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1、.妙用“等时圆”解物理问题妙用“等时圆”解物理问题一、什么是“等时圆”一、什么是“等时圆”20042004 年高考试题：年高考试题：如图 1 所示，ad、bd、cd 是竖直面三根固定的光滑细杆，a、b、c、d 位于同一圆周上，a 点为圆周的最高点，d 点为最低点。每根杆上都套有一个小滑环（图中未画出） ，三个滑环分别从 a、b、c 处释放（初速为0） ，用t1、t2、t3依次表示各滑环到达 d 所用的时间，则（）A.t1t2t2t3C.t3t1t2D.t1=t2=t3解析：解析：选任一杆上的环为研究对象，受力分析并建立坐标如图所示，设圆半径为 R，由牛顿第二定律得，图 1mg cos ma再由
2、几何关系，细杆长度L 2Rcos设下滑时间为t，则L 12at2可见下 4 滑时间与细杆倾角无关，所以D 正确。由此由以上三式得，t 2Rg图 2题我们可以得出一个结论。结论：结论：物体沿着位于同一竖直圆上的所有光滑弦由静止下滑，到达圆周最低点的时间相等。推论：推论：若将图 1 倒置成图 2 的形式，同样可以证明物体从最高点由静止开始沿不同的光滑细杆到圆周上各点所用的时间相等。(1)物体沿着位于同一竖直圆上的所有光滑弦由静止下滑，到达圆周最低点时间均相等，且为t2示)(2)物体沿着位于同一竖直圆上的所有过顶点的光滑弦由静止下滑，到达圆周低端时间相等为t2象这样的竖直圆我们简称为“等时圆” 。关
3、于它在解题中的应用，我们看下面的例子：Rg(如图甲所Rg(如图乙所示)一、一、等时圆模型（如图所示）等时圆模型（如图所示）二、二、等时圆规律：等时圆规律：1、小球从圆的顶端沿光滑弦轨道静止滑下，滑到弦轨道与圆的交点的时间相等。（如图 a）Word专业资料图 a图 b.2、小球从圆上的各个位置沿光滑弦轨道静止滑下，滑到圆的底端的时间相等。（如图 b）3、沿不同的弦轨道运动的时间相等，都等于小球沿竖直直径（d）自由落体的时间，即t02d4RR 2ggg（式中 R 为圆的半径。）三、等时性的证明三、等时性的证明设某一条弦与水平方向的夹角为，圆的直径为d（如右图） 。根据物体沿光滑弦作初速度为零的匀加
4、速直线运动，加速度为a gsin，位移为s dsin，所以运动时间为t02sa2dsingsin2dg即沿各条弦运动具有等时性，运动时间与弦的倾角、长短无关。规律 AB、AC、AD 是竖直面三根固定的光滑细杆，A、B、C、D 位于同一圆周上，A 点为圆周的最高点，D点为最低点.每根杆上都套着一个光滑的小滑环（图中未画出） ，三个滑环分别从 A 处由静止开始释放，到达圆周上所用的时间是相等的，与杆的长度和倾角大小都无关.推导设圆环沿细杆 AB 滑下，过 B 点作水平线构造斜面，并设斜面的倾角为，如图2 所示，连接 BD.根据牛顿第二运动定律有环的加速度 a=gsin，由几何关系有 AB=x=2R
5、sin，由运动学公式有 x=12at2，解得：环的运动时间 t=2Rg，与倾角、杆长无关， 所以环沿不同细杆下滑的时间是相等的.说明 1 如果细杆是粗糙的，环与细杆间的动摩擦因数都为，由运动学公式有2Rsin=12（gsingcos）解得t=2Rsingsingcos=2Rggcot，增大，时间 t 减小，规律不成立.二、二、 “等时圆”的应用“等时圆”的应用, ,巧用等时圆模型解题巧用等时圆模型解题对于涉及竖直面上物体运动时间的比较、计算等问题可考虑用等时圆模型求解对于涉及竖直面上物体运动时间的比较、计算等问题可考虑用等时圆模型求解1 1、 可直接观察出的“等时圆”可直接观察出的“等时圆”t
6、2，A图 3例例 1 1：如图 3，通过空间任一点 A 可作无限多个斜面，若将若干个小物体从点 A 分别沿这些倾角各不相同的光滑斜面同时滑下， 那么在同一时刻这些小物体所在位置所构成的面是 （）A.球面B.抛物面C.水平面D.无法确定解析：解析：由“等时圆”可知，同一时刻这些小物体应在同一“等时圆”上，所以 A 正确。【变式训练变式训练 1 1】如图所示，AB和CD是两条光滑斜槽，它们各自的两端分别位于半径为R和r的两个相切的竖直圆上，并且斜槽都通过切点P.设有一个重物先后沿斜槽从静止出发，从A滑到B和从C滑到D，所用的时间分别等于t1和t2，则t1和t2之比为()A21B11C.31 D12
7、例例 4 4：圆 O1和圆 O2相切于点 P，O1、O2的连线为一竖直线，如图8 所示。过点P 有两条光滑的轨道 AB、CD，两个小物体由静止开始分别沿 AB、CD 下滑，下滑时间分别为 t1、t2，Word专业资料图 8.则 t1、t2的关系是（）A.t1t2B.t1=t2C.t1 ta；ACc 做自由落体运动tc=2Rg；而 d 球滚下是一个单摆模型，摆长为 R，DM图 4td=T4=2Rg，所以 C 正确。tbtatdtc.解【析】如图所示，令圆环半径为R，则c球由C点自由下落到M点用时满足R12gt2，所以ctc2Rg；对于a球令AM与水平面成角，则a球下滑到M用1时满足AM2Rsin
8、gsint2a，即ta22Rg；同理b球从B点下滑到M点用时也满足tb2rg(r为过B、M且与水平面相切于M点的竖直圆的半径，rR)综上所述可得tbtatc.三个相同小球从三个相同小球从 a a 点沿点沿 abab、acac、adad 三条光滑轨道从静止释放，哪个小球先运动到最三条光滑轨道从静止释放，哪个小球先运动到最低点？低点？解解析析：设斜面侧边长为l，倾角为，则物体沿光滑斜面下滑时加速度为a gsin，物体的位移为x l sin。物体由斜面顶端由静止开始运动到底端，由运动学公式得l1g sint2，sin2Word专业资料.得t 2l，l、g一定，所以越大时，下滑所用时间越短2g sin
9、奇妙的等时圆2004 年全国高考理科综合第 15 题的解析与应用从一道高考题得到的一个重要结论及其应用从一道高考题得到的一个重要结论及其应用20042004 年高考试题：年高考试题：如图 1 所示，ad、bd、cd 是竖直面三根固定的光滑细杆，a、b、c、 d 位于同一圆周上， a 点为圆周的最高点， d 点为最低点。 每根杆上都套有一个小滑环 （图（）A.t1t2t2t3C.t3t1t2D.t1=t2=t3解析：解析：选任一杆上的环为研究对象，受力分析并建立坐标如图 2，由牛顿第二定律得，图 1中未画出） ，三个滑环分别从 a、b、c 处释放（初速为 0） ，用 t1、t2、t3依次表示各滑
10、环到达 d 所用的时间，则mgcos ma由几何关系，细杆长度L 2Rcos设下滑时间为t，则L 12at2可见下滑时间与细杆倾角无关，所以由以上三式得，tD 正确。 2Rg若将图 1 倒置成图 3 的形式，同样可以证明物体从最高点由静止开始沿不同的光滑细杆到圆周上各点所用的时间相等。结论：结论：物体沿着位于同一竖直圆上的所有光滑弦由静止下滑，到达圆周最低点的时间相等。物体沿着位于同一竖直圆上的过顶点的所有光滑弦由静止下滑，到达圆周低端的时间相等。我们把这两种圆叫做“等时圆”，下面举例说明“等时圆”的应用。例例 1 1：如图 4 所示，通过空间任一点 A 可作无限多个斜面，若将若干个小物体从点
11、 A 分别沿这些倾角各不相同的光滑斜面同时滑下，那么在同一时刻这些小物体所在位置所构成的面是（）A.球面B.抛物面C.水平面D.无法确定解：解：由“等时圆”可知，同一时刻这些小物体应在同一“等时圆”上，所以 A 正确。例例 2 2：两光滑斜面的高度都为h，甲、乙两斜面的总长度都为l，只是乙斜面由两部分组成，如图 5 所示，将两个相同的小球从斜面的顶端同时由静止释放，不计拐角处的能量损失，问哪一个球先到达斜面底端？解：解：构想一辅助圆如图 6 所示：在 AF 上取一点 O，使 OA=OC，以 O 点为圆心，以 OA 为半径画圆，此圆交 AD 于 E 点。由“等时圆”可知，tAC图 3图 2图 4
12、图 5 tAE，由机械能图 6Word专业资料.守恒定律可知：vC vE，vB vD，所以vBC vED。又因为两斜面的总长度相等，所以sBC sDE，根据v s得，tBC tED，所以有t甲 t乙，即乙球先到达斜面底端。t2.在离坡底 B 为 10cm 的山坡面上竖直地固定一根直杆，杆高 OA也是 10cm。杆的上端 A 到坡底 B 之间有钢绳，一穿心于钢绳上的物体（如图 11）从 A 点由静止开始沿钢绳无摩擦地滑下，求它在钢绳上滑行时间（g=10m/s2）答案：如图 12，把 AO 延长到 C，使 OC=OA=10cm，则点 O 到A、B、C 三点的距离相等。以 O 为圆心，OA 为半径作
13、圆，则 B、C 一定在该圆的圆周上，由结论可知，物体从 A 到 B 的时间与从 A 到 C 的时间相等，即tAB【例 1】倾角为 30的长斜坡上有C、O、B三点，CO=OB= 10m，在C点竖直地固定一长 10 m 的直杆AO。A端与C点间和坡底B点间各连有一光滑的钢绳，且各穿有一钢球（视为质点） ，将两球从A点由静止开始、同时分别沿两钢绳滑到钢绳末端， 如图 1 所示， 则小球在钢绳上滑行的时间tAC和tAB分别为 （取g= 10m/s2）A2s 和 2sBC图 11图 12 tAC2AC/ g 220/10 2s。ACO30图 1A2C1B2s和 2s2s和 4sD4s 和2s解析：由于C
14、O=OB =OA ，故A、B、C三点共圆，O为圆心。又因直杆AO竖直，A点是该圆的最高点， 如图 2 所示。 两球由静止释放， 且光滑无摩擦， 满足 “等时圆”条件。设钢绳AB和AC与竖直方向夹角分别为1、2，该圆半径为r，则对钢球均有O30B2rcos解得：t1gcost22D图 24rg, 钢球滑到斜坡时间t跟钢绳与竖直方向夹角无关， 且都等于由 A到 D 的自由落体运动时间。代入数值得 t=2s，选项 A 正确。2 2、运用等效、类比自建“等时圆”、运用等效、类比自建“等时圆”例例3 3：如图5所示，在同一竖直线上有 A、B两点，相距为 h，B点离地高度为 H，现在要在地面上寻找一点 P
15、，使得从 A、B两点分别向点 P安放的光滑木板，满足物体从静止开始分别由 A和B沿木板下滑到 P点的时间相等， 求O、P两点之间的距离OP。Word专业资料AhBHO图 5PA.解析解析：由“等时圆”特征可知，当 A、B 处于等时圆周上，且 P 点处于等时圆的最低点时，即能满足题设要求。如图6所示，此时等时圆的半径为：R O1P H h2所以hOP R2( )2H(H h)2AL例例 2 2：如图 2，在斜坡上有一根旗杆长为L，现有一个小环从旗杆顶部沿一根光滑钢丝 AB 滑至斜坡底部， 又知 OB=L。 求小环从 AL滑到 B 的时间。【解析】 ：可以以 O 为圆心，以 L 为半径画一个圆。根
16、据“等时圆”的规律可知，从 A 滑到 B 的时间等于从 A 点沿直径到底端 D 的时间，所以有tAB tAD例例 2 2、在一竖直墙面上固定一光滑的杆 AB，如图所示，BD 为水平地面，ABD三点在同一竖直平面，且连线 AC=BC=0.1m 一小球套在杆上自 A 端滑到 B端的时间为： （B）A 0.1sB 0.2sCOBD图 22dg4LL 2gg210D2s解析：以 C 为圆心作一个参考园。由结论知，小球自 A 到 B 运动的时间与自 A 到 B 自由落体运动的时间相等。即 AE=2R=0.2m12AE=2gtt=0.2s4、如图 4 所示，在离坡底 15m 的山坡上竖直固定一长15m 的
17、直杆AO，A 端与坡底 B 间连有一钢绳，一穿于钢绳上的小球从A 点由静止开始沿钢绳无摩擦地滑下，求其在钢绳上滑行的时间t。Word专业资料.例 5、图甲是某景点的山坡滑道图片，为了探究滑行者在滑道直线部分AE滑行的时间技术人员通过测量绘制出如图乙所示的示意图AC是滑道的竖直高度，D点是AC竖直线上的一点，且有ADDE10 m，滑道AE可视为光滑，滑行者从坡顶A点由静止开始沿滑道AE向下做直线滑动，g取 10 m/s2，则滑行者在滑道AE上滑行的时间为()A. sB2 sC. sD2 s【解析】AE两点在以D为圆心、半径为R10 m 的圆上，在AE上的滑行时间与沿AD所在的直径自由下落的时间相
18、同，t4R2 s，选 B.g1例 4、如图所示，圆弧AB是半径为R的 圆弧，在AB上放置一光滑木4板BD，一质量为m的小物体在BD板的D端由静止下滑，然后冲向水平面BC，在BC上滑行L后停下不计小物体在B点的能量损失，已知小物体与水平面BC间的动摩擦因数为.求：小物体在BD上下滑过程中重力做功的平均功率【解析】由动能定理可知小物体从D到C有WGmgL0，所以WGmgL由等时圆知识可知小物体从D到B的时间等于物体从圆周的最高点下落到B点的时间，即为t4R，所以g小物体在木板BD上下滑过程中，重力做功的平均功率为PWGmgLt2gR.例例 3 3： 如图 7， 一质点自倾角为的斜面上方的定点 O
19、沿光滑斜槽 OP 从静止开始下滑，为使质点从 O 点滑到斜面的时间最短，则斜槽与竖直方向的夹角应为多大？解：解：如图 7，作以 OP 为弦的辅助圆，使圆心 O/与 O 的连线在竖直线上，且与斜面相切于 P 点。由“等时圆”可知，唯有在O 点与切点 P 点架设的斜槽满足题设条件，质点沿其它斜槽滑至斜面的时间都大于此时间。由图可知，POA ，又OOP为等腰三角形，所以图 72。Word专业资料.例例 4 4：如图 7， AB 是一倾角为的输送带，P 处为原料输入口，为避免粉尘飞扬，在 P 与 AB 输送带间建立一管道（假使光滑） ，使原料从 P 处以最短的时间到达输送带上，则管道与竖直方向的夹角应
20、为多大？PBA图 7APOC PMB解析：解析：借助“等时圆” ，可以过 P 点的竖直线为半径作圆，要求该圆与输送带 AB 相切，如图所示，C 为切点，O 为圆心。显然，沿着 PC 弦建立管道，原料从 P 处到达 C 点处的时间与沿其他弦到达“等时圆”的圆周上所用时间相等。因而，要使原料从 P 处到达输送带上所用时间最短，需沿着 PC 建立管道。由几何关系可得：PC 与竖直方向间的夹角等于/ 2。【例 4】如图7 所示，在同一竖直平面，从定点P到固定斜面(倾角为)搭建一条光滑轨道PM，使物体从P点释放后，沿轨道下滑到斜面的时间最短，则此轨道与竖直线的夹角为多少？图 8图 7解析：先用解析法求解
21、。从定点P向斜面作垂线，垂足为D，如图 8 所示，设P到斜面距离为h，则轨道长度为PM hcos()PhDM物体沿轨道下滑的加速度a由于PM gcos图 812at2联立解得：t 2hgcoscos()令根式中分母y coscos()，利用积化和差得：Word专业资料.y 1cos cos(2)，一定，当时，分母y取得最大值，物体沿轨道下滑的时间t最小。22 2RcosPM1甲图 9乙M2再用“等时圆”作图求解。以定点P为“等时圆”最高点，作出系列半径r不同（动态的） “等时圆” ，所有轨道的末端均落在对应的“等时圆”圆周上，如图 9 中甲所示，则轨道长度均可表示为PM物体沿轨道下滑的加速度a
22、 gcos4rg，由于PM 12at，故得：t 2P12M2欲t最小，则须“等时圆”的半径r最小。显然，半径最小的“等时圆”在图中与斜面相切于M2点，如图 9 中乙所示。再根据几何关系可知：2。在这里，用了转化的思想，把求最短时间转化为求作半径最小的“等时圆” ，避免了用解析法求解的复杂计算。例例 4 4：如图 5 所示，在倾角为的传送带的正上方，有一发货口 A。为了使货物从静止开始，由 A 点沿光滑斜槽以最短的时间到达传送带，则斜槽与竖直方向的夹角应为多少？【解析】 ：如图 6 所示，首先以发货口 A 点为最高点作一个圆 O 与传送带相切，切点为B，然后过圆心O 画一条竖直线是既过发货口 A
23、，又过切点 B 的惟一的弦。根据“等时圆”的规律，货物沿 AB 弦到达传送带的时间最短。因此，斜槽应沿 AB 方向安装。 AB 所对的圆周角为圆心角的一半， 而圆心角又等于，图 5AB/，而连接A、B 的直线，就PH所以12L。图 10如图 3 所示，在一个坡面与水平面成=40角的山坡 AB 的脚下 A 处有一个高塔，为防止意外，需要在塔顶O 与山坡之间搭一个滑道，以便塔上的人能尽快沿滑道滑到山坡上.假设滑道光滑，试求滑道与山坡坡面 AB 的夹角多大？解析 如图 4 所示，过O 点作一条水平线与山坡交于 B 点，过B 点作ABO 的角平分线，交过O 点作的竖直线于点 C，以点 C 为圆心、OC
24、 为半径作圆与山坡相切于点 D，连接 OD、CD.根据上述结论可知：人从 O 点出发沿滑道到达圆上的时间是相等的，沿滑道 O 已到达山坡，沿其他滑道还要再走一段距离才能到达山坡，所以人沿滑道 OD 到达山坡所用时间最短，此时夹角=90=70.另解 如图 5 所示，过点 O 作山坡的垂线 OD，设其长度为 x.过点 O 画直线OE，作为滑道，设其与竖直方向的夹角为.由几何知识可知滑道的长度 OE=xcos（） ，由牛顿第二运动定律得人运动的加速度为a=gsin（90） ，由运动学Word专业资料图 6.公式有xcos（）=12gcost2，解得t=2xgcoscos（） ，其中coscos（）=
25、12cos+cos（2），所以当 2=40时，时间取得最小值，此时夹角三、“形似质异”问题的区分三、“形似质异”问题的区分如图 1 所示，ad、bd、cd 是竖直面三根固定的光滑细杆，a、b、c、d 位于同一圆周上，a 点为圆周的最高点，d 点为最低点。每根杆上都套有一个小滑环（图中未画出） ，三个滑环分别从 a、b、c 处释放（初速为 0） ，用 t1、t2、t3依次表示各滑环到达 d 所用的时间，则（）A.t1t2t2t3C.t3t1t2D.t1=t2=t3解析：解析：选任一杆上的环为研究对象，受力分析并建立坐标如图所示，设圆半径为 R，由牛顿第二定律得，=90=70.yxmg图 1mg
26、cos ma再由几何关系，细杆长度L 2Rcos12设下滑时间为t，则L at2由以上三式得，t 2Rg可见下 4 滑时间与细杆倾角无关， 所以 D 正确。由此题我们可以得出一个结论。结论：结论：物体沿着位于同一竖直圆上的所有光滑弦由静止下滑，到达圆周最低点的时间相等。推论：推论：若将图 1 倒置成图 2 的形式，同样可以证明物体从最高点由静止开始沿不同的光滑细杆到圆周上各点所用的时间相等。象这样的竖直圆我们简称为“等时圆” 。关于它在解题中的应用，我们看下面的例子：【例 1】 还是如图 1 的圆周，如果各条轨道不光滑， 它们的摩擦因数均为，小滑环分别从 a、 b、c 处释放 （初速为 0）到
27、达圆环底部的时间还等不等？解解 析析 ： bd的 长 为2Rcos ， bd面 上 物 体 下 滑 的 加 速 度 为a=gcos - gsin ，tbd=【例 2】如图 3 所示，Oa、Ob、Oc 是竖直平面三根固定的光滑细杆，O、图 24Rcosgcosgsin=2Rg g tan。可见 t 与有关。ddOfaabg图 4ebcc图 3Oa、b、c四点位于同一圆周上，d点为圆周的最高点，c为最低点，每根杆上套着一个小滑环（图中未画出），三个滑环都从图中O点无初速释放，用t1、t2、t3、依次表示滑到a、b、c所用的时间，则At1Ct1 t2 t3Bt1 t2 t3 t2 t3D.t3 t1
28、 t2Word专业资料.解析：如果不假思索，套用结论，就会落入“陷阱”，错选A。必须注意，“等时圆”的适用条件是：光滑斜面上初速为零的匀加速直线运动，且运动起点（或终点）应在“等时圆”的最高（或最低）点。题图中O不是最高点，题设圆不是“等时圆”。现以O点为最高点，取合适的竖直直径Oe，作“等时圆”交Ob于b，如图 4 所示，显然，O到f、b、g、e才是等时的，比较图示位移OaOf，OcOg，故可推知t1 t2 t3，正确的选项是 B。0【例 3】如图 5 所示，在竖直面有一圆，圆OD为水平线，圆周上有三根互成30的光滑杆OA、OB、OC，每根杆上套着一个小球（图中未画出）。现让一个小球分别沿三
29、根杆顶端无初速下滑到O,所用的时间分别为tA、tB、tC，则（）AA300300OBCDtA tB tCBtA tB tCCtA tB tCD无法确定解析：题设图中O点不在圆的最低点，故不是“等时圆” 。延长OA，过B作300图 5B/BC/BO，则O、B、B/在同一圆周上，B/处自由下落到O的时间和小球沿光滑杆由B无初速滑到O的时间相同。同理，过C作C/CCO，则O、C、C/在同一圆周上，C/处自由B/下落到O的时间和小球沿光滑杆由C无初速滑到O的时间相同。C/、B/、A自由下落到O的时间依次递减，故选项 B 正确。3 延伸如图 6 所示，AB、AC、AD 是竖直面三根固定的光滑细杆，A、B
30、、C、D 位于同一圆周上，O 点为圆周的圆心，A 点不是圆的最高点.每根杆上都套着一个光滑小滑环（图A300300O图 6BC300D中未画出） ，三个滑环分别从 A 处从静止开始释放，用 t1、t2、t3 依次表示滑环到达 B、C、D 所用的时间，则三个时间的关系是什么？解析 A 不在圆的最高点，前面的结论直接用是不行的.可以采用如下的方法解决.如图 7 所示，过点 A 作竖直线交 AB 的垂直平分线于点 O1，以 O1 为圆心、O1A 为半径画圆交 AB 于 B、分别交 AC、AD 的延长线于 C1、D1.在圆 ABC1D1 中用前面的结论可知 ，所以 t1t2.不可以根据 CC1另解 假
31、设圆的半径为 R，建立如图 8所示的直角坐标系.连接 AO 并假设其与 x 轴的夹角为，则A 点的坐标为（Rcos，Rsin）.设直线 AB 与 x 轴的夹角为，则直线 AB 的斜率为 k=tan，直线 AB 的方程为ysin=tan（xcos） ，整理变形有xtany+sintancos=0，由数学知识可知，坐标原点到直线 AB 的距离为OE=|sintancos|1+tan2，由几何知识解得BE2=R2（1sin2+tan2cos22sincostan1+tan2） ，整理得BE=（coscos+sinsin）R，由牛顿第二运动定律有环的加速度a=gsin，由运动学公式有2BE=12gsi
32、nt2，解得小环运动时间为t=4R（coscos+sinsin）gsin=4Rg（coscot+sin） ，所以增大，时间减小，t1t2t3.当式中=90时，t=2Rg，与倾角、杆长无关，就是前面推导的等时圆规律.说明 2 如果细杆是粗糙的，环与细杆间的动摩擦因数都为.环处于加速下滑的条件是2BE=12（gsinWord专业资料.gcos）t2，解得环运动时间t=4R（coscos+sinsin）gsingcos，变形为t=4Rg（costan+sin1tan） ，由此式可知：增大，时间 t 减小，即t1t2t3.当式中=90或=90、=0 时，时间 t=2Rg.可见等时圆规律适用的条件是：细
33、杆光滑、A 点为圆周的最高点或最低点.四、比较应用等时圆模型解典型例题四、比较应用等时圆模型解典型例题如图 9，底边为定长b的直角斜面中，球从光滑直角斜面顶端由静止滑到底端，至少需要多少时间？答案：用作图求解。如图 10，以b为半径、O 为圆心作一个圆，作出圆的一条竖直切线MN，于圆切于 D 点。A 点为所作圆的最低点。由图可看出：从 MN 上不同的点由静止滑到 A点，以 DA 时间为最短。 （由“等时圆”可知，图中 E/、D、C/各点到达 A 的时间相等。 ）所以小球从底边 b 为定长的光滑直角斜面上滑下时以 45的时间为最少， 而且此时间与球从 P 点自由下落到圆最低点的时间相等。所以tm
34、in图 9图 104bg。2. 有三个光滑斜轨道 1、2、3，它们的倾角依次是 600，450和 300，这些轨道交于 O 点现有位于同一竖直线上的 3 个小物体甲、乙、丙，分别沿这 3 个轨道同时从静止自由下滑，如图，物体滑到 O 点的先后顺序是BA.甲最先，乙稍后，丙最后B.乙最先，然后甲和丙同时到达C.甲、乙、丙同时到达D.乙最先，甲稍后，丙最后解析解析：设斜面底边长为l，倾角为，则物体沿光滑斜面下滑时加速度为a gsin，物体的位移为x l cos。物体由斜面顶端由静止开始运动到底端，由运动学公式得得t 2、如图 9，圆柱体的仓库有三块长度不同的滑板 aO、bO、cO，其下端都固定于底
35、部圆心 O，而上端则搁在仓库侧壁，三块滑块与水平面的夹角依次为 300、450、600。若有三个小孩同时从 a、b、c 处开始下滑（忽略阻力） ，则（）A、a 处小孩最先到 O 点B、b 处小孩最先到 O 点C、c 处小孩最先到 O 点D、a、c 处小孩同时到 O 点解析：解析：三块滑块虽然都从同一圆柱面上下滑，但a、b、c 三点不可能在同一竖直Word专业资料l1g sint2，cos22lgsincos4l，l、g一定，所以当gsin2 45时，tm in4lgcbaO.圆周上，所以下滑时间不一定相等。设圆柱底面半径为R，则t 最小，当=300和 600时，sin2的值相等。Rcos=4R
36、1gsint2，t2=gsin22，当=450时，例例 3 3：如图 3，在设计三角形的屋顶时，为了使雨水能尽快地从屋顶流下，并认为雨水是从静止开始由屋顶无摩擦地流动。试分析和解：在屋顶宽度（ 2l）一定的条件下，屋顶的倾角应该多大？雨水流下的最短时间是多少？【解析解析】 ：方法一：方法一：如图所示，设斜面底边长为l，倾角为，则雨滴沿光面下淌时加速度为a滑 斜 gsin，雨滴的位移为x l cos。雨滴由斜面顶端由静止开始运动到底端，由运动学公式得得t tm inl1g sint2，cos24l，l、g一定，所以当gsin22lgsincos4lg 45时，图 3方法二（等时圆）方法二（等时圆
37、） ：如图 4 所示，通过屋顶作垂线AC与水平线BD相垂直；并以L为半径、O为圆心画一个圆与AC、BC相切。然后，画倾角不同的屋顶A1B、A2B、A3B从图 4 可以看出： 在不同倾角的屋顶中， 只有根据“等时圆”规律，雨水沿A2B是圆的弦， 而其余均为圆的割线。图 4A2B运动的时间最短，且最短时间为tmin2dg2 2LL 2gg而屋顶的倾角则为tanL1 450L【例 6】在竖直平面，固定一个半径为R的大圆环，其圆心为O，在圆与圆心O同一水平面上的P点搭一光滑斜轨道PM到大环上，如图 13 所示，OP=dR。欲使物体从P点释放后，沿轨道滑到大环的时间最短，求M点位置（用OM与水平面的夹角
38、的三角函数表达） 。解析：若用解析法求解，轨道长度由余弦定理求得PM d2 R22dRcos设轨道PM与水平面夹角为，则物体沿轨道下滑的加速度a gsinMWord专业资料Pd O.由正弦定理得：dRsin()sin()又PM 12at2联立以上四个方程，有、PM、a和t五个变量，可以建立起下滑时间t与OM倾角之间的函数关系，再利用数学工具求极值，但计算相当复杂。如果改用“等时圆”作图求解，以定点P为最高点，可作出系列半径r不同（动态的） “等时圆” ， 所有轨道的末端均落在对应的“等时圆”圆周上。其中，刚好与大环切的“等时圆”半径最小，如图 14 所示，该“等时圆”的圆心O/满足OMPd O
39、rO/M图 14 OP，且在OM连线上。该圆就是由P到定圆的半径最小的“等时R2 d2r d Rr，得r 2R22圆” ，物体沿轨道由P滑到M点的时间也最短。几何关系有rR2 d2则OM与水平面的夹角满足tand2dRR2 d2或 arctan2dR。【例 5】如图10 所示，在同一竖直平面，地面上高H的定点P，到半径为R的定圆的水平距离为L，从P搭建一条光滑轨道到定圆的圆周上。现使物体从P点释放后，沿轨道下滑到定圆的时间最短，该轨道与竖直方向夹角应多大？H和L满足题设要求。解析：先用解析法求解。如图 11 所示，延长PM与定圆相交于N，过N作水平线与PD相交于K，则物体沿光滑轨道下滑的加速度
40、为gsin，即a g PKPN，TM又1PM at2，2PMKHNQ所以t22PM2PM PNag PK PN PT22D图 11=常数，由圆的切割线定理得：PM22PT2PT2所以t，式中gg PK为常数，PK为变量。当M点的选择不同MP/时，PK的值也不同，当PK=H时，其值最大，此时t最小。也就是轨道O、OHQPM/延长线PQ与定圆相交于和地面的接触点Q，物体沿轨道下滑的时间最短，Word专业资料L图 12D.轨道PM/与竖直线的夹角满足tanQDLPDH或 arctanLH.再用“等时圆”作图求解。以定点P为“等时圆”最高点，作出系列半径r不同（动态的） “等时圆” ， 所有轨道的末端
41、均落在对应的“等时圆”圆周上。其中，刚好与定圆O外切于M的“等时圆”半径最小，如图 12 所示，由P沿轨道下滑到M点的时间也最短。图中PD和OQ都垂直于地面，由几何关系可知，轨道PM的延长线必与定圆O的交于Q，求得PM与竖直线的夹角满足tanQDLPDH或 arctanLH。例 2两光滑斜面的高度都为h，OC、OD 两斜面的总长度都为l，只是 OD 斜面由两部分组成，如图 3 所示，将甲、乙两个相同的小球从斜面的顶端同时由静止释放，不计拐角处的能量损失，问哪一个球先到达斜面底端？Ov甲乙VC CO甲乙AB图 3DC图 4t乙乙t甲甲t图 5DC解析（解法 1）本题往往采用 v-t 图象求解，作
42、出物体分别沿 OC、OD 斜面运动的 v-t 图象（如图所示 4） ，由图象可得乙球先到达斜面底端。（解法 2）构建如图 5 所示的等时圆，交 OC 于 A 点，交 OD 于 B 点。由“等时圆”可知，tOA械能守恒定律可知：vB根据v t0B。由机 vA，vC vD，所以vBD vAC。又因为两斜面的总长度相等，所以sBD sAC，s得，tBD tAC，所以有t甲 t乙，即乙球先到达斜面底端。t例例 2 2：两光滑斜面的高度都为h，甲、乙两斜面的总长度都为l，只是乙斜面由两部分组成， 如图 5 所示， 将两个相同的小球从斜面的顶端同时由静止释放， 不计拐角处的能量损失，问哪一个球先到达斜面底端？解：解：构想一辅助圆如图 6 所示：在 AF 上取一点 O，使 OA=OC，以 O 点为圆心，以OA 为半径画圆，此圆交 AD 于 E 点。由“等时圆”可知，tAC定律可知：vC以sBC端。Word专业资料图 5 tAE，由机械能守恒 vE，vB vD，所以vBC vED。又因为两斜面的总长度相等，所 sDE，根据v s得，tBC tED，所以有t甲 t乙，即乙球先到达斜面底t图 6.Word 专业资料
