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1、.-“等时圆”模型的规律及应用“等时圆”模型的规律及应用一、一、等时圆模型（如图所示）等时圆模型（如图所示）二、二、等时圆规律：等时圆规律：1、小球从圆的顶端沿光滑弦轨道静止滑下，滑到弦轨道与圆的交点的时间相等。（如图 a）2、小球从圆上的各个位置沿光滑弦轨道静止滑下，滑到圆的底端的时间相等。（如图 b）3、沿不同的弦轨道运动的时间相等，都等于小球沿竖直直径（d）自由落体的时间，即图 a图 bt02d4RR（式中 R 为圆的半径。） 2ggg三、等时性的证明三、等时性的证明设某一条弦与水平方向的夹角为，圆的直径为d（如右图）。根据物体沿光滑弦作初速度为零的匀加速直线运动，加速度为a gsin，
2、位移为s d sin，所以运动时间为t02sa2dsingsin2dg即沿各条弦运动具有等时性，运动时间与弦的倾角、长短无关。.可修编-.-四、应用等时圆模型解典型例题四、应用等时圆模型解典型例题例例 1 1：如图 1，通过空间任一点 A 可作无限多个斜面，若将若干个小物体从点A 分别沿这些倾角各不相同的光滑斜面同时滑下，那么在同一时刻这些小物体所在位置所构成的面是（）A.球面B.抛物面C.水平面D.无法确定【解析】：由“等时圆”可知，同一时刻这些小物体应在同一“等时圆”上，所以 A 正确。例例 2 2：如图 2，在斜坡上有一根旗杆长为 L，现有一个小环从旗杆顶部沿一根光滑钢丝 AB 滑至斜坡
3、底部，又知OB=L。求小环从 A 滑到 B 的时间。【解析】：可以以 O 为圆心，以 L 为半径画一个圆。根据“等时圆”的规律可知，从A 滑到 B 的时间等于从 A点沿直径到底端 D 的时间，所以有BLD图 2ALOtAB tAD2dg4LL 2gg例例3 3：如图5所示，在同一竖直线上有 A、B两点，相距为 h，B点离地高度为 H，现在要在地面上寻找一点 P，使得从 A、B两点分别向点 P安放的光滑木板，满足物体从静止开始分别由A和B沿木板下滑到 P点的时间相等，求 O、P两点之间的距离OP。解析解析：由“等时圆”特征可知，当A、B 处于等时圆周上，且P 点处于等时圆的最低点时，即能满足题设
4、要求。如图6所示，此时等时圆的半径为：AhBHAhBHO1hR O1P H 2h22所以OP R ( ) H(H h)2O图 5PO图 6P.可修编-.-例例 4 4：如图 7， AB 是一倾角为的输送带，P 处为原料输入口，为避免粉尘飞扬，在P与 AB 输送带间建立一管道（假使光滑），使原料从P 处以最短的时间到达输送带上，则管道与竖直方向的夹角应为多大？PPBBOCAA图 7图 8解析：解析：借助“等时圆”，可以过 P 点的竖直线为半径作圆，要求该圆与输送带 AB 相切，如图所示，C 为切点，O 为圆心。显然，沿着 PC 弦建立管道，原料从 P 处到达 C 点处的时间与沿其他弦到达“等时圆
5、”的圆周上所用时间相等。因而，要使原料从 P 处到达输送带上所用时间最短， 需沿着 PC 建立管道。 由几何关系可得： PC 与竖直方向间的夹角等于/ 2。三、“形似质异”问题的区分三、“形似质异”问题的区分1、还是如图 1 的圆周，如果各条轨道不光滑，它们的摩擦因数均为，小滑环分别从a、b、c 处释放（初速为 0）到达圆环底部的时间还等不等？解析：解析： bd 的长为2Rcos， bd 面上物体下滑的加速度为a=gcos-gsin，tbd=4RcosR=2。可见 t 与有关。gcosgsing g tan2、如图 9，圆柱体的仓库有三块长度不同的滑板aO、bO、cO，其下端都固定于底部圆00
6、0心 O，而上端则搁在仓库侧壁，三块滑块与水平面的夹角依次为30 、45 、60 。若有三个小孩同时从 a、b、c 处开始下滑（忽略阻力），则（）A、a 处小孩最先到 O 点B、b 处小孩最先到 O 点cC、c 处小孩最先到 O 点D、a、c 处小孩同时到 O 点解析：解析：三块滑块虽然都从同一圆柱面上下滑，但 a、b、c 三点不ba可能在同一竖直圆周上，所以下滑时间不一定相等。设圆柱底面半径4RR1220为 R，则=gsint ，t =，当=45 时，t 最小，当gsin2cos2=30 和 60 时，sin2的值相等。00O例例 3 3：如图 3，在设计三角形的屋顶时，为了使雨水能尽快地从
7、屋顶流下，并认为雨水是从静止开始由屋顶无摩擦地流动。试分析和解：在屋顶宽度（2L）一定的条件下，屋顶的倾角应该多大？雨水流下的最短时间图 3.可修编-.-是多少？【解析】：4LL1220=gsint ， t =，当=45 时，t 最小gsin2cos2训练训练1、如图所示,oa、ob、oc 是竖直面三根固定的光滑细杆,O、a、b、c、d 位于同一圆周上,d 点为圆周的最高点,c 点为最低点.每根杆上都套着一个小滑环(图中未画出),三个滑环都从 o 点无初速释放,用达 a、b、c 所用的时间,则()、依次表示滑环到A.B.C.D.答案详解D 解:以 O 点为最高点,取合适的竖直直径 oe 作等时
8、圆,交 ob 于 b,如图所示,显然 o 到 f、b、g、e 才是等时的,比较图示位移得,故推,选项 ABC 错误,D 正确.2、身体素质拓展训练中，人从竖直墙壁的顶点 A 沿光滑杆自由下滑倾斜的木板上（人可看做质点），若木板的倾斜角不同，人沿着三条不同路径 AB、AC、AD.可修编-.-滑到木板上的时间分别为 t1、t2、t3，若已知AB、AC、AD 与板的夹角分别为 70、90和 105，则 （）A. t1t2t3B. t1t2t2t3，故 A 正确；故选：A3、竖直正方形框有三条光滑轨道OB、OC和OD，三轨道交于O点，且与水平方向的夹角分别为 30、45 和 60。现将甲、乙、丙三个可
9、视为质点的小球同时从O点静ooo止释放，分别沿OB、OC和OD运动到达斜面底端。则三小球到达斜面底端的先后次序是A.甲、乙、丙B.丙、乙、甲C.甲、丙同时到达，乙后到达D.不能确定三者到达的顺序.可修编-.-4、如图所示,地面上有一固定的球面,球半径为 R,球面的斜上方 P 处有一质点(P 与球心 O 在同一竖直平面).已知 P 到球心 O 的距离为 L,P 到地面的垂直距离为 H,现要使此质点从静止开始沿一光滑斜直轨道在最短时间滑到球面上,求所需的最短时间.解:(1)求证:如图所示小球从竖直平面的半径为 R的圆的顶点,沿光滑轨道运动到任何方向圆外边缘,任取一条轨道PQ,PQ 与水平面的夹角.
10、可修编-.-为,由三角关系得 PQ 的长度为:二定律得,沿光滑斜面下滑的加由牛顿第速度.可修编-.-为 :由 位 移 时 间 公 式 得 , 运 动 时间:何轨道的时间均相同.即运动时间与角度无关 ,故对应任(2)作图:以 P 为顶点作一半径为 r 的球面,使其与所给球面相切与 Q,如图所示:.可修编-.-由(1)可以知道右上圆从 P 点到圆的外 边 缘 的 时 间 是 相 同 的 , 故、用时均长于 PQ 用时,则线段 PQ 即为.可修编-.-所求的用时最短的轨道.(3)解题:把上图转化如下:,.可修编-.-由三角关系得:联 立 以 上 两 式 计 算 得出:由(1)知,运动时.可修编-.-间 :答 : 所.的 最 短 时 间 为可修编-需
