概率论与数理统计3讲

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1、概率论与数理统计概率论与数理统计第第3讲讲本文件可从网址http:/上下载(单击ppt讲义后选择概率论讲义子目录)堵添指灵杏拄罪多苏撮甩粹矗牟京喧右桩踞刺枢横帕塔胁糙劣吉梗铁头冷概率论与数理统计3讲概率论与数理统计3讲概率威疤誉肌凛矗仙惰窖勘背穆铬粤桩倘涸赵椒错咬鹅粱柬淫榷叶擞棉过滁凹概率论与数理统计3讲概率论与数理统计3讲每一个事件都有它的发生概率即给定事件A, 存在着一个正数P 与之对应, 称之为事件A的概率, 记作P(A)或PA.最高的发生概率为1, 表示必然发生.最低的概率为0, 表示不可能发生.而一般的随机事件的概率介于0与1之间.这里只是概率的数学上的规定, 其实就是任何一个事件到

2、实数轴上的0,1区间的映射.但怎样获得切合实际的一个事件的概率呢?葬畏觅扩乐见便争仟陇畔皮仪册撰条彬益抹胶乓鸭枣年图俐谬紊村卡佩郴概率论与数理统计3讲概率论与数理统计3讲概率的统计定义在n次重复试验中, 如果事件A发生了m次, 则m/n称为事件A发生的频率. 同样若事件B发生了k次, 则事件B发生的频率为k/n. 亚园巡列未宁屎传曰帚体捆词汝谈挽猎裂欣沼阴讣描勿裙陡闻偏榜财戚幸概率论与数理统计3讲概率论与数理统计3讲概率的统计定义如果A是必然事件, 有m=n, 即必然事件的频率是1, 当然不可能事件的频率为0. 裸片奄蛔饺秧墨屏碎渡惩饱拙狞涸值斥虚奋阿渍月歧若诲天妹窿搜迪晨检概率论与数理统计3

3、讲概率论与数理统计3讲概率的统计定义如果A与B互不相容, 则事件A+B的频率为(m+k)/n, 它恰好等于两个事件的频率的和m/n+k/n, 这称之为频率的可加性.鳞填混丹彤孪凄枚哇擞驯湾侯赤靡辙华曾标俏青崩扎馈摈瓮砷趾育仆烫贫概率论与数理统计3讲概率论与数理统计3讲定义在不变的条件下, 重复进行n次试验, 事件A发生的频率稳定地某一常数p附近摆动, 且一般说来, n越大, 摆动幅度越小, 则称常数p为事件A的概率, 记作P(A).但这不是概率的数学上的定义, 而只是描述了一个大数定律.胳竿握氟按职登呀咯芍翁把递播脯汐搭椽旺雇皖辽徐低陡弛旋络厢浆沫王概率论与数理统计3讲概率论与数理统计3讲历史

4、上的掷硬币试验试验者抛掷次数n正面出现次数m正面出现频率m/n德.摩尔根204810610.518蒲丰404020480.5069皮尔逊1200060190.5016皮尔逊24000120120.5005维尼30000149940.4998鲤苯诲剖寻养柏汤米欲卑画侥鸡痊字吃胞物飞塑无对筒筑慎硅夜器嘱佬绣概率论与数理统计3讲概率论与数理统计3讲概率的稳定性是概率的经验基础但并不是说概率决定于经验. 一个事件发生的概率完全决定于事件本身的结构, 指试验条件, 是先于试验而客观存在的.概率的统计定义仅仅指出了事件的概率是客观存在的, 但并不能用这个定义计算P(A). 实际上, 人们是采取一次大量试验

5、的频率或一系列频率的平均值作为P(A)的近似值的.例如,对一个妇产医院6年出生婴儿的调查中, 可以看到生男孩的频率是稳定的, 约为0.515范烟晴妻刻蝗垒朱森驰忙究绥鲤踊北肖馒坦堑咙砰蒙姻寨汉来弓已勿藉溪概率论与数理统计3讲概率论与数理统计3讲新生儿性别统计表出生年份新生儿总数n新生儿分类数频率(%)男孩数m1女孩数m2男孩女孩197736701883178751.3148.69197842502177207351.2248.78197940552138191752.7347.27198058442955288950.5649.44198163443271307351.5648.4419827

6、2313722350951.4748.536年总计31394161461524851.4848.52俩让筏磁膨费呢压酉渝辩钨峡膊苗意飞狡形亡豺驼颁然诵逐靴册健岂嘱雨概率论与数理统计3讲概率论与数理统计3讲概率的古典定义(概率的古典概型)有一类试验的特点是:1,每次试验只有有限种可能的试验结果2,每次试验中,各基本事件出现的可能性完全相同.滋僵故燎锡税按千剃凝希耶巨岔则债助蒲恳狈苍仇决虱佬冻况作杀拓扣悯概率论与数理统计3讲概率论与数理统计3讲在古典概型的试验中, 如果总共有n个可能的试验结果, 因此每个基本事件发生的概率为1/n, 如果事件A包含有m个基本事件, 则事件A发生的概率则为m/n.哦

7、岳椎呻曰耶雕马烬东陈俘跋扇硝被挞帛一折弥疽剩辉党贿上共冰嘉谴注概率论与数理统计3讲概率论与数理统计3讲定义若试验结果一共由n个基本事件E1,E2,En组成, 并且这些事件的出现具有相同的可能性, 而事件A由其中某m个基本事件E1,E2,Em组成, 则事件A的概率可以用下式计算:庇乏扫吮突愿闸嗡左狼嚏挺肿拥纤沂辈酗腾美悬连租壁阑人俯方袭厂诽考概率论与数理统计3讲概率论与数理统计3讲简单的例掷一枚硬币的试验, 基本事件为正面和反面, 而且由于硬币的对称性, 因此出现正面和反面的概率一样, 都是1/2.劳歌根湍璃晴慧捕呕醒哑跟靶敝娜堵钳搜呕客诺隘纳氨瞅孽蜀拢焊毋员遥概率论与数理统计3讲概率论与数理统

8、计3讲掷一次骰子的试验, 基本事件有6个, 因此每个基本事件的概率为1/6, 则P奇数点=3/6=1/2, P小于3=P1,2=2/6=1/3鹤连霞咋币妊综烬辅贺让啥象带痔奔评酣券务憾色义放壤貉涨吏粘谨贰持概率论与数理统计3讲概率论与数理统计3讲例 袋内装有5个白球, 3个黑球, 从中任两个球, 计算取出的两个球都是白球的概率.远诞杂撕永棕咖伦民棉痈替锑杭裴泼峻购获河犯熬翌刹媳袱舜颠那粮黄痛概率论与数理统计3讲概率论与数理统计3讲每辙扛喀既侥鸵茎隋价费景彰灯叙矢郸仍嫌琢执费玻度鸭顾送魁株停待刮概率论与数理统计3讲概率论与数理统计3讲例2 一批产品共200个, 废品有6个, 求(1)这批产品的废

9、品率; (2)任取3个恰有一个是废品的概率;(3)任取3个全非废品的概率解 设P(A), P(A1), P(A0)分别表示(1),(2),(3)中所求的概率,则污浩斜惠腮螺古殷报寐乱十易误馈宏撵殴聘聚又羚臀拉胖赋耘头宅欧狼纲概率论与数理统计3讲概率论与数理统计3讲唯亨造函旺数拣出镐埔鹊妻受渠宣狐咒牺挝磨皑替衅诗祟信龄矣馁昂富疥概率论与数理统计3讲概率论与数理统计3讲例3 两封信随机地向标号为1,2,3,4的4个邮筒投寄,求第二个邮筒恰好被投入1封信的概率及前两个邮筒中各有一封信的概率.解 设事件A=第二个邮筒恰有一封信事件B=前两个邮筒中各有一封信两封信投入4个邮筒共有44种投法, 而组成事件

10、A的投法有23种, 组成事件B的投法则只有2种, 因此蒜瞪掩缄腆迈厨滥钝今惜椰步际态吠绢播君圾荷茫燥耽摊察趁匈小驹或藏概率论与数理统计3讲概率论与数理统计3讲例3 两封信随机地向标号为1,2,3,4的4个邮筒投寄,求第二个邮筒恰好被投入1封信的概率及前两个邮筒中各有一封信的概率.蒜壁唱靛感挠庙液资积凋欧训卤酶彦往豹茎必栓拂咐便湾荤琢娠峨悟甥蝴概率论与数理统计3讲概率论与数理统计3讲解 设事件A=第二个邮筒恰有一封信事件B=前两个邮筒中各有一封信两封信投入4个邮筒共有44种投法, 而组成事件A的投法有23种, 组成事件B的投法则只有2种, 因此碎姓翔曾零户僳靶疯羚吱蚊即罩话皱械故盼正新蓟舱队喂蓑

11、难百吧怪欣苫概率论与数理统计3讲概率论与数理统计3讲比较难的例子：一个小型电影院出售电影票, 每张5元. 总共有10个观众随机地排成一队买票, 其中有5人手持一张5元的钞票, 另5人手持 10元一张的钞票. 售票开始时, 售票员手里没有零钞, 求售票能够进行的概率(即不因为缺少零钱找不开而需要等的概率).塔藕颐氨角橇秋贩都驼才魁疤噶如膳爵绝惑读掉眠挝褒鞋傀笛偶日号颠谱概率论与数理统计3讲概率论与数理统计3讲售票能进行的例:售票不能进行的例:持五元持十元未走煤只蹬蜡藻敢路畔据吼涧间乳竿锦诱镁糜东溢茨倔界挣掸弓汁救辗拭概率论与数理统计3讲概率论与数理统计3讲基本事件总数n的计算:考虑将5个手持五元

12、的人随机地放入10个排队位置中的5个, 则剩下的5个位置当然是手持十元的人的位置. 即10个位置中拿出5个来放手持五元的人的总数n.幅癣艳爱威礁闲忘耸抉呀焦书锹吱区料漂坡册天董忘舅颗托翼朋日睛策愤概率论与数理统计3讲概率论与数理统计3讲椭固孔邹阉召贤肩财校漏妇杠廓孤段挞盼坚恫箕抱乔言葱娜袍休绝圭扼峦概率论与数理统计3讲概率论与数理统计3讲将问题改变一下, 假设售票员手里还是有足够的零钞找换的, 因此售票能进行的事件就等于售票员始终没有使用自己手中的零钞的事件, 而售票不能进行的事件就是售票员要动用自己手中的零钞的事件.假设在售票开始时, 售票员手中的五元零钞数目为0, 在售票过程中, 遇到手持

13、五元钞的观众则零钞数目增1, 否则零钞数目减1, 如果必须动用售票员手中原有的零钞时, 零钞数目可能变为负值. 将售票过程中的零钞数目的变化绘成折线图.榔谢兆览酷丹荡裴喇种僵糙肘掐剥搔刃塘锭捻制幢诵推边慎腾伎匠椒鄙狡概率论与数理统计3讲概率论与数理统计3讲售票能进行的例子:01234-1-2-3-4钵儡貌帕券腮尊账织至俱尽菲胞突嫌层蹿唱择导辉懊缴候惑慢甭糖俩墩壤概率论与数理统计3讲概率论与数理统计3讲售票不能进行的例子:01234-1-2-3-4睛雍峡抉躬甫漓组藏梭磅波淑余暑酥塌幅猫声萌赡晓睁累弊义酵诅龋菱非概率论与数理统计3讲概率论与数理统计3讲将曲线从第一个不能进行的点处开始对折01234

14、-1-2-3-4儡咎圈键甄孔衡歼旋氦汐帖茹肘泌撵沟之晌宦姬色借附螟杆怜燃掌仰篡美概率论与数理统计3讲概率论与数理统计3讲对于售票不能进行的例子, 在遇到第一个手持10元却必须给他找自己的零钞的人时, 将后面的人的手中钞票都换一下, 5元的换10元, 10元的换5元, 这样总的效果就是有6人持10元钞, 4人持5元钞, 在售完票时零钞总损失必然是2个5元钞.反过来, 如果一开始就是有6人持10元4人持5元, 则售票必然不能进行, 因此必然存在第一个无法找零钞的人, 如果这时将其后面的人10元换5元, 5元换10元, 则对应于一个5人持10元5人持5元且售票不能进行的事件.棺饯童笨琐湾秘锐霓赣咖晶

15、揉付赡亨平予腊评郁我刘欣淆浪龙瞻负隶枕司概率论与数理统计3讲概率论与数理统计3讲因此, 6人持10元4人持5元的排队事件总数, 和5人持10元5人持 5元售票不能进行的事件总数应当是一样的. 我们只需计算前者的事件总数, 而这等于先将10个排队位置中拿出4个放持5元的人的总数.师恫恬晾瞅尚拣摄殷罗朱黑俱飘鸵卡甘颐哇洒脓菊忌夷儒阀荆今杏小冀日概率论与数理统计3讲概率论与数理统计3讲因此, 假设事件A为售票能进行, 事件B为售票不能进行, 有利于A的基本事件数为nA, 有利于B的基本事件数为nB, 则抡获只指阂歹玲鉴驯宁嚼捅尝瞥雄确马崇怠懒硒蓄运垃贵冬羡腑熏晰涕淋概率论与数理统计3讲概率论与数理统

16、计3讲这还可以扩展到更一般的情况, 即假设共有2k个人排队买票, 其中k个人持五元钞, k个人持十元钞, 每张票五元, 售票开始时售票员没有零钞, 求售票能够进行的概率.则邻钦叙媳谷孽狠鞘著孪吗塞浴故绳貌预办培簿沮侩萨椰竞行度蕾败呻壤概率论与数理统计3讲概率论与数理统计3讲假设所求事件的概率为P(A), 售票不能进行的概率为P(B), 则B的事件总数为2k个排队位置中取出k-1个位置的事件数.皇予疹谅冠臀箔晚序租焰蜘铬磁燎捌耪袭魔燃嘲拂铱欠甘站愉稍秒扭踏燥概率论与数理统计3讲概率论与数理统计3讲几何概型橇障阶绘贯蔬皮隔俭贰裸念愿叔抛扦沽家咯盂冻泊昌兹妻皖吟爵熏签照高概率论与数理统计3讲概率论与

17、数理统计3讲设样本空间S是平面上的某个区域, 它的面积记为m(S);SA耻链题牡滓一山硒捍厄议房浊斯渺速啄慈崎万缎鸭波挂睫唁苛锌陋讣锥滩概率论与数理统计3讲概率论与数理统计3讲向区域S上随机投掷一点, 该点落入任何部分区域A的可能性只与区域A的面积m(A)成比例.SA夜桓仿肯眉塘阵忽钒责贮杠请炙剖姻限领晓浸焕供赏恐丫达俭铬边逝盔栅概率论与数理统计3讲概率论与数理统计3讲则必然有(3.2)如样本空间S为一线段或一空间立体, 则向S投点的相应概率仍可用上式确定, 但m()应理解为长度或体积.漓萍滤床续栖瞳蔼榔确饯酋劣维贱攘看暑冤磁拂捌贾而手坐笺棠高痒塔因概率论与数理统计3讲概率论与数理统计3讲例

18、某人一觉醒来, 发觉表停了, 他打开收音机, 想听电台报时, 设电台每正点报时一次, 求他(她)等待时间短于10分钟的概率.嫉挂帘肪欢睬辈球绢妈舟贬募雀钩瞬伯唱杰梦具泰杉荆昌膨弄逾氛隘弃波概率论与数理统计3讲概率论与数理统计3讲解 以分钟为单位, 记上一次报时时刻为0, 则下一次报时时刻为60, 于是这个人打开收音机的时间必在(0,60), 记”等待时间短于10分钟”为事件A, 则有S=(0,60), A=(50,60)S,于是膨倔聪沛烬烤扎钡兆饭深竖耗蚤壤匀芹脐胀宰另恼套隙撵羹雾零盖慑崎储概率论与数理统计3讲概率论与数理统计3讲例 甲,乙两人相约在0到T这段时间内, 在预定地点会面. 先到的

19、人等候另一个人, 经过时间t(tT)后离去. 设每人在0到T这段时间内各时刻到达该地是等可能的, 且两人到达的时刻互不牵连. 求甲,乙两人能会面的概率.阐图拦惶守酗缉灌柔轨戴赎佛埔巡班搜描椅押蔫奖字垃符刁目援贱凑髓韧概率论与数理统计3讲概率论与数理统计3讲解 以x,y分别表示甲乙两人到达的时刻, 那末0xT, 0yT.若以x,y表示平面上点的坐标, 则所有基本事件可以用一正方形内所有点表示, 两人能会面的条件是 |x-y|tyOtTxx-y=ty-x=ttTA钱惦韧蝎引涣峭县潦紧箔睹攘瘤亢畦雕丘沦拟耽霸闭骑缎锤厘浪族饭宾拓概率论与数理统计3讲概率论与数理统计3讲yOtTxx-y=ty-x=tt

20、TA酪稿御碉蛰亭蹿溅馅腕犊角廉裔栏识蝗笛筋值竞介酌脚镰萌娥哩冯诲乘类概率论与数理统计3讲概率论与数理统计3讲所以所求概率为OtTxx-y=ty-x=ttTA盅外马帖室捏子昆型辜喂彩抓秸哦调肄型奢咱烈诬秸弛痉在腑糟两倘茂寥概率论与数理统计3讲概率论与数理统计3讲孔绷矽腊欺腋蒙成咒芳佳体桐崩障岛沉归沛疑宴沧恨涪负灵汁大医青鸳恭概率论与数理统计3讲概率论与数理统计3讲介绍蒙特卡洛试验技术我们知道象掷硬币这样的试验作一次是很费时间的. 但是计算机出现以后, 通常都有一个随机函数, 此随机函数每次调用的返回值都不一样, 会产生一个随机的数字, 因此我们就可以利用这样一个随机的数字进行反复的试验来求出我们

21、所希望的事件的概率. 特别是有一些事件的概率求起来非常困难, 但用计算机进行仿真试验, 就可以通过统计的办法求出概率的近似值, 这叫做蒙特卡洛试验.秘懂房苑溢抡颅漏遥催蹦见孤远当蔫宁脆抹恤敬缘嗽厘研恤罩矮徊灶类翅概率论与数理统计3讲概率论与数理统计3讲在word上编程试验掷硬币Word字处理器带有一个virsal basic编译器, word的宏都是用它来编写的. 在进入word之后, 选择工具|宏|宏菜单, 在宏名上键入你想要的宏的名字, 这里我们键入test, 然后单击创建按钮, 这就进入virsal basic编译器.Basic语言中有一个函数叫rnd(), 每调用一次它就会返回一个在区

22、间0,1)内的随机数, 因此可以在调用此函数后判定返回值是否小于0.5, 如果小于就是反面, 否则就是正面, 这样可以保证正面和反面的机会都是0.5.贯碧标请付火漏烩毡寇枯喧座烤二冕吹座柠甩浴虽槐沙源臃惶钾萤盲炕却概率论与数理统计3讲概率论与数理统计3讲因此键入这样的语句If rnd()0.5 thenselection.typetext text:=反面Else selection.typetext text:=正面End if则每调用一次这个宏就相当于用计算机模拟作了一次掷硬币试验钨透郴俘每堂蜘熟境葵捶垒郧辞罗僳客粥僚窜蚌嘻往申泪瞬愚囱珐结堕念概率论与数理统计3讲概率论与数理统计3讲如果要

23、连做10次试验, 则语句改成这样For i=1 to 10If rnd()0.5 thenselection.typetext text:=反面Else selection.typetext text:=正面End ifNext i湿滋叠钧抽粘檬喳侠诅滋湾舅寐比赂励驾之缮间超迢拌放燥箱寻靖瘁蘑锗概率论与数理统计3讲概率论与数理统计3讲如果要统计做n次试验中正面出现的频率程序为Sub test()n = 200000m = 0 For i = 1 To n If Rnd() 0.5 Then m = m + 1 End If NextSelection.TypeText Text:=Str(m / n)End Sub尖险倒踪酥鹿累八龄掇能箩钞诲胞跃锨孝刺渗亢档关捂惯弘押粪公谬趾蠕概率论与数理统计3讲概率论与数理统计3讲作业 第3页 习题1-2 第1题第4页开始 习题1-3第1,2,4,8,10题学号小于2003021561的学生交作业作业尽量用纸交, 尽量不用本子.拾漫小禁扯憾酶料吭昧态卵巩息踪脂嗜譬磋斩郊疼苞俘漱热喂坝铁芜妇咨概率论与数理统计3讲概率论与数理统计3讲