14有理数的加法和减法

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1、有理数的加法和减法有理数的加法和减法本课内容本节内容1.41.4.1 有理数的加法有理数的加法 我们已经会计算两个非负数的和，我们已经会计算两个非负数的和，例如例如 8+12=20 ，3.75+0.25=4，那么如何计算两个负数的和呢？那么如何计算两个负数的和呢？ 在一条东西向的笔直马路上，任取一个点在一条东西向的笔直马路上，任取一个点O.若把向东走若把向东走1km记为记为1，则向西走，则向西走1km记为记为- -1. 小丽从点小丽从点O出发，先向西走了出发，先向西走了2km，然后继续向，然后继续向西走了西走了3km，两次行走后，小丽从，两次行走后，小丽从O点向哪个方向走点向哪个方向走了多少千

2、米？了多少千米？ 两次行走后，小丽从两次行走后，小丽从O点向西走了点向西走了( (2+3) )km，用算式表示就是用算式表示就是 ( (- -2) )+( (- -3) )=- -( (2+3) ) 两个负数相加，结果是负数，并且两个负数相加，结果是负数，并且把它们的绝对值相加把它们的绝对值相加. .结论结论例例1： 计计 算算（1）( (- -8) )+( (- -12) )； （2）( (- -3.75) )+ ( (- -0.25) )；举举例例（1）（）（- -8）+（- -12） ( (- -8) )和和（- -12）为同号为同号（- -8）+（- -12）解解=- -（8+12）=

3、 - -20取相同符号取相同符号（2）（）（- -3.75）+（- -0.25） ( (- -3.75) )和和（- -0.25）为同号为同号（- -3.75）+（- -0.25）解解=- -（3.75+0.25）= - -4取相同符号取相同符号 现在我们已经学会求两个负数的和，那么现在我们已经学会求两个负数的和，那么如何求一个正数与一个负数的和呢？如何求一个正数与一个负数的和呢？ 在一条东西向的笔直马路上，任取一个点在一条东西向的笔直马路上，任取一个点O.若把向东走若把向东走1km记为记为1，则向西走，则向西走1km记为记为- -1. 小亮从点小亮从点O出发，先向东走了出发，先向东走了4km

4、，然后掉头向，然后掉头向西走了西走了1km，小亮两次行走的效果等于从点，小亮两次行走的效果等于从点O向哪个向哪个方向走了多少千米？方向走了多少千米？ 由于向西走由于向西走1km抵消了原来向东走抵消了原来向东走4km中的中的1km，因此小亮两次行走的效果等于从点因此小亮两次行走的效果等于从点O向东走了向东走了( (4- -1) )km.用算式表示就是用算式表示就是 4+( (- -1) )= +(+(4- -1) )=3 小刚从点小刚从点O出发，先向东走了出发，先向东走了1km，然后掉头向，然后掉头向西走了西走了3km，小刚两次行走的效果等于从点，小刚两次行走的效果等于从点O向哪个向哪个方向走了

5、多少千米？方向走了多少千米？ 由于小刚掉头向西走由于小刚掉头向西走3km，把，把原来向东走的原来向东走的1km抵抵消了，因此小刚两次行走的效果等于从点消了，因此小刚两次行走的效果等于从点O向西走了向西走了( (3- -1) )km.用算式表示就是用算式表示就是 1+( (- -3) )= - -( (3- -1) )= - -2 异号两数相加，当两数的绝对值不相等异号两数相加，当两数的绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并且用较时，取绝对值较大的加数的符号，并且用较大的绝对值减去较小的绝对值大的绝对值减去较小的绝对值. .结论结论说一说说一说互为互为相反数相反数的两个数相的两个数相加，和

6、为加，和为0.一个数与一个数与0 0相加，和仍相加，和仍是这个数是这个数. .（1）互为相反数的两个数相加，和为多少？互为相反数的两个数相加，和为多少？（2）一个数与一个数与0相加，和为多少？相加，和为多少？互为相反数的两个数相加得互为相反数的两个数相加得0.结论结论一个数与一个数与0相加，仍得这个数相加，仍得这个数. .例例2： 计计 算算（1）( (- -5) )+ 9；（2） 7+ ( (- -10) ) ；举举例例（3） ；（4）（1）（）（- -5）+ 9 解解（- -5）和和9为异号为异号（- -5）+ 9 =95= 4| |9| | |5| |,取取9的符号的符号| |9| |-

7、 -| |5| |+( () )- -（2） 7 + （- -10）解解（- -10）和和7为异为异号号7 + （- -10）=7- -10= - -3| |10| | |7| |,取取10的符的符号号 ( () )- -（3） 和和 为异号为异号解解| | | | | | |,取取 的的符号符号= 和和 分母不分母不同同= 0互为相反数的互为相反数的两个数相加得两个数相加得0.（4）解解1.计算计算: :（1）（）（- -11）+（- -9） （2）（）（- -7）+ 0（3） 8+（- -20） （4）（）（- -9）+ 9（5） ( (- -10) ) + 7练习练习- -20- -7-

8、 -120- -3（6）2. 某地某地8:00的气温是的气温是 ，15:00的气温比的气温比8:00的的 气温上升了气温上升了 ，该地，该地15:00的气温是多少的气温是多少？- -35答：答：- -3 + 5 = 2 （） 在小学我们已经学过了加法的交换律、结合在小学我们已经学过了加法的交换律、结合律，在有理数范围内这两个运算律是否仍然适用律，在有理数范围内这两个运算律是否仍然适用呢？呢？动脑筋动脑筋5+( (- -3) )= , ,( (- -3) )+5= , ,(- -8) )+( (- -9)+5= , ,- -8+(- -9) )+5 = .2（1） 计算下列各式计算下列各式2-

9、-12- -12（2） 换几个有理数试一试，你发现了什么换几个有理数试一试，你发现了什么？加法交换律：加法交换律： + = +结论结论abb a即，两个有理数相加，交换加数的位置，和不变即，两个有理数相加，交换加数的位置，和不变. .试一试试一试加法结合律加法结合律：a+b+c =( ( + ) )+ = +( ( + ) )结论结论abcabc即，三个有理数相加，先把前两个数相加，再把结即，三个有理数相加，先把前两个数相加，再把结果与第三个数相加；或者先把后两个数相加，再把果与第三个数相加；或者先把后两个数相加，再把结果与第一个数相加，和不变结果与第一个数相加，和不变. . 三个或三个以上有

10、理数相加，可以写成这些三个或三个以上有理数相加，可以写成这些数的连加式数的连加式. .对于连加式，根据加法交换律和加对于连加式，根据加法交换律和加法结合律，可以任意交换加数的位置，也可先把法结合律，可以任意交换加数的位置，也可先把其中的某几个数相加其中的某几个数相加. .试一试试一试例例3： 计算计算（1）（）（- -32）+7+（- -8） 举举例例（2）4.37+（- -8）+（- -4.37） （3） （1）（）（- -32）+7+（- -8） 先将同号先将同号相加相加= - -32+（- -8）+7=（- -32）+（- -8）+7= ( (- -40)+)+7= - -33 （- -

11、32）+7+（- -8） 解解（- -32）（- -8）4.37+（- -4.37) )结结果为果为0= 4.37+( (- -4.37)+()+(- -8) )= 0 +（- -8）= - -84.37 +（- -8）+（- -4.37） （2）4.37+（- -8）+（- -4.37） 0与与(-(-8) )相加，相加，结果为结果为- -8=解解4.37+（- -8）+（- -4.37） 同分母相同分母相加加= 10+（- -3）解解（3） = 7+例例4： 某台自动存取款机在某时段内处理了以下某台自动存取款机在某时段内处理了以下6项现款储项现款储蓄业务：蓄业务： 存入存入200元、支出元

12、、支出800元、支出元、支出1000元、元、 存入存入2500元、支出元、支出500元、支出元、支出300元元. 问该自动存取款机在这一时段内现款增加或减少了多问该自动存取款机在这一时段内现款增加或减少了多少元？少元？ 解解 记存入为证，则由题意可得：记存入为证，则由题意可得：( (+200)+()+(- -800)+()+(- -1000)+(+)+(+2500)+()+(- -500)+()+(- -300) )=( (200+2500)+()+(- -800)+()+(- -1000)+()+(- -500)+()+(- -300)=2700+( (- -2600) )=100答：该自动

13、存取款机在这一时段内现款增加了答：该自动存取款机在这一时段内现款增加了100元元.练习练习1. 计算计算（1）（）（+ +13）+（- -7）+（- -3） （2）1.4+（- -0.1）+0.6+（- -1.9） （3） 302. 小欢的父亲在某储蓄所原有存款小欢的父亲在某储蓄所原有存款5000元元. 某月他父某月他父 亲到该储蓄所办理了以下亲到该储蓄所办理了以下4项现款储蓄业务项现款储蓄业务： 存入存入500元元，支出支出300元，存入元，存入1200元，支出元，支出600元元. . 则他父亲在该储蓄所还有多少钱则他父亲在该储蓄所还有多少钱？答：他父亲在该储蓄所还有答：他父亲在该储蓄所还有

14、5800元元.1.4.2 有理数的减法有理数的减法 我们已经会进行有理数的加法运算，但我们已经会进行有理数的加法运算，但如何进行有理数的减法运算呢如何进行有理数的减法运算呢？ 2011年某一天，北京市的最高气温是年某一天，北京市的最高气温是- -1，最低最低气温是气温是- -9，这天北京的温差这天北京的温差（最高气温最高气温- -最低气温最低气温）是多少是多少？探究探究从图中的温度计可以看出从图中的温度计可以看出：- -1比比- -9高高8 ，因此因此( (- -1) )- -( (- -9) )=8=( (- -1) )+9 .结论结论减去一个数，等于加上这个数的相反数减去一个数，等于加上这

15、个数的相反数. .即a b = a + ( (- -b) ) 例例5 计算：计算： （1） 0- -（- -3.18）； （2） 5.3- -（- -2.7）； （3） （ - -10）- -（- -6）； （4） . 举举例例解解（1） 0- -（- -3.18）= 0+3.18根据减法法则根据减法法则= 3.18- -3.18的相反数为的相反数为3.180与与3.18相加相加，还得还得3.18（2） 5.3- -（- -2.7）解解= 5.3+2.7= 8根据减法法则根据减法法则- -2.7的相反数为的相反数为2.7（3） （- -10）- -（- -6）解解= （- -10）+6= -

16、-4根据减法法则根据减法法则- -6的相反数为的相反数为6- -10与与6相加，相加，取取10的符号的符号（4）解解= （- -3.7）- -6.5= - -10.2根据减法法则根据减法法则化为小数计算化为小数计算1. .计算计算: （1） 7- -（- -4）；）； （2）（- -3）- -（- -5）；）； （3）（）（- -3）- -0； （4） 0- -（- -7）.练习练习（1） 7- -（- -4）=7+ +4 =111.解解（2）（）（- -3）- -（- -5）=- -3+5 =2（3）（）（- -3）- -0=- -3- -0 =- -3（4） 0- -（- -7）=0+ +

17、7 =72. 计算计算: （1） 2.53- -（- -2.47）；）； （2）（- -1.7）- -（- -2.5）；）； （3） ； （4） .（1） 2.53- -（- -2.47）=2.53+2.47 =52.解解（2）（）（- -1.7）- -（- -2.5）=- -1.7+2.5 =0.8（3） （4）3. 潜水员甲潜入海平面以下潜水员甲潜入海平面以下10m，潜水员乙潜入海平面，潜水员乙潜入海平面 以下以下20m，问甲的位置比乙的位置高多少米，问甲的位置比乙的位置高多少米？答：甲的位置比乙的位置高答：甲的位置比乙的位置高10m. 计算：计算： 8- -( (- -3) )+( (-

18、 -5) )- -7；试一试试一试 这个式子中既有加法这个式子中既有加法运算运算，又有减法运算又有减法运算，因因为为“减去一个数减去一个数，等于加等于加上这个数的相反数上这个数的相反数”, ,所以所以可以把它们全部转化为加可以把它们全部转化为加法运算法运算. .8- -( (- -3) )+( (- -5) )- -7= 8+ +3+( (- -5) )+( (- -7) )= 11+( (- -12) )= - -1 在上面的计算过程中，我们把加减运算都统一在上面的计算过程中，我们把加减运算都统一成了加法运算，原来的算式就转化为求几个正数或成了加法运算，原来的算式就转化为求几个正数或负数的和

19、负数的和. .8- -( (- -3) )+( (- -5) )- -7= 8+ +3+( (- -5) )+( (- -7) )= 11+( (- -12) )= - -1 例例6 计算：计算： ( (- -21) )+30- -15- -( (- -17) ). 举举例例 = ( (- -21) )+ +30+( (- -15) )+17解解 ( (- -21) )+30- -15- -( (- -17) ) = ( (- -21) )+ + ( (- -15) )+ 30 + 17 = - -36+ +47 = 11例例7 动物园在检测成年麦哲伦企鹅的身体状况时，动物园在检测成年麦哲伦企

20、鹅的身体状况时，最重要的一项工作就是称体重最重要的一项工作就是称体重已知某动物园对已知某动物园对6只只成年麦哲伦企鹅进行称重检测成年麦哲伦企鹅进行称重检测，以以4kg为标准，超过为标准，超过或不足的千克数分别用正数或不足的千克数分别用正数、负数表示负数表示，称重记录称重记录如下表所示如下表所示，求这求这6只企鹅的总体重只企鹅的总体重. .举举例例编号编号123456差值差值（kg）-0.08 +0.09 +0.05 -0.05 +0.08 +0.06编号编号123456差值差值（kg）-0.08 +0.09 +0.05 -0.05 +0.08 +0.06( (- -0.08)+(+)+(+ 0

21、.09)+(+)+(+0.05)+()+(- -0.05)+(+)+(+0.08)+(+)+(+0.06) )解解=( (- -0.08)+)+0.08+ +0.05+(+(- -0.05) )+( (0.09+0.06) )= 0+0+0.15= 0.1546+0.15=24.15（kg）.答答：这这6只企鹅的总体重是只企鹅的总体重是24.15 kg1. 计算计算:练习练习 （1） - -6- -( (- -4) )- -3+( (- -5) )； （2）(-(-10.5)+(-)+(-8.6)-(-)-(-9.6)+)+10； （3）- -100.5- -32. 计算计算: （1） （2）

22、3. 7筐西红柿，每筐以筐西红柿，每筐以12kg为标准，超过或不足的为标准，超过或不足的千克数分别用正数、负数表示，称重记录如下千克数分别用正数、负数表示，称重记录如下（单单位：位：kg）：- -1，+1.5，2，- -0.5，- -1.5，1.5，1.求这求这7筐西红柿的总质量筐西红柿的总质量. .答：这答：这7筐西红柿的总质量为筐西红柿的总质量为87kg.中考中考 试题试题例例1 某玩具店老板用某玩具店老板用300元购买了元购买了10件玩具，如果按自定的价格每件玩具，如果按自定的价格每件玩具件玩具48元作为标准出售，超出的钱数记为正数，不足的钱数记为元作为标准出售，超出的钱数记为正数，不足

23、的钱数记为负数，现记录如下（单位：元）：负数，现记录如下（单位：元）：+5，- -2，+9，- -6，- -1，0，+3，- -9，+4，- -8，请你帮助这个老板计算一下，当他卖完这，请你帮助这个老板计算一下，当他卖完这10件玩具后，件玩具后，是盈利还是亏损？是盈利还是亏损？ 以以4848元为基准，则元为基准，则1010件玩具的总增减量为件玩具的总增减量为 (+5)+(-2)+(+9)+(-6)+(-1)+0+(+3)+(-9)+(+4)+(-8)(+5)+(-2)+(+9)+(-6)+(-1)+0+(+3)+(-9)+(+4)+(-8) = =(+9)+(-9)+(+5)+(+3)+(+4

24、)+(-2)+(-8)+(-1)+(-6)+0(+9)+(-9)+(+5)+(+3)+(+4)+(-2)+(-8)+(-1)+(-6)+0 =12+(-17) =12+(-17) =-5( =-5(元元) ) 销售这销售这1010件玩具的总收入为件玩具的总收入为484810+(-5)=475(10+(-5)=475(元）元）. . 475300475300， 当老板卖完这当老板卖完这1010件玩具后，盈利了件玩具后，盈利了. .解解本题中，判断这个老板是盈利还是亏损，应先求出他销售本题中，判断这个老板是盈利还是亏损，应先求出他销售这这10件玩具的总收入，然后与成本件玩具的总收入，然后与成本30

25、0元进行比较，若总收元进行比较，若总收入高于入高于300元，则盈利；若总收入低于元，则盈利；若总收入低于300元，则亏损；若元，则亏损；若总收入等于总收入等于300元，则不亏损也不盈利元，则不亏损也不盈利.可先求出各数与基可先求出各数与基准数准数48元的差的和元的差的和.，得到总的增减量，然后再求出总收入，得到总的增减量，然后再求出总收入，与成本与成本300元比较元比较.分析分析中考中考 试题试题例例2 今年我市今年我市2月份某一天的最低气温为月份某一天的最低气温为- -5，最高气温为最高气温为13 ，那么这一天的最高气温比最低气温高那么这一天的最高气温比最低气温高（ ）. . A. .- -

26、18 B.18 C.13 D.5 1. .有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数. .2. .如果用字母如果用字母a、b表示有理数，那么有理数减法法则可表示为：表示有理数，那么有理数减法法则可表示为：a- -b= =a+(+(- -b b) )， 因此有理数的减法运算可以转化为加法运算来进行因此有理数的减法运算可以转化为加法运算来进行. .分析分析 因为因为13- -（- -5）= =13+ +5= =18（ ）. .所以，应选择所以，应选择B. .B解解中考中考 试题试题例例3 计算：计算： . .解解 故，应填故，应填 . .中考中考 试题试题例例4 我市我市2005年的最高气温为年的最高气温为39，最低气温为零下最低气温为零下7 ，计算计算2005年温差，列式正确的是年温差，列式正确的是（ ）. . A. .（+39）- -（- -7） B.（+39）+（+7） C.（+39）+（- -7） D.（+39）- -（+7）根据题意，应列为根据题意，应列为: :( (+ +39) )- -( (- -7).).故故，应选择应选择A. .A解解结结 束束