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1、目录 上页 下页 返回 结束 第二章 二、二、Stolz定理定理 一、无穷大量一、无穷大量第三节无穷大量D23无穷大量目录 上页 下页 返回 结束 一、一、 无穷大无穷大定义定义2 . 对数列若对则称为无穷大量，记为若n充分大时，则称为正(负)无穷大量，记为的无穷大称为不定号无穷大。例如：正无穷大量。负无穷大量。不定号无穷大量。D23无穷大量目录 上页 下页 返回 结束 注意注意:1. 无穷大不是很大的数, 它是描述数列的一种状态.2. 数列为无穷大 , 必定无界 . 但反之不真 !例如例如, 数列但所以时 ,不是无穷大 !D23无穷大量目录 上页 下页 返回 结束 例例 证明是正无穷大量。证
2、：证：要对任意给定的M0，证明有N，当nN时，可令n3，这样分母可用2n代替，同时分子中有故可得估计式故可取N=max3,4M,当nN时数列大于任意给定的M,即此数列为正无穷大量。注：此处所用方法与用数列极限定义证明完全类似.D23无穷大量目录 上页 下页 返回 结束 例例 证明是正无穷大量。证：证： 当n5时有：故对任意M0,取N=max2M,5, 当nN时有即是正无穷大量。D23无穷大量目录 上页 下页 返回 结束 例例 讨论极限其中k,l为正整数，解：解：由于可以得到D23无穷大量目录 上页 下页 返回 结束 解解:利用前一极限式可令再利用后一极限式 , 得可见是多项式 , 且求故例例D
3、23无穷大量目录 上页 下页 返回 结束 例例 设证明数列发散。证法1(Oresme)：由不等式可得到：可由数学归纳法得出由此可知无上界，即发散。D23无穷大量目录 上页 下页 返回 结束 证法2(Bernoulli)：由对任意正整数n有因此得于是有依次下去可知数列发散。D23无穷大量目录 上页 下页 返回 结束 证法3：反证法。设收敛，记分拆其中由则有由此又可得出故它们收敛到同一极限是不可能的。D23无穷大量目录 上页 下页 返回 结束 无穷小与无穷大的关系无穷小与无穷大的关系若为无穷大,为无穷小 ;若为无穷小, 且则为无穷大.则据此定理 , 关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论.定理定
4、理2. 说明说明:性质1. 有限个无穷小量之和(差)仍是无穷小量。注意：无限个无穷小量之和未必是无穷小。例如：D23无穷大量目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 性质2. 两个正(负)无穷大量之和仍是正(负)无穷大量。注意：必须是同号无穷大量之和。性质3.无穷大量与有界变量之和仍是无穷大量。性质4.无穷小量与有界变量之积仍是无穷小量。推论1.常数与无穷小量之积仍是无穷小量。推论2.有限个无穷小量之积仍是无穷小量。思考：无限个无穷小量之积是否是无穷小量？答：不一定D23无穷大量目录 上页 下页 返回 结束 例如：构造一列序列a(k,n):则第一个序列为：第二个序列为：
5、第三个序列为：第四个序列为：D23无穷大量目录 上页 下页 返回 结束 每一个k固定的序列a(k,n)都是无穷小量。但它们的无穷乘积是一个恒为1的序列。即无限个无穷小量之积未必是无穷小量。D23无穷大量目录 上页 下页 返回 结束 例例 证明证明：证明：放大：上式则对任意只要故取当nN时，由无穷小与极限关系，此式应为无穷小。此处放大时相当于无穷小加1，即不再是无穷小注：适当放大找N必须保证不等式左端为无穷小。D23无穷大量目录 上页 下页 返回 结束 例例 若证：证：令则为无穷小量。于是由Cauchy第一极限定理知第二、三项趋于0。现证第四项也趋于0。D23无穷大量目录 上页 下页 返回 结束
6、 由于为无穷小量，故有界，即使得这样有即第四项亦以0为极限，从而有D23无穷大量目录 上页 下页 返回 结束 Stolz定理 ： 设是单调增的正无穷大量， 且有则证：先考虑a=0的情况。由可知又由是正无穷大量，故可设于是有D23无穷大量目录 上页 下页 返回 结束 不等式两边同除以得对固定的又可取到使得从而即D23无穷大量目录 上页 下页 返回 结束 若a是非零有限数，令于是由得到从而若则即单增。又由可知，是正无穷大量。对应用前面结论，得到因此类似可证时情况。D23无穷大量目录 上页 下页 返回 结束 Stolz定理设是单调减的无穷小量，穷小量，且有也是无则证：只对有限的a作证明。 由已知有再
7、由D23无穷大量目录 上页 下页 返回 结束 任取mn，并将上述不等式中的n换成n+1，直到m。再将这些不等式相加可得也就是令即命题成立。D23无穷大量目录 上页 下页 返回 结束 例例 设求极限解：解：令由Stolz定理有从而得到D23无穷大量目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1.无穷大的定义2. 无穷大与无穷小的关系3. Stolz定理Th2思考与练习思考与练习1. 正无穷大数列是否一定单调增加？ 不一定2. 无界数列是否一定是无穷大量？不一定3. 一个很小的数如是否无穷小量？不是4. 0是否无穷小量？ 是D23无穷大量目录 上页 下页 返回 结束 作业作业 P51 1(1)(2), 3 , 4 , 5D23无穷大量目录 上页 下页 返回 结束 D23无穷大量
