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1、Appendix Properties of Plane Areas 反映平面图形的反映平面图形的形状形状与与尺寸尺寸的的几何量几何量如：如：本章介绍：本章介绍： 平面图形几何性质的平面图形几何性质的定义定义、计算方法计算方法和和性质性质在轴向拉（压）中：在轴向拉（压）中：10.1 静矩与形心静矩与形心一、静一、静矩矩整个图形整个图形 A 对对 x 轴的静矩：轴的静矩：整个图形整个图形 A 对对 y 轴的静矩：轴的静矩：ydA微面积微面积 dA 对对 x 轴的静矩轴的静矩xdA微面积微面积 dA 对对 y 轴的静矩轴的静矩定义：定义：（面积矩）（面积矩）其值：其值：+ +、- -、0 单位：单
2、位：m3二二. .形心坐标形心坐标由理论力学中由理论力学中,均质薄板求均质薄板求质心的公式质心的公式即即由此得出由此得出性质性质1若某轴过形心，则图形对该轴静矩为零若某轴过形心，则图形对该轴静矩为零. .反之反之, ,图形对图形对某轴静矩为零，则该轴必过形心某轴静矩为零，则该轴必过形心. . 例例 求三角形求三角形ABCABC对底边对底边BCBC的静矩的静矩解解: :bhABCOyxy积分得积分得：三、组合图形的三、组合图形的静矩和形心静矩和形心 组合图形组合图形由几个简单图形由几个简单图形（如矩形、圆形等）（如矩形、圆形等） 组成组成的平面图形的平面图形如：如：1. .静矩静矩2. .形心形
3、心例例 确定形心坐标确定形心坐标解：解： 取参考坐标系取参考坐标系 xy10.10.2 惯性矩惯性矩 惯性积惯性积 惯性半径惯性半径一、惯性一、惯性矩与惯性积矩与惯性积整个图形整个图形 A 对对x 轴的惯性矩轴的惯性矩整个图形整个图形 A 对对 y 轴的惯性矩轴的惯性矩y2dA微面积微面积 dA 对对 x 轴的惯性矩轴的惯性矩x2dA微面积微面积 dA 对对 y 轴的惯性矩轴的惯性矩定义：定义：其值：其值：+ + 单位：单位：m41. .惯性矩惯性矩2.2.极惯性矩极惯性矩即：即： 平面图形对任意一点的极惯性矩等于该图形对通过平面图形对任意一点的极惯性矩等于该图形对通过该点的任意一对相互垂直的
4、坐标轴的惯性矩之和该点的任意一对相互垂直的坐标轴的惯性矩之和 性质性质2若若 x 、 y 轴为一对正交坐标轴轴为一对正交坐标轴整个图形整个图形 A 对对 x 轴和轴和 y轴的惯性积轴的惯性积定义：定义： xydA微面积微面积 dA 对对 x 轴和轴和 y 轴的惯性积轴的惯性积 的坐标轴的坐标轴其值：其值：+ +、- -、0 单位：单位：m4假设：假设： x 轴和轴和 y 轴为一对相互垂直轴为一对相互垂直3.3.惯性积惯性积二二.惯性惯性积的性质积的性质当当 x 、 y 轴中有一轴为对称轴轴中有一轴为对称轴 在一对正交轴中，只要有一个对称轴，则该图形在一对正交轴中，只要有一个对称轴，则该图形对这
5、对轴的惯性积为零。对这对轴的惯性积为零。 性质性质 3 ：(1).(1). 矩形截面矩形截面三三.常用图形的惯性矩：常用图形的惯性矩：(2). 圆形截面圆形截面Odrrd由对称性由对称性(3). 环形截环形截面面 惯惯 性性 矩矩对对某一轴某一轴而言而言 极惯性矩极惯性矩对对某一点某一点而言而言特别指出：特别指出： 惯惯 性性 积积对对某一对正交轴某一对正交轴而言而言图形对图形对 x 轴的轴的惯性惯性半径半径 单位：单位： m四、四、 惯性半径惯性半径 在力学计算中，有时把在力学计算中，有时把惯性矩惯性矩写成写成即：即：图形对图形对 y 轴的轴的惯性惯性半径半径10.10.3 平行轴定理平行轴
6、定理 定理推导定理推导即：即：ab显然：显然：性质性质 4：在平面图形对所有相互平行的坐标轴的惯性矩：在平面图形对所有相互平行的坐标轴的惯性矩 中，以对形心轴的惯性矩为最小。中，以对形心轴的惯性矩为最小。同理同理惯性矩和惯性积的平行轴定理惯性矩和惯性积的平行轴定理解：解：例例 求求 和和xcCcyc157.5a1a2xC1xC210. .4 转轴公式转轴公式 主惯性矩主惯性矩一、公式推导一、公式推导规定：规定： 角逆时针转向为角逆时针转向为 + 两组坐标系之间的关系：两组坐标系之间的关系：代入代入x1y1x11y显然显然显然显然性质性质5：平面图形对通过一点的任意一对正交轴的两个：平面图形对通
7、过一点的任意一对正交轴的两个 惯性矩之和为常数，且等于图形对该点的极惯惯性矩之和为常数，且等于图形对该点的极惯 性矩。性矩。二、主惯性矩二、主惯性矩 1. .定义定义主惯性轴主惯性轴惯性积为零的一对坐标轴，简称主轴惯性积为零的一对坐标轴，简称主轴主惯性矩主惯性矩图形对主惯性轴的惯性矩图形对主惯性轴的惯性矩形心主惯性轴形心主惯性轴通过图形形心的主惯性轴通过图形形心的主惯性轴形心主惯性矩形心主惯性矩图形对形心主惯性轴的惯性矩图形对形心主惯性轴的惯性矩性质性质6：图形的对称轴是形心主惯性轴：图形的对称轴是形心主惯性轴2.确定确定主惯性轴主惯性轴的位置的位置 设设 0 0是是旧轴旧轴x 逆时针转向逆时
8、针转向主惯性主惯性轴轴x0的的角度，则角度，则由由惯性积的转轴公式及主惯性轴的定义，得惯性积的转轴公式及主惯性轴的定义，得可可改写为改写为（注：将负号置于分子上有利于确定注：将负号置于分子上有利于确定2 0 0角的象限）角的象限） 由上面由上面tan2 0的表达式求出的表达式求出cos2 0、sin2 0后，后，再代入再代入惯性矩的转轴公式惯性矩的转轴公式 ，化简后可得，化简后可得主惯性矩的主惯性矩的计算公式：计算公式：极大值Imax极小值Imin例例例例 计算所示图形的形心计算所示图形的形心计算所示图形的形心计算所示图形的形心主惯性矩主惯性矩主惯性矩主惯性矩. .解：该图形形心解：该图形形心
9、解：该图形形心解：该图形形心C C的位置已的位置已的位置已的位置已确定，如图所示确定，如图所示确定，如图所示确定，如图所示. . 过形心过形心过形心过形心C C选一对座标轴选一对座标轴选一对座标轴选一对座标轴 y y z z 轴，计算其惯性矩轴，计算其惯性矩轴，计算其惯性矩轴，计算其惯性矩( (积积积积). ).101012025C4020yz 20158035在第三象限在第三象限在第三象限在第三象限分别由分别由分别由分别由 y y轴和轴和轴和轴和z z轴绕轴绕轴绕轴绕C C点逆时针转点逆时针转点逆时针转点逆时针转 113.8113.8 得出得出得出得出. . 形心主惯性轴形心主惯性轴形心主惯
10、性轴形心主惯性轴 y y0 0 , , z z0 0101012025C4020yz 20158035101012070形心主惯形矩为形心主惯形矩为形心主惯形矩为形心主惯形矩为C4020yzy0 0=113.8z0例题例题例题例题 在矩形内挖去一与上边内切的圆，求图形的形心主矩在矩形内挖去一与上边内切的圆，求图形的形心主矩在矩形内挖去一与上边内切的圆，求图形的形心主矩在矩形内挖去一与上边内切的圆，求图形的形心主矩. .( (b b=1.5=1.5d d) )解：解：解：解：（1 1）建立坐标系如图）建立坐标系如图）建立坐标系如图）建立坐标系如图. .（2 2）求形心位置）求形心位置）求形心位置）求形心位置. .db2dyzO（3 3）建立形心坐标系，求）建立形心坐标系，求）建立形心坐标系，求）建立形心坐标系，求yCzCCdb2dyzOyCzCC便是形心主轴便是形心主轴便是形心主轴便是形心主轴便是形心主惯性矩便是形心主惯性矩便是形心主惯性矩便是形心主惯性矩所以所以所以所以
