 F F(0(0
11、， 3 3，3)3) 故故 BCBC ( (2 2 3 3，2 2 3 3，0)0)，BFBF (0(0， 3 3，3)3)设设 m m ( (* *，y y，z z) )是平面是平面 BCFBCF 的法向量的法向量由由错误错误! !可得可得错误错误! !可得平面可得平面 BCFBCF 的一个法向量的一个法向量 m m 1 1，1 1，因为平面因为平面 ABCABC 的一个法向量的一个法向量 n n(0,0,1)(0,0,1)，所以所以 coscosm m ，n nm m n n7 7，| | m m | | n n| |7 77 77 73 33 3所以二面角所以二面角 F F- -BCBC
12、 - -A A 的余弦值为的余弦值为法二：法二：如图，连接如图，连接 OOOO ，过点，过点 F F 作作 FMFM OBOB 于点于点 M M ，则有，则有 FMFM OOOO 又又 OOOO 平面平面 ABCABC ，所以所以 FMFM 平面平面 ABCABC ，.z.-可得可得 FMFMFBFB2 2BMBM2 23 3过点过点 MM 作作 MNMN BCBC 于点于点 N N，连接，连接 FNFN，可得可得 FNFN BCBC，从而从而FNMFNM 为二面角为二面角 F F- -BCBC- -A A 的平面角的平面角又又 ABABBCBC，ACAC 是圆是圆 O O 的直径，的直径，所
13、以所以 MNMNBMBMsin 45sin 45从而从而 FNFN6 62 242427 7，可得，可得 coscos FNMFNM2 27 77 77 7所以二面角所以二面角 F F- -BCBC- -A A 的余弦值为的余弦值为4 4(2016(2016*高考高考) )如图，正方形如图，正方形ABCDABCD 的中心为的中心为 O O，四边形，四边形OBEFOBEF 为矩形，为矩形，平面平面 OBEFOBEF平面平面 ABCDABCD，点，点 G G 为为 ABAB 的中点，的中点，ABABBEBE2 2(1)(1)求证：求证：EGEG平面平面 ADFADF；(2)(2)求二面角求二面角
14、O O- -EFEF- -C C 的正弦值；的正弦值；2 2(3)(3)设设 H H 为线段为线段 AFAF 上的点，上的点，且且 AHAH HFHF，求直线求直线 BHBH 和平面和平面 CEFCEF 所成角所成角3 3的正弦值的正弦值 解：解：依题意，依题意，OFOF平面平面 ABCDABCD，如图，以，如图，以 O O 为原点，分别以为原点，分别以ADAD，BABA， OFOF 的方向为的方向为* *轴，轴，y y 轴，轴，z z 轴的正方向建立空间直角坐标系，依题意可得轴的正方向建立空间直角坐标系，依题意可得O O(0,0,0)(0,0,0)，A A( (1,1,0)1,1,0)，B
15、B( (1 1，1 1，0)0)，C C(1(1，1 1，0)0)，D D(1,1,0)(1,1,0)，E E( (1 1，1,2)1,2)，F F(0,0,2)(0,0,2)，G G( (1,01,0，0)0) (1)(1)证明：证明：依题意，依题意，ADAD(2,0,0)(2,0,0)， AFAF (1(1，1,2)1,2)设设 n n1 1( (* *1 1，y y1 1，z z1 1) )为平面为平面 ADFADF 的法向量，的法向量，则则错误错误! !即即错误错误! !不妨取不妨取 z z1 11 1，可得，可得 n n1 1(0,2,1)(0,2,1) 又又EGEG(0,1(0,1
16、，2)2)，可得，可得EGEG n n1 10 0又因为直线又因为直线 EGEG 平面平面 ADFADF，所以，所以 EGEG平面平面 ADFADF (2)(2)易证易证OAOA( (1,1,0)1,1,0)为平面为平面 OEFOEF 的一个法向量，依题意，的一个法向量，依题意， EFEF (1,1,0)(1,1,0)， CFCF ( (.z.-1,1,2)1,1,2)设设 n n2 2( (* *2 2，y y2 2，z z2 2) )为平面为平面 CEFCEF 的法向量，则的法向量，则错误错误! !即即错误错误! !不妨取不妨取* *2 21 1，可得，可得 n n2 2(1(1，1,1)
17、1,1) OAOA n n2 26 6 因此有因此有 coscosOAOA，n n2 2， 3 3| |OAOA| | |n n2 2| |3 3 于是于是 sinsinOAOA，n n2 23 3所以，二面角所以，二面角 O O- -EFEF- -C C 的正弦值为的正弦值为3 33 32 22 22 2 (3)(3)由由 AHAH HFHF，得，得 AHAH AFAF因为因为 AFAF (1(1，1,2)1,2)，所以，所以 AHAH AFAF 3 35 55 5 2 2，2 2，4 4 ，5 55 5 5 53 33 34 4 ， ， ，进而有进而有 H H 5 55 55 5 2 28
18、 84 4 从而从而BHBH 5 5，5 5，5 5 BHBH n n2 27 7 因此因此 coscosBHBH，n n2 2 2121| |BHBH| | |n n2 2| |所以直线所以直线 BHBH 和平面和平面 CEFCEF 所成角的正弦值为所成角的正弦值为7 721215 5(2016(2016全国甲卷全国甲卷) )如图，菱形如图，菱形 ABCDABCD 的对角线的对角线 ACAC 与与 BDBD 交于点交于点 O O，ABAB5 5，ACAC6 6，5 5点点 E E，F F 分别在分别在 ADAD，CDCD 上，上，AEAECFCF ，EFEF 交交 BDBD 于点于点 H H
19、将将4 4DEFDEF 沿沿 EFEF 折到折到D DEFEF 的位置，的位置，ODOD 1010(1)(1)证明：证明：D DH H平面平面 ABCDABCD；(2)(2)求二面角求二面角 B B- -D DA A- -C C 的正弦值的正弦值解：解：(1)(1)证明：由得证明：由得 ACAC BDBD，ADADCDCDAEAECFCF又由又由 AEAECFCF，得，得ADADCDCD，故故 ACAC EFEF因此因此 EFEF HDHD，从而，从而 EFEF D DH H.z.-由由 ABAB5 5，ACAC6 6，得，得 DODOBOBOOHOHAEAE1 1由由 EFEF ACAC，得
20、，得DODOADAD 4 4所以所以 OHOH1 1，D DH HDHDH3 3ABAB2 2AOAO2 24 4于是于是 D DH H2 2OHOH2 23 32 21 12 21010D DO O2 2，故，故 D DH H OHOH又又 D DH H EFEF，而，而 OHOHEFEFH H，所以，所以 D DH H平面平面 ABCDABCD(2)(2)如图，以如图，以 H H 为坐标原点，为坐标原点，HFHF 的方向为的方向为* *轴正方向，建立空间直角坐标系轴正方向，建立空间直角坐标系 H H- -*yz*yz，则则 H H(0,0,0)(0,0,0)，A A( (3 3，1,0)1
21、,0)，B B(0(0，5,0)5,0)，C C(3(3，1,0)1,0)，D D(0,0,3)(0,0,3)， 故故 ABAB (3(3，4,0)4,0)， ACAC (6,0,0)(6,0,0)，ADAD(3,1,3)(3,1,3)设设 m m( (* *1 1，y y1 1，z z1 1) )是平面是平面 ABDABD的法向量，的法向量，则错误则错误! !即错误即错误! !所以可取所以可取 m m(4,3(4,3，5)5)设设 n n( (* *2 2，y y2 2，z z2 2) )是平面是平面 ACDACD的法向量，的法向量，则错误则错误! !即错误即错误! !所以可取所以可取 n n(0(0，3,1)3,1)m m n n于是于是 coscosm m，n n|m|n|m|n|故故 sinsinm m，n n2 2 9595252514147 7 5 525255050 10102 2 9595因此二面角因此二面角 B B- -D DA A- -C C 的正弦值是的正弦值是2525.z.
