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1、第一讲 随机变量的数学随机变量的数学期望期望和和方差方差 P89 P98 在前面的课程中，我们讨论了随机变量及在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分布，如果其分布，如果知道知道了随机变量了随机变量x的的概率分布概率分布，那么那么x的的全部概率特征全部概率特征也就也就知道知道了了 然而，在实际问题中，然而，在实际问题中，概率分布概率分布一般是一般是较较难确定难确定的的. 而在一些实际应用中，人们并而在一些实际应用中，人们并不需要知道随机变量的一切概率性质，只要不需要知道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些数字知道它的某些数字特征特征就够了就够了在这些数字特征中，最常用的是在这些数字特征中，
2、最常用的是期望期望和和方差方差一一 离散型离散型随机变量的数学期望和方差随机变量的数学期望和方差例例1 设射击选手甲与乙在同样条件下进行射击其设射击选手甲与乙在同样条件下进行射击其 命中环数是随机变量，分布表如下：命中环数是随机变量，分布表如下：问问: 如何评价甲和乙的技术如何评价甲和乙的技术?X10987650P0.5 0.2 0.1 0.1 0.05 0.050Y10987650P0.1 0.1 0.1 0.10.20.20.2 下面从下面从(一一)平均命中环数平均命中环数和和(二二)从命中环从命中环数的集中或离散程度数的集中或离散程度角度进行分析角度进行分析一一 分析分析平均命中环数平均
3、命中环数 给甲给甲100发子弹则发子弹则甲甲命中总环数命中总环数大约为大约为:X10987650P0.5 0.2 0.1 0.1 0.05 0.050平均每发命中环数估计为平均每发命中环数估计为:记为记为EX称为随机变量称为随机变量X的数学期望的数学期望Y10987650P0.1 0.1 0.1 0.10.20.20.2EY=5.6=8.85=8.85评价：评价：因为因为 EX=8.85, EY=5.6从平均命中环数看，甲的水平高于乙从平均命中环数看，甲的水平高于乙 这种反映随机变量取值平均的值恰好为这种反映随机变量取值平均的值恰好为 随机变随机变量的一切可能量的一切可能取值取值与相应与相应概
4、率乘积概率乘积的的和和二二 从命中环数的集中或离散程度从命中环数的集中或离散程度角度考虑角度考虑图图(1)图图(2)请看下列散点图请看下列散点图图图(1)比较集中比较集中,图图(2)比较分散比较分散偏离值偏离值 偏离值偏离值的平方的平方概率概率P P 请看下表：请看下表：偏差平方的平均值为偏差平方的平均值为:X10987650P0.5 0.2 0.1 0.1 0.05 0.050EX=8.8510-8.850.59-8.850.28-8.850.17-8.850.16-8.850.055-8.850.050-8.850=2.23DX=同理同理DY=10.24从偏差平方的平均值偏差平方的平均值看
5、：甲优于乙设随机变量X概率分布表为.pk.p2p1P.xk.x2x1XX数学期望(或均值)定义为:二二 离散型离散型随机变量的数学期望和方差定义随机变量的数学期望和方差定义 P89 P98EX=+.+.X方差定义为:DX=+.+.偏差的平方偏差的平方的的平均值平均值例例1 设设x概率分布表为概率分布表为X012P0.20.40.4求求 E(x) D(x)解解例例2 设设x概率分布表为概率分布表为X01Pqp解解求求 E(x) D(x)(p+q=1)例例3 P90 按规定某车站每天8:00-9:00, 9:00-10:00恰有一辆客车到站,各车到站的时刻是随机的,且相互独立,其规律为 到站时刻8
6、:10 8:30 8:509:10 9:30 9:50概率 1/6 3/6 2/6旅客8:20到站,求他候车时间的数学期望解解 X-候车时间X P 1030507090解：例例4 设有10个同种电子元件，其中2个废品。装配仪器时，从这10个中任取1个，若是废品，扔掉后重取1只，求在取到正品之前已取出的废品数X的期望。X的分布律为：XP012XP012即即解例例5 设一台机器一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停工。若一周5个工作日里无故障，可获利10万元；发生一次故障获利5万元；发生2次故障获利0元，发生3次或以上故障亏损2万元，求一周内期望利润是多少？X-一周5天内机器发生故障天数，Y-一周内所获利润同理同理设连续型随机变量X概率密度函数为三三 连续型随机变量的期望和方差定义连续型随机变量的期望和方差定义 P89 P98X的的数学期望(或均值)定义为:x(x)X的的方差定义为:(x-EX)2(x)例例5 随机变量X的概率密度为的概率密度为求求 E(X) ) D(X)110xy解解
