动态电路的向量分析法精品

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1、第三篇第三篇动态电路的相量分析法动态电路的相量分析法和和s域分析法域分析法 “你能记住任何一则新信息，如果它与你已知或已经记住你能记住任何一则新信息，如果它与你已知或已经记住的有联系。的有联系。” 珍妮特珍妮特. .沃斯等沃斯等学习的革命学习的革命第第146146页页 上海三联书店（上海三联书店（19981998年译本）年译本）第八章阻抗和导纳第三篇转入动态电路的变换（域）分析，这类方法题第三篇转入动态电路的变换（域）分析，这类方法题材广泛，内容丰富。本书只涉及其中的相量分析法和复频材广泛，内容丰富。本书只涉及其中的相量分析法和复频域（域（s）分析法、在）分析法、在“信号与系统信号与系统”和其

2、他有关课程中将会和其他有关课程中将会学到更多的变换方法。学到更多的变换方法。引入引入“变换变换”思路，并体会到它带来的巨大好处是本思路，并体会到它带来的巨大好处是本篇的主旨。从第八章至第十一章为正弦稳态的相量分析法。篇的主旨。从第八章至第十一章为正弦稳态的相量分析法。在第六章中，我们曾求解过简单电路的正弦稳态问题，当在第六章中，我们曾求解过简单电路的正弦稳态问题，当时是用待定系数法求解电路微分方程的特解得出答案的，时是用待定系数法求解电路微分方程的特解得出答案的，即便电路很简单，也感到很麻烦。当我们把时间即便电路很简单，也感到很麻烦。当我们把时间t的正弦函的正弦函数变换为相应的复数（相量）后，

3、解微分方程特解的问题数变换为相应的复数（相量）后，解微分方程特解的问题就可以简化为解代数方程的问题，且可进一步设法运用电就可以简化为解代数方程的问题，且可进一步设法运用电阻电路的分析方法来处理正弦稳态分析问题，这就需要引阻电路的分析方法来处理正弦稳态分析问题，这就需要引入阻抗和导纳这两个相量分析中的重要参数，本章将说明入阻抗和导纳这两个相量分析中的重要参数，本章将说明这些问题。这些问题。教学内容教学内容 8-1 变换方法的概念变换方法的概念 8-2 复数复数 8-3 振幅相量振幅相量 8-4 相量的线性性质和基尔霍夫定律的相量形式相量的线性性质和基尔霍夫定律的相量形式 8-5 三种基本电路元件

4、三种基本电路元件VCR的相量形式的相量形式 8-6 VCR相量形式的统一相量形式的统一阻抗和导纳的引入阻抗和导纳的引入 8-7 正弦稳态电路与电阻电路分析方法的类比正弦稳态电路与电阻电路分析方法的类比 相量模型的引入相量模型的引入 8-8 正弦稳态混联电路的分析正弦稳态混联电路的分析 8-9 相量模型的网孔分析和节点分析相量模型的网孔分析和节点分析 8-10 相量模型的等效相量模型的等效 8-11 有效值有效值 有效值相量有效值相量 8-12 两类两类特殊问题特殊问题 相量图法相量图法本章基本内容本章基本内容1、正弦量、相量和有效值的基本概念、正弦量、相量和有效值的基本概念2、电路定律的相量形

5、式、电路定律的相量形式3、阻抗和导纳的概念、阻抗和导纳的概念4、正弦稳态电路的计算、正弦稳态电路的计算教学目的教学目的1 1、深刻理解深刻理解正弦量、相量和有效值的概念正弦量、相量和有效值的概念；2 2、熟练掌握熟练掌握R，L，C元件伏安关系的相量形式元件伏安关系的相量形式；3 3、深刻理解深刻理解阻抗与导纳的概念和性质阻抗与导纳的概念和性质; ;4 4、熟练掌握熟练掌握正弦稳态电路的计算方法；正弦稳态电路的计算方法；5 5、会会借助相量图计算正弦稳态电路的响应。借助相量图计算正弦稳态电路的响应。881 1 变换方法的概念变换方法的概念变换方法变换方法的基本思路如图的基本思路如图8-1所示，均

6、可分为三个步骤：所示，均可分为三个步骤：原来的原来的问题问题变换域中较变换域中较易的问题易的问题变换变换原来问题原来问题的解答的解答变换域中问变换域中问题的解答题的解答反反变换变换求解求解直接求解直接求解图图8-1 8-1 变换方法的思路变换方法的思路1.把原来的问题把原来的问题变换变换为一个较容易处理的问题。为一个较容易处理的问题。2.在变换域中求解问题。在变换域中求解问题。3.把变换域中求得的解答把变换域中求得的解答反变换反变换为原来问题的解答。为原来问题的解答。原来运用变换思路来求解问题的例子。例如，求解满足方程式原来运用变换思路来求解问题的例子。例如，求解满足方程式的的实数实数x问题。

7、直接求解是很困难的，如果对（问题。直接求解是很困难的，如果对（8-18-1）式的两端）式的两端取对数后再做，求解就很容易。取对数后，得取对数后再做，求解就很容易。取对数后，得因此因此解得解得借助对数表就能顺利地进行解算。借助对数表就能顺利地进行解算。 上述计算过程大家并不陌生。实际上，它就是一种变换方上述计算过程大家并不陌生。实际上，它就是一种变换方法，对照图法，对照图8-18-1，这一计算过程可表如图，这一计算过程可表如图8-28-2所示。所示。x2.35=5（8-28-2）式）式取对数取对数（变换）（变换）x=1.983（8-38-3）式）式求反对数（反求反对数（反变换）变换）求解求解？

8、（8-28-2）式可看作是（）式可看作是（8-18-1）式的变换，变换不仅改变了）式的变换，变换不仅改变了数值（数值（lg5lg5当然与当然与5 5不同）还改变了数值间的运算方式。（不同）还改变了数值间的运算方式。（8-8-1 1）式左端的指数运算变换成（）式左端的指数运算变换成（8-28-2）式左端的乘法运算。求）式左端的乘法运算。求解（解（8-28-2）式并不困难，其结果如（）式并不困难，其结果如（8-38-3）式所示。但这一结）式所示。但这一结果还是果还是“变换域中的解答变换域中的解答”，并非就是我们所要的结果。为，并非就是我们所要的结果。为得到这一结果，还需进行反变换，即对（得到这一结

9、果，还需进行反变换，即对（8-38-3）式两端取反对）式两端取反对数，最后得出解答。数，最后得出解答。 从上例可注意到，我们所说的从上例可注意到，我们所说的变换，实际上是一个函数变换，实际上是一个函数y=lgx，它是一种对每一正实数它是一种对每一正实数x和另一实数和另一实数y之间指定的运算之间指定的运算规则。规则。它们应具有一一对应的性质。它们应具有一一对应的性质。882 2 复复 数数一、复数的概念一、复数的概念其中其中 ，为虚数单位，为虚数单位，j2-1。1 1、直角坐标形式、直角坐标形式 设设A为一复数，为一复数，a1及及a2分别为其实部及虚部，则分别为其实部及虚部，则实部：实部：虚部：

10、虚部：注意：虚部是指注意：虚部是指a2，而不是指而不是指ja2。2 2、极坐标形式、极坐标形式 又根据欧拉恒等式又根据欧拉恒等式（8-68-6）式可进一步写作）式可进一步写作（8-78-7）式可简写作）式可简写作可读可读为为“a在一角度在一角度”。 复数复数A在复平面上可以用有向线段来表在复平面上可以用有向线段来表示。在原点示。在原点O与点与点A之间连一直线。把这直线之间连一直线。把这直线的长度记作的长度记作a，称为称为复数复数A的模的模，模总是取正，模总是取正值。在这直线值。在这直线A端加上箭头，把它和实轴正端加上箭头，把它和实轴正方向的夹角记作方向的夹角记作，称为称为复数复数A的辐角的辐角

11、。这。这样，复数样，复数A在复平面上就可以用有向线段来在复平面上就可以用有向线段来表示，也就是说用模表示，也就是说用模a和辐角和辐角来表示。根来表示。根据这一表示方式，可以得到复数的另一形式：据这一表示方式，可以得到复数的另一形式：二、复数的四则运算二、复数的四则运算若若则则因此，复数的加、减运算必须用直角坐标形式进行。因此，复数的加、减运算必须用直角坐标形式进行。1 1、相等：若两复数的、相等：若两复数的实部和虚部分别相等实部和虚部分别相等或或模和辐角分别相等模和辐角分别相等，则这两复数相等。则这两复数相等。 例如：若例如：若a1ReA、 b1ReB， a2ImA、 b2ImB，且且 a1

12、b1 ，a2 b2 则则 AB2、加减运算：几个复数的相加或相减就是把它们的加减运算：几个复数的相加或相减就是把它们的实部和虚部实部和虚部 分别相加或相减分别相加或相减。例如。例如: 复数的加减运算也可以在复平面上用图形来表示（几何意复数的加减运算也可以在复平面上用图形来表示（几何意义）。求两复数之和的运算在复平面上是符合平行四边形求和义）。求两复数之和的运算在复平面上是符合平行四边形求和法则的。这是表明复数之和的一种很方便的方法，以后经常用法则的。这是表明复数之和的一种很方便的方法，以后经常用到。到。3 3、乘法运算：复数相乘时，、乘法运算：复数相乘时，其模相乘其模相乘，其辐角相加其辐角相加

13、。4 4、除法运算：复数相除时，、除法运算：复数相除时，其模相除其模相除，其辐角相减其辐角相减。 注意：注意：一般来说，复数的乘、除运算用极坐标形式进行一般来说，复数的乘、除运算用极坐标形式进行较为简便，但在作理论分析、公式推导时往往需要用直角坐较为简便，但在作理论分析、公式推导时往往需要用直角坐标形式来进行乘除运算。标形式来进行乘除运算。或或或或作业：作业：P54P548-1,8-28-1,8-283 振幅相量振幅相量一、正弦函数信号的三特征一、正弦函数信号的三特征 从从RC电路的正弦响应的求解可知，求微分方程比较麻烦，电路的正弦响应的求解可知，求微分方程比较麻烦， 特别是常数特别是常数Um

14、 和和的确定。而且电路越复杂，求解越麻烦。的确定。而且电路越复杂，求解越麻烦。 时间时间t的正弦函数，以正弦电压为例，可表为的正弦函数，以正弦电压为例，可表为正弦激励下电路的稳定状态称为正弦稳态。正弦激励下电路的稳定状态称为正弦稳态。由于在正弦稳由于在正弦稳态电路中，各个电压、电流响应与激励均为态电路中，各个电压、电流响应与激励均为同频率同频率的正弦波，的正弦波，正弦波的三特征降为两个特征，从而利用欧拉恒等式，可把给正弦波的三特征降为两个特征，从而利用欧拉恒等式，可把给定定的正弦函数变换为复平面上的相量。的正弦函数变换为复平面上的相量。相量分析法实质上是相量分析法实质上是一种专用以分析正弦稳态

15、电路的变换方法。一种专用以分析正弦稳态电路的变换方法。二、正弦函数在复平面上的表示二、正弦函数在复平面上的表示相量法相量法欧拉欧拉恒等式为恒等式为式中式中为一为一实数（单位为孤度），可以把这一公式推广实数（单位为孤度），可以把这一公式推广到到为为t的实函数的情况，如的实函数的情况，如t，其中其中为常量，单位为为常量，单位为rad/s。这样便得到这样便得到这一式子把一个实变数的复指数函数和两个实变数这一式子把一个实变数的复指数函数和两个实变数t的正的正弦函数相联系，这样就可以把时间弦函数相联系，这样就可以把时间t的正弦函数变换为复数。的正弦函数变换为复数。由上式可得：由上式可得：设设正弦电压为正

16、弦电压为就就可以把它写作可以把它写作其中其中是是一个与时间无关的复值常数，其模为该正弦电压的振幅，辐一个与时间无关的复值常数，其模为该正弦电压的振幅，辐角为该正弦电压的初相。角为该正弦电压的初相。这一复值常数称为电压振幅相量这一复值常数称为电压振幅相量，同，同样也有电流振幅相量样也有电流振幅相量 。为了简便，在不致引起。为了简便，在不致引起误解时，常称为误解时，常称为相量相量。相量只是一个复数相量只是一个复数，但它具有特殊的意，但它具有特殊的意义，它是代表一个正弦波的，为了与一般的复数有所区别，在义，它是代表一个正弦波的，为了与一般的复数有所区别，在这相量的字母上端需加一点。这相量的字母上端需

17、加一点。变换简单易行。例如，已知变换简单易行。例如，已知则由（则由（8 81111）式可得该电压的相量为）式可得该电压的相量为相反，如已知相反，如已知相量是正弦波的变换式，并非正弦波本身，这就好比和相量是正弦波的变换式，并非正弦波本身，这就好比和lg5lg5间间不能划等号是一样的。以电压为例，相量及其所对应的正弦不能划等号是一样的。以电压为例，相量及其所对应的正弦波之间的完整关系由（波之间的完整关系由（8 81010）式表明。这一关系可用双箭）式表明。这一关系可用双箭头符号表示。也就是说，若头符号表示。也就是说，若则则时间时间t的正弦函数属时域，相量属复数域，给定频率的正的正弦函数属时域，相量

18、属复数域，给定频率的正弦时间函数和复数（相量）之间有着一一的对应关系，也可弦时间函数和复数（相量）之间有着一一的对应关系，也可用图用图8 86 6表明。表明。频率为频率为的正弦函的正弦函数集合数集合相量的相量的集合集合变换变换反变换反变换图图8 86 6时域与相量域的映射时域与相量域的映射注意：注意：(1)(1)相量是一个表示时域正弦函数到复数域相量是一个表示时域正弦函数到复数域变换的的变换的的特殊复数特殊复数, ,二者具有一一对应关系，二者具有一一对应关系， 但两者间不能画等号。但两者间不能画等号。(2)(2)电压电压( (流流) )相量是一个不随时间变化的相量是一个不随时间变化的复复常数常

19、数, ,其模为正弦电压其模为正弦电压( (流流) )的振幅的振幅Um(Im), ,相角为正弦电压相角为正弦电压( (流流) )的初相角的初相角。(3)(3)作为一个复数，相量在复平面上可用有作为一个复数，相量在复平面上可用有向线段表示，如图向线段表示，如图8 88 8所示。相量在复平所示。相量在复平面上的图示称为面上的图示称为相量图相量图。利用相量图可以。利用相量图可以进行相量加减运算或比较相量间的相位关进行相量加减运算或比较相量间的相位关系。系。故得故得代表代表i3的相量为的相量为这三个电流的相量图如图这三个电流的相量图如图8-98-9所示。所示。作业作业:P558-3884 4 相量的线性

20、性质和基尔霍夫定律相量的线性性质和基尔霍夫定律的相量形式的相量形式第二步在变换域中把以上两相量相加，得第二步在变换域中把以上两相量相加，得上述的例子反映了相量的一个重要性质，即上述的例子反映了相量的一个重要性质，即一一. .线性性质线性性质 表示若干个同频率正弦量（可带有实系数）表示若干个同频率正弦量（可带有实系数）线性组合的相量等于表示各个正弦量的相量的同一线性组合。线性组合的相量等于表示各个正弦量的相量的同一线性组合。由线性性质可得基尔霍夫定律的相量形式。由线性性质可得基尔霍夫定律的相量形式。 由由KCL可知可知：在任一时刻，流出电路节点的电流的代数和：在任一时刻，流出电路节点的电流的代数

21、和为零。设线性时不变电路在单一频率为零。设线性时不变电路在单一频率的的正弦激励下正弦激励下(正弦电源正弦电源可以有多个，但可以有多个，但频率必须相同频率必须相同）进入稳态时，各处的电压、电）进入稳态时，各处的电压、电流都将为同频率的正弦波。因此，在所有时刻，对任一节点流都将为同频率的正弦波。因此，在所有时刻，对任一节点KCL可表示为可表示为由由线性性质线性性质得得其中其中:为为流出该节点的第流出该节点的第k条支路正弦电流条支路正弦电流ik的振幅相量，的振幅相量，K为该节为该节点处的支路数。点处的支路数。二二. .基尔霍夫定律的相量形式基尔霍夫定律的相量形式同理：在正弦稳态电路中，沿任一回路，同

22、理：在正弦稳态电路中，沿任一回路，KVL可表示为：可表示为：结论：结论：在正弦稳态电路中，基尔霍夫定律可直接用电流振幅相在正弦稳态电路中，基尔霍夫定律可直接用电流振幅相量和电压振幅相量写出。量和电压振幅相量写出。解解:由已知由已知:其中其中:作业作业:P55 8-78-5 三种基本电路元件三种基本电路元件VCR的相量形式的相量形式 在关联参考方向下，线性时不变电阻、电容及电感元件在关联参考方向下，线性时不变电阻、电容及电感元件的的VCR分别为分别为 在正弦稳态电路中，这些元件的电压、电流都是同频率在正弦稳态电路中，这些元件的电压、电流都是同频率的正弦波。为适应使用相量进行正弦稳态分析的需要，下

23、面的正弦波。为适应使用相量进行正弦稳态分析的需要，下面将导出这三种基本元件将导出这三种基本元件VCR的相量形式。的相量形式。 设要研究的元件接在一正弦稳态电路中，元件两端的电设要研究的元件接在一正弦稳态电路中，元件两端的电压和流过的电流为关联参考方向，可表示为：压和流过的电流为关联参考方向，可表示为：其中其中我们的任务是求出相量我们的任务是求出相量 与与 的关系。的关系。一、电阻元件一、电阻元件VCR的相量形式的相量形式由由图图(a)所示电路，据欧姆所示电路，据欧姆定律定律 u=Ri 得得 由于由于R是常数，这一式子表明是常数，这一式子表明电阻两端的正弦电压和流过的正电阻两端的正弦电压和流过的

24、正弦电流同步变化，即是弦电流同步变化，即是同相同相的。的。上式和图上式和图 (c)表明的都是电压的表明的都是电压的时间函数与电流的时间函数之间时间函数与电流的时间函数之间的关系，称为的关系，称为时域式时域式。据据线性性质线性性质因此：因此：这这就是我们要求的就是我们要求的电阻元件电阻元件VCR的相量形式。的相量形式。它既能表明它既能表明电压、电流振幅之间的关系，又能表明电压、电流相位之间电压、电流振幅之间的关系，又能表明电压、电流相位之间的关系。的关系。包含两方面内容包含两方面内容电压和电流振幅符合欧姆定律电压和电流振幅符合欧姆定律电压和电流是同相的电压和电流是同相的对对纯纯电阻电路可以不必用

25、相量法。电阻电阻电路可以不必用相量法。电阻VCR的相量关系式主的相量关系式主要用于一般正弦稳态电路（含要用于一般正弦稳态电路（含R、L、C等各种元件）的分析。等各种元件）的分析。二、电容元件二、电容元件VCR的相量形式的相量形式由由(8-28)电压与电流振幅之间的关系为电压与电流振幅之间的关系为:(8-26)(8-26)电压与电流的相位关系为电压与电流的相位关系为:(8-27)(8-27) 表明表明电压、电流振幅的关系不仅与电压、电流振幅的关系不仅与C有关而且还与角频率有关而且还与角频率 有关有关，而电阻元件的这一关系是与，而电阻元件的这一关系是与无关的。当无关的。当C值值一定一定时，对一定的

26、时，对一定的Um来说，来说， 越高则越高则Im越大，即电流越容易通过；越大，即电流越容易通过；越低则越低则Im越越小，即电流越难通过。当小，即电流越难通过。当0 0（相当于直流激相当于直流激励）时，励）时，Im0 0，电容相当于开路，这正是直流稳态时电容应电容相当于开路，这正是直流稳态时电容应有的表现。有的表现。电流超前电压的角度为电流超前电压的角度为9090。 电容电压、电流的时间函电容电压、电流的时间函数表示式。若数表示式。若则则三、电感元件三、电感元件VCR的相量形式的相量形式对电感元件来说，考虑到它的对电感元件来说，考虑到它的VCR与电容的与电容的VCR存在对偶存在对偶关系，因此，由电

27、容关系，因此，由电容VCR相量形式可得到电感相量形式可得到电感VCR的相量形式。的相量形式。(8-31)(8-31)表明表明电压、电流振幅的关系不仅与电压、电流振幅的关系不仅与L有关而且还与角频率有关而且还与角频率 有有关关。当。当L值一定时，对一定的值一定时，对一定的Im来说，来说， 越高，则越高，则Um越大；越大；越低，则越低，则Um越越小。当小。当0 0（相当于直流激励）时，相当于直流激励）时，Um0 0，电感相当于短路。电感相当于短路。电流滞后电压的角度为电流滞后电压的角度为9090。因此对电感来说：若因此对电感来说：若则则等效于等效于: :(8-32)(8-32)作业作业:P56 8

28、-98-6 VCR相量形式的统一相量形式的统一 阻抗和导纳的引入阻抗和导纳的引入 上节讨论了三种基本元件上节讨论了三种基本元件VCR的相量形式，在关联的相量形式，在关联参考方向的前提下，它们是参考方向的前提下，它们是定义定义11元件的阻抗元件的阻抗定义定义2-元件的导纳元件的导纳(8-39)或或(8-40)(8 - 44)定义定义3L和和C的电抗的电抗:定义定义Z=jX, X为电抗为电抗, 定义定义4L和和C的电纳的电纳:定义定义Y=jB,即即B=ImY对电容：对电容：即即:X=ImZ对电容对电容:对电感：对电感：对电感：对电感：定义定义5阻抗定义的推广阻抗定义的推广:不含独立源的单口网络的阻

29、抗和导纳不含独立源的单口网络的阻抗和导纳(1) 说明说明: :阻抗阻抗Z和导纳和导纳Y是用复数形式描述正弦稳态电路的原（主）是用复数形式描述正弦稳态电路的原（主）参数，即是与参数，即是与RLC等时域基本电路参数对应的复数域参数。等时域基本电路参数对应的复数域参数。 (3) 对单个元件对单个元件,其阻抗角分别为其阻抗角分别为:作业作业:P568-118-7 8-7 正弦稳态电路与电阻电路分析方法的类正弦稳态电路与电阻电路分析方法的类比比相量模型的引入相量模型的引入一一.电路相量模型的概念电路相量模型的概念:对正弦稳态电路中的元件对正弦稳态电路中的元件(RLC)用阻抗或导纳表示用阻抗或导纳表示时的

30、时的假想假想的的电路模型电路模型。是一种运用相量能很方便地对正弦稳态电路进行分析。是一种运用相量能很方便地对正弦稳态电路进行分析计算的假想的模型。计算的假想的模型。二二.RLC正弦稳态电路的相量模型与电阻电路时域模型的类比正弦稳态电路的相量模型与电阻电路时域模型的类比 电阻电路电阻电路 RLC正弦稳态电路正弦稳态电路元件元件 电阻电阻R 阻抗阻抗Z 或导纳或导纳Y=1/Z欧姆定律欧姆定律 基本形式基本形式适用范围适用范围 电阻电路或电阻电路或 正弦稳态正弦稳态RLC电路或电路或 只含电阻的一般单口网络只含电阻的一般单口网络 含含RLC的一般单口网络的一般单口网络模型性质模型性质 实际时域模型实

31、际时域模型 假想复数域模型假想复数域模型 三三.运用相量模型分析运用相量模型分析RLC电路电路(相量分析法相量分析法)的的基本步骤：基本步骤：(1) 写出已知正弦量的相量写出已知正弦量的相量;(2)作原电路的相量模型作原电路的相量模型,确定电路中各相量间的关系；确定电路中各相量间的关系；(3)根据所求得的相量，写出相应的正弦时间函数。根据所求得的相量，写出相应的正弦时间函数。若单口若单口网络的各元件系串联的，则其阻抗为网络的各元件系串联的，则其阻抗为若单口网络的各元件系并联的，则其导纳为若单口网络的各元件系并联的，则其导纳为各各电压及电流的相量图表明了各电压、电压及电流的相量图表明了各电压、电

32、流间的相位关系。电流间的相位关系。作业作业:P568-138-8 正弦稳态混联电路的分析正弦稳态混联电路的分析 作出正弦稳态电路的相量模型后，就可仿照电阻混联电路作出正弦稳态电路的相量模型后，就可仿照电阻混联电路的处理方法来求输入阻抗或导纳、各支路电流相量以及电压相的处理方法来求输入阻抗或导纳、各支路电流相量以及电压相量等等。量等等。在求输入阻抗或导纳时，需注意以下几点：在求输入阻抗或导纳时，需注意以下几点：表表81 基本元件的阻抗和导纳基本元件的阻抗和导纳 1.同一元件的阻抗与导纳互为倒数；同一对端钮间的阻抗与导同一元件的阻抗与导纳互为倒数；同一对端钮间的阻抗与导纳互为倒数，纳互为倒数， 即

33、：即：2.记住基本元件的阻抗和导纳，如表记住基本元件的阻抗和导纳，如表81所示。所示。3.凡是凡是串联串联的元件，用的元件，用阻抗阻抗来表征较为方便来表征较为方便,可根据可根据(851)式进式进行化简行化简,得得 凡是凡是并联并联的元件，用的元件，用导纳导纳来表征较为方便，可根据来表征较为方便，可根据(852)式进式进行化简行化简,得得 但在但在两个元件并联两个元件并联时，也可用下式进行化简时，也可用下式进行化简: 解解:写出已知正弦量的相量写出已知正弦量的相量作相量作相量模型如图模型如图b所示，其中：所示，其中：根据相量模型进行计算。根据相量模型进行计算。输入阻抗输入阻抗电流电流作业作业:P

34、57 8-168-9 8-9 相量模型的网孔分析法和节点分析法相量模型的网孔分析法和节点分析法解解:作相量作相量模型如图模型如图(b)所示，其中所示，其中解解:正弦稳态电路相量分析法分析小结正弦稳态电路相量分析法分析小结: : 分析分析电阻电路电阻电路的各种分析方法和电路定理都可的各种分析方法和电路定理都可推广推广用于分析电路的相量模型。差别仅在于所得到的电路方用于分析电路的相量模型。差别仅在于所得到的电路方程为以相量形式表示的代数方程以及用相量形式描述的程为以相量形式表示的代数方程以及用相量形式描述的电路定理，而计算则为复数运算。电路定理，而计算则为复数运算。要求熟练掌握正弦稳态电路的计算方

35、法。要求熟练掌握正弦稳态电路的计算方法。作业：作业：P58 8-18P58 8-188-10 8-10 相量模型的等效相量模型的等效 本节介绍含本节介绍含/ /不含独立源的线性单口网络的串联和并联相量不含独立源的线性单口网络的串联和并联相量模型。模型。给定单口网络给定单口网络N0如图如图(a)所示，下标所示，下标“0”表示该网络不含独表示该网络不含独立源，其立源，其VCR为为一一. .输入阻抗输入阻抗( (串联相量模型串联相量模型) )和输入导纳和输入导纳( (并联相量模型并联相量模型) )的定义的定义其中其中Z为单口网络的输入阻抗为单口网络的输入阻抗，即，即等效阻抗等效阻抗。输入阻抗一般为。

36、输入阻抗一般为复数，具有实部和虚部，亦即复数，具有实部和虚部，亦即其中其中R称为输入阻抗的电阻分量称为输入阻抗的电阻分量，它并不一定只由网络中的电，它并不一定只由网络中的电阻元件所确定，一般来说，阻元件所确定，一般来说，它是网络中各元件参数和频率的它是网络中各元件参数和频率的函数函数；X称为输入阻抗的电抗分量称为输入阻抗的电抗分量，它并不一定只由网络中的，它并不一定只由网络中的动态元件所确定，一般来说，动态元件所确定，一般来说，它是网络中各元件参数和频率它是网络中各元件参数和频率的函数的函数。因此，该单口网络可等效为一由。因此，该单口网络可等效为一由R和和jX串联的相量模串联的相量模型如图型如

37、图(b)(b)所示。所示。 单口网络单口网络N0的的VCR也可表为也可表为而而 其中其中G、B分别称为输入导纳的电导分量和电纳分量分别称为输入导纳的电导分量和电纳分量。因此，。因此，该单口网络的由该单口网络的由G和和jB并联的等效相量模型如图并联的等效相量模型如图(c)(c)所示。所示。 Y为单口网络的输入导纳为单口网络的输入导纳, ,即即等效导纳等效导纳。二二. .输入阻抗和输入导纳间的转换输入阻抗和输入导纳间的转换则由（则由（8-58）式得）式得即即并联相量模型的并联相量模型的电导与电纳分别为：电导与电纳分别为：注意：注意：一般情况一般情况G并非是并非是R的倒数，的倒数，B则不可能是则不可

38、能是X的倒数。的倒数。1.1.等效关系等效关系: :2.2.已知已知Z求等效求等效Y: : 设已知设已知 物理意义：物理意义：串联电路中的串联电路中的R和并联电路中的和并联电路中的G，并非并非指同一电阻元件，而公式指同一电阻元件，而公式R1/G原是指同一个电阻元件原是指同一个电阻元件的电阻参数与电导参数的关系，因而不能用于两个不同的的电阻参数与电导参数的关系，因而不能用于两个不同的电阻元件。电阻元件。B并非并非X的倒数，即使是指同一动态元件也不的倒数，即使是指同一动态元件也不能认为能认为X1/B。应根据应根据Z1/Y来考虑，在单个动态元件来考虑，在单个动态元件时可得时可得jX1/jB，因此因此

39、X-1/B。3.3.已知已知Y求等效求等效Z: :设已知设已知则由（则由（8-58）式得）式得即即串联相量模型的串联相量模型的电阻与电抗分别为：电阻与电抗分别为：注意：注意：一般来说一般来说R并非是并非是G的倒数，的倒数，X则不可能是则不可能是B的倒数。的倒数。4.4.注意：注意：以上各式中的以上各式中的R、G、X、B等均为等均为的函数，因此，的函数，因此，只有在某一指定频率时才能确定只有在某一指定频率时才能确定R、G的数值和的数值和X、B的数值的数值及其正、负号。等效相量模型只能用来计算在该频率下的正及其正、负号。等效相量模型只能用来计算在该频率下的正弦稳态响应。弦稳态响应。三三. .不含独

40、立源的单口网络相量模型使用举例不含独立源的单口网络相量模型使用举例在这一在这一频率时，电抗分量变为负值，说明等效相量模型的两频率时，电抗分量变为负值，说明等效相量模型的两串联元件的阻抗为串联元件的阻抗为4.354.35的电阻和阻抗为的电阻和阻抗为-j11.02-j11.02的电容。的电容。并联相量模型中的两元件，其一为导纳等于并联相量模型中的两元件，其一为导纳等于0.03099S0.03099S的电阻，的电阻，另一为导纳等于另一为导纳等于j0.0785Sj0.0785S的电容。的电容。四四. .含独立源的单口网络相量分析含独立源的单口网络相量分析- -戴维南定理及诺顿定理的运用戴维南定理及诺顿

41、定理的运用作业作业:P60 8-24:P60 8-248-11 8-11 有效值有效值 有效值相量有效值相量 周期电流、电压的瞬时值是随时间而变化的，在电工技术中，往往并周期电流、电压的瞬时值是随时间而变化的，在电工技术中，往往并不需要知道它们每一瞬间的大小，在这种情况下，就需要为它们规定一个不需要知道它们每一瞬间的大小，在这种情况下，就需要为它们规定一个表征大小的特定值。表征大小的特定值。当当直流电流直流电流I流过电阻时，在相同的时间流过电阻时，在相同的时间T内消耗的电能为内消耗的电能为 PTRI2T 一一. .正弦量正弦量( (周期波周期波) )大小的表征大小的表征有效值的定义有效值的定义

42、 周期电流的有效值周期电流的有效值定义为定义为在效应上在效应上( (如电流的热效应如电流的热效应, ,代表其作功能力代表其作功能力) )与周期电流在与周期电流在一个周期一个周期内的平均效应相等的内的平均效应相等的直流量直流量。 考虑到周期电流（电压）和直流电流（电压）施加于电阻时，电阻都考虑到周期电流（电压）和直流电流（电压）施加于电阻时，电阻都要消耗电能，以此为依据，可以为周期波规定一个表征其大小的特定值。要消耗电能，以此为依据，可以为周期波规定一个表征其大小的特定值。设有两个相同的电阻设有两个相同的电阻R，分别通以周期电流分别通以周期电流i和直流电流和直流电流I。当周期电流当周期电流i流过

43、流过电阻电阻R时，该电阻在一个周期时，该电阻在一个周期T内所消耗的电能为内所消耗的电能为 如果在周期电流的一个周期的时间内，这两个电阻如果在周期电流的一个周期的时间内，这两个电阻R消耗消耗的电能相等，也就是说，就平均作功能力来说，这两个电流的电能相等，也就是说，就平均作功能力来说，这两个电流是等效的，则该直流电流是等效的，则该直流电流I的数值可用以表征周期电流的数值可用以表征周期电流i的大小，的大小，这一特定的数值这一特定的数值I称为周期电流称为周期电流i的的有效值有效值。由由得得 由有效值定义式可知：周期电流的有效值等于它的瞬时值由有效值定义式可知：周期电流的有效值等于它的瞬时值的平方在一个

44、周期内积分的平均值再取平方根，因此，有效值的平方在一个周期内积分的平均值再取平方根，因此，有效值又称为又称为方均根值方均根值。 类似地，可得周期电压类似地，可得周期电压u的有效值的有效值(8(866)66)对正弦电流对正弦电流对正弦电压对正弦电压(8(868)68)(8(869)69)结论结论: :1.2.大部分使用于大部分使用于50Hz的交流电表测读的都是有效值的交流电表测读的都是有效值;对应的电压振幅相量为对应的电压振幅相量为3.有效值一般用不带下标的大写字母如有效值一般用不带下标的大写字母如I、U表示。表示。例：引用有效值后，以电压为例，正弦波也可表为：例：引用有效值后，以电压为例，正弦

45、波也可表为：二二. .有效值相量有效值相量说明说明:1.有效值相量是复数。有效值相量是复数。 今后，除非特别声明，本书所称的今后，除非特别声明，本书所称的相量均系指有效值相相量均系指有效值相量量。相量图也是用有效值相量绘制。相量图也是用有效值相量绘制。定义定义: 电压有效值相量：电压有效值相量： 电流有效值相量电流有效值相量 : 2.与振幅相量的关系与振幅相量的关系: 又又故得故得解解:今后，相量模型中除非特别申明，今后，相量模型中除非特别申明，均系有效值相量。电路对电源的等均系有效值相量。电路对电源的等效阻抗为效阻抗为1 1作业作业:P62 8-30,8-31:P62 8-30,8-318-

46、12 8-12 两类特殊问题两类特殊问题 相量图法相量图法一一.两类特殊问题是什么两类特殊问题是什么?有无简单计算方法有无简单计算方法?1.1.有效值的计算问题有效值的计算问题; ;2.2.相位差的计算问题。相位差的计算问题。 答案答案:相量图法相量图法二二.相量图法举例相量图法举例输出电压的有效值：输出电压的有效值：输出电压的初相：输出电压的初相：相位差角：相位差角： 注意：注意：由于由于uO与电流与电流i同相（同相（uO是电阻电压），因此是电阻电压），因此uO超超前前uS角角，也就是也就是i超前超前uS角角，介于介于0 0 与与9090 之间。之间。 要特别注意：要特别注意：uS不是电容两

47、端电压，而是电容与电阻串不是电容两端电压，而是电容与电阻串联组合两端的电压，因而电流虽然仍超前电压，但超前角度联组合两端的电压，因而电流虽然仍超前电压，但超前角度并非并非9090 。画相量画相量模型如图模型如图(b)(b)，其中其中 。可依照以下步骤，逐个绘出相量。可依照以下步骤，逐个绘出相量：绘出绘出相量图后，显然可见相量图后，显然可见 总是超前总是超前 的。相的。相位差角位差角也可在相量图上利用几何、三角关系求也可在相量图上利用几何、三角关系求得。相量得。相量 的长度为的长度为RIRI，相量相量 的长度为的长度为I/I/C C。由相量图中由相量图中 、 、 构成的直角三角构成的直角三角形可

48、知：形可知：（此时相量图只能定性而不能定量绘制。）（此时相量图只能定性而不能定量绘制。）用相量解析法用相量解析法在解题时，初学者往往容易发生这样在解题时，初学者往往容易发生这样的错误：认为电流表的错误：认为电流表A的读数是的读数是10A10A20A。实际上实际上汇集在节点处汇集在节点处电流的有效值一般是不满足电流的有效值一般是不满足KCL的，的，满足满足KCL的是电流有效值相量！的是电流有效值相量！因因电阻电压、电流同相，故相量电阻电压、电流同相，故相量 与与 同相；因电容的电流超前电压同相；因电容的电流超前电压9090 ，故相量故相量 垂直垂直 且处于超前且处于超前 的位置。根据已知条件，相

49、量的位置。根据已知条件，相量 、 的的长度相等，都等于长度相等，都等于1010。由这两相量所构成的平行四边形的对角线确定了。由这两相量所构成的平行四边形的对角线确定了相量相量 ，且由相量图的几何关系可知，且由相量图的几何关系可知解得在直角三角形OCA中：得因而故得又得故得小小 结结一一.基本要求基本要求(1)深刻理解正弦量、有效值和相量的概念。深刻理解正弦量、有效值和相量的概念。(2)熟练掌握熟练掌握R，L，C元件伏安关系的相量形式。元件伏安关系的相量形式。(3)深刻理解阻抗与导纳的概念和性质。深刻理解阻抗与导纳的概念和性质。(4)熟练掌握正弦稳态电路的计算方法。熟练掌握正弦稳态电路的计算方法。(5)会借助相量图算正弦稳态电路的响应。会借助相量图算正弦稳态电路的响应。二二.重点、难点学习指导重点、难点学习指导表示表示 第九章结束期待中的力量！ 我们期待什么，便会得到什么；如果我们期待什么，便会得到什么；如果我们什么都不期待，自然就一无所得；安我们什么都不期待，自然就一无所得；安于贫贱，自然就不会富裕。唯有诚心期待于贫贱，自然就不会富裕。唯有诚心期待成功的人，才能成功！成功的人，才能成功！