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1、求矩阵的求矩阵的 JordanJordan 标准形的两种方法标准形的两种方法方法方法 1. 1. 利用矩阵的初等因子利用矩阵的初等因子原理原理: : 由于矩阵的每一个初等因子与一个Jordan 块相对应, 反之亦然. 求出全部的初等因子即可得出其 Jordan 标准形.方法方法 2. 2. 利用特征值和特征向量可求的可逆矩阵利用特征值和特征向量可求的可逆矩阵 T T 使得使得T1AT为为 JordanJordan 标准形标准形. .原理原理: : 在复数域上, 每一个矩阵都与一个Jordan标准形相似, 即存在可逆矩阵T使得T1AT为 Jordan 标准形.例例. . 设A 1 26103,
2、分别用两种方法求A 的 Jordan 标准形.114解: 方法 1.01E A 126 213r3 2r2(r31)r1112011 411 400101110010r3r2011010123 2002 2100得 A 的初等因子为1, (1)2, 于是 A 的 Jordan 标准形为J J1100J010.2011方法 2.(1) 首先求 A 的特征值.|E A| (1)3, 所以特征值为 1,1,1.(2) 求出相应的特征向量.求解齐次线性方程组(E A)X 0的全部解:E A 226113113000.113000相应的特征向量为1 (1,1,0),2 (3,0,1).1,2为特征值空间
3、 V1的基.(3) 求出一组基, 使得 A 在此基下的矩阵为Jordan 标准形.00.(1)2由于 A 不能对角化, 所以必存在一组基1,2,3使得 A 在此基下的矩阵为 Jordan 标准形.再考虑到 A 有两个线性无关的特征向量, 所以 A 有一个二阶的 Jordan 块. 即A11,A223,A33.可见1,3V1, 需要求出向量2满足(A E)23. 所以求解线性方程组(A E)X k11 k22(3V1).(*)该方程组的增广矩阵为 2 26 k13k2113k 113k取k1k2kB 113k1113k0000.1132262k0000k2由于我们想要求一个向量3 k11 k22V1使得线性方程组(*)有解, 所以可取任何使得该方程组有解的k1,k2. 我们取了k1=k2=k. 事实上, 还可以直接取k1=k2=k=1.即312 (2,1,1), 这样就得到了(*)的解2(1,0,0). 再取11 (1,1,0). 于是我们有:A11,A223,A33.即100(A1,A2,A3) (1,2,3)010.011令112T (1,2,3) 101,001则100J11TAT 010 J 011.J2
