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1、3.2导数与函数的小综合知识梳理考点自诊1.导函数的符号和函数的单调性的关系如果在某个区间内,函数y=f(x)的导数,则在这个区间上,函数y=f(x)是增加的;如果在某个区间内,函数y=f(x)的导数f(x)0 减少 函数y=f(x)的极大值点 极大值 大于x0点的函数值 极小值 2知识梳理考点自诊(3)极值和极值点:极大值与极小值统称为,极大值点与极小值点统称为.(4)求可导函数极值的步骤:求f(x).求方程的根.检查f(x)在方程f(x)=0的根的左右两侧的符号.如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得;如果左负右正,那么f(x)在这个根处取得.极值 极值点 f(x)=0 极大值 极小值
2、3知识梳理考点自诊3.实际问题中导数的意义中学物理中,速度是关于时间的导数,线密度是_的导数,功率是的导数.4.函数的最值与导数(1)最大值点:函数y=f(x)在区间a,b上的最大值点x0指的是:函数在这个区间上所有点的函数值都不超过f(x0).函数的最小值点也有类似的意义.(2)函数的最大值:最大值或者在取得,或者在区间的端点取得.(3)最值:函数的和统称为最值.(4)求f(x)在a,b上的最大值和最小值的步骤求f(x)在(a,b)内的极值;将f(x)的各极值与比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.路程 质量关于长度 功关于时间 极大值点 最大值最小值 f(a),f(b) 4知识
3、梳理考点自诊1.若函数f(x)的图像连续不断,则f(x)在a,b上一定有最值.2.若函数f(x)在a,b上是单调函数,则f(x)一定在区间端点处取得最值.3.若函数f(x)在区间(a,b)内只有一个极值点,则相应的极值点一定是函数的最值点.5知识梳理考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”.(1)如果函数f(x)在(a,b)内是增加的,那么一定有f(x)0.()(2)函数在某区间上或定义域内的极大值是唯一的. ()(3)导数为零的点不一定是极值点. ()(4)函数的极大值不一定比极小值大. ()(5)函数的最大值不一定是极大值,函数的最小值也不一定是极小值. ()6知识梳理
4、考点自诊2.如图是函数y=f(x)的导函数f(x)的图像,则下面判断正确的是 ()A.在区间(-2,1)内,f(x)是增加的B.在区间(1,3)内,f(x)是减少的C.在区间(4,5)内,f(x)是增加的D.在区间(2,3)内,f(x)不是单调函数C3. 已知a为函数f(x)=x3-12x的极小值点,则a=()A.-4B.-2C.4D.2D解析解析:f(x)=3x2-12=3(x+2)(x-2),令f(x)=0,得x=-2或x=2,易得f(x)在(-2,2)内单调递减,在(-,-2),(2,+)内单调递增,故f(x)极小值为f(2),由已知得a=2,故选D.7知识梳理考点自诊4.(2018山东
5、师大附中一模,11)若f(x)=-x2+mln x在(1,+)是减少的,则m的取值范围是()A.1,+)B.(1,+)C.(-,1D.(-,1)Cx|x1或x-1 g(x)在R上为减函数,不等式等价于g(x2)1,得x1或x0时,令f(x)0,得x0.令f(x)0,得-2x0.函数f(x)的递增区间为(-,-2),(0,+),递减区间为(-2,0).当a0,得-2x0.令f(x)0,得x0.函数f(x)的递减区间为(-,-2),(0,+),递增区间为(-2,0).12考点1考点2考点3考点4函数函数单调性的性的应用用(多考向多考向)考向1利用函数单调性比较大小思考本例题如何根据条件比较三个数的
6、大小?A13考点1考点2考点3考点4考向2利用函数单调性求参数的范围例3(1)(2018衡水中学押题二,11改编)若函数f(x)=mln x+x2-mx在区间(0,+)内递增,则正实数m的取值范围为()A.0,8B.(0,8C.8,+)D.(8,+)(2)(2017江苏,11)已知函数 ,其中e是自然对数的底数.若f(a-1)+f(2a2)0,则实数a的取值范围是.B14考点1考点2考点3考点415考点1考点2考点3考点4思考如何利用函数的单调性求参数的范围?解题心得1.比较大小时,根据三个数的特点结合已知条件构造新的函数,对新函数求导确定其单调性,再由单调性进行大小的比较.2.利用函数的单调
7、性求参数的范围问题要视情况而定,若可导函数f(x)在指定的区间D上单调递增(减),求参数范围问题,可转化为f(x)0(或f(x)0)恒成立问题,从而构建不等式,要注意“=”是否可以取到;若已知函数不等式求参数范围,先求函数的导数,确定函数的单调性,再由函数的单调性脱掉函数符号得到关于参数的不等式,解不等式得参数范围;也可以根据条件采取分离参数法.16考点1考点2考点3考点4A17考点1考点2考点3考点418考点1考点2考点3考点4求函数的极求函数的极值、最、最值例4(1)(2017全国2,理11)若x=-2是函数f(x)=(x2+ax-1)ex-1的极值点,则f(x)的极小值为()A.-1B.
8、-2e-3C.5e-3D.1(2)(2018江苏,11)若函数f(x)=2x3-ax2+1(aR)在(0,+)内有且只有一个零点,则f(x)在-1,1上的最大值与最小值的和为.A-319考点1考点2考点3考点4解析解析: (1)由题意可得,f(x)=(2x+a)ex-1+(x2+ax-1)ex-1=x2+(a+2)x+a-1ex-1.因为x=-2是函数f(x)的极值点,所以f(-2)=0.所以a=-1.所以f(x)=(x2-x-1)ex-1.所以f(x)=(x2+x-2)ex-1.令f(x)=0,解得x1=-2,x2=1.当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:所以当x=1时,f(x)
9、有极小值,并且极小值为f(1)=(1-1-1)e1-1=-1,故选A.20考点1考点2考点3考点421考点1考点2考点3考点4思考函数的导数与函数的极值、最值有怎样的关系?解题心得1.可导函数y=f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f(x0)=0,且在x0左侧与右侧f(x)的符号不同.2.若函数y=f(x)在区间(a,b)内有极值,则函数y=f(x)在(a,b)内不是单调函数,反之,若函数y=f(x)在某区间上是单调函数,则函数y=f(x)在此区间上一定没有极值.22考点1考点2考点3考点43.利用导数研究函数极值的一般流程: 23考点1考点2考点3考点44.求函数f(x)在a,b上的最大值
10、和最小值的步骤:(1)求函数在(a,b)内的极值.(2)求函数在区间端点处的函数值f(a),f(b).(3)将函数f(x)的极值与f(a),f(b)比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.24考点1考点2考点3考点4ln aD当a0时,f(x)0,f(x)为R上的增函数,f(x)无极值.当a0时,令f(x)=0,得ex=a,即x=ln a.x(-,ln a)时,f(x)0,f(x)在(-,ln a)上递减,在(ln a,+)上递增,故f(x)在x=ln a处取得极小值,且极小值为f(ln a)=ln a.25考点1考点2考点3考点426考点1考点2考点3考点4已知极已知极值或最或最值
11、求参数范求参数范围例5若函数f(x)=ax3+(a-1)x2-x+2(0x1)在x=1处取得最小值,则实数a的取值范围是() C27考点1考点2考点3考点4思考已知极值或最值如何求参数的范围?解题心得已知极值求参数:若函数f(x)在点(x0,y0)处取得极值,则f(x0)=0,且在该点左、右两侧的导数值符号相反.28考点1考点2考点3考点4D29考点1考点2考点3考点41.函数y=f(x)在(a,b)内可导,f(x)在(a,b)内的任意子区间内都不恒等于零,则f(x)0f(x)在(a,b)内是增加的;f(x)0f(x)在(a,b)内是减少的.2.求可导函数极值的步骤:(1)求定义域及f(x);(2)求f(x)=0的根;(3)判定定义域内的根两侧导数的符号;(4)下结论.3.求函数f(x)在区间a,b上的最大值与最小值,首先求出各极值及区间端点处的函数值,然后比较其大小,得结论(最大的就是最大值,最小的就是最小值).30考点1考点2考点3考点41.注意定义域优先的原则,求函数的单调区间和极值点必须在函数的定义域内进行.2.求函数最值时,不可想当然地认为极值点就是最值点,要通过认真比较才能下结论.3.一个函数在其定义域内的最值是唯一的,最值可以在区间的端点处取得.4.解题时,要注意区分求单调性和已知单调性求参数的问题,处理好当f(x)=0时的情况,正确区分极值点和导数为0的点.31
