索洛增长模型课件

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1、高级宏观经济学主讲人： 项本武1索洛增长模型第一章 索罗增长模型 1.2 索罗模型的假设 1.3 模型的动态学分析 1.4 储蓄率变化的影响 1.5 定量的含义 1.6 索罗模型与增长理论的核心问题 1.7 经验性应用2索洛增长模型1.2 索罗增长模型的假设 1、 生产函数生产函数特征特征：（1）时间不直接引入生产函数，而是通过K、 L A 引 入， 即仅当生产投入变化时，产出也随时间变化。（2） A和L以乘积的形式引入。AL被称为有效劳动。（1.1）3索洛增长模型关于生产函数的假设关于生产函数的假设 即：生产函数关于资本和有效劳动是规模报酬不变的这个假设可以理解为以下两个假设的结合。 经济规

2、模足够大，以至于专业化的收益已经被全部利用 。 除资本劳动与知识以外的其他投入相对不重要，特别的模型忽略了土地和其他自然资源。对于所有c0 (1.2)4索洛增长模型紧凑形式的生产函数紧凑形式的生产函数 即单位有效劳动的产出可以写成单位有效劳动的 函数。推导如下：（1.4）（1.3）5索洛增长模型紧凑型生产函数的两个假设紧凑型生产函数的两个假设这意味着资本的边际产品为正，但随着资本的增加而减小。6索洛增长模型紧凑型生产函数的两个假设假设2 满足稻田条件 : 这个假设表明：在资本存量充分小时资本的边际产品是十分大的，而当资本存量变大时，其会变得十分小。7索洛增长模型柯布道格拉斯函数柯布道格拉斯函数

3、柯布道格拉斯函数具有不变的规模报酬。（1.5）（1.6）生产函数的一个特定例子是柯布道格拉斯函数8索洛增长模型道格拉斯生产函数的紧凑形式道格拉斯生产函数的紧凑形式（1.7）这意味着 容易看出，这个表达式为正，当k趋近0时， 趋于无穷大。最后 图1.1 生产函数的一个例子9索洛增长模型资本劳动与知识的增长率资本劳动与知识的增长率变量的增长率是指其变化的速率。那么变量X的增长率指 。假设劳动和知识以不变的速率增长且其初始水平是给定的。即：那么L和A 的增长率不变且分别为n ,g.（1.8）（1.9）10索洛增长模型变量的增长率也可用其自然对数的变化率表示。即:由于 是X的函数，且X是t的函数，利用

4、链式法则可以推导出：（1.10）变量增长率的对数表示变量增长率的对数表示11索洛增长模型将一个变量的增长率等于其对数的变化率的结论应用于（1.8）、（1.9），则 L 与A 的对数的变化率不变且分别等于n 和g.因而：（1.13）：（1.14）因而可以假设L和A各自以指数增长其中， 为0时刻的L和A的值。给这些方程的两边取指数，则有：变量以指数增长变量以指数增长12索洛增长模型资本资本 K K 的变化率的变化率产出在消费和投资之间分割。投入投资的产出份额s是外生且不变。此外，现有资本的折旧率是 。因此有：（1.151.15）13索洛增长模型1.3 1.3 模型的动态学模型的动态学K K的动态学

5、分析，即的动态学分析，即 的表达式的表达式 （1.161.16）由于14索洛增长模型（1.17）最后利用Y/AL由f(k)给定，可以得到：（1.18）则1.3 1.3 模型的动态学模型的动态学15索洛增长模型方程（1.18）是索罗模型的重要方程。它表明了每单位有效劳动的资本存量的变化率为实际投资和持平投资的差。方程右边第一项sf (k)为每单位有效劳动的实际投资：每单位有效劳动的产出为f(k)并且该产出的投资份额为s。 为持平投资。即由于折旧和有效劳动的增长，为使k保持在现有水平上所必须进行的投资量。16索洛增长模型。持平投资 与实际投资 图1.2每单位有效劳动的投资实际投资 sf(k)持平投

6、资与k 成比例，实际投资sf(k)为一个常数与每单位有效劳动的产出的乘积。 表示实际投资和持平投资相等时的K的值。k k 的收敛性分析的收敛性分析17索洛增长模型稻田条件意味着 必然存在，即必有一点持平投资等于实际投资。稻田条件意味着在k=0处， 较大因而 线比 更陡峭，实际投资大于持平投资。 但是随着k变得更大， 不断下降，以至于，在某个点，实际投资线的斜率低于持平投资线的斜率。在s(k)线比 比更平坦的的条件下，这两者必定最终相交。最后， 意味着对于k0，这两条线只相交一次。18索洛增长模型l如果k的初始值于 ，实际投资大于持平投资，因而 为正。这便是 正在上升。如果 大于 ， 为负。l最

7、后，如果k等于 则 因而，无论k在哪里开始，它总会收敛于 。图1.3 索罗模型中的k的相图索罗模型中的索罗模型中的k k的相图的相图19索洛增长模型1.4 储蓄率变化的影响ls 的增加把实际投资线向上移动，因而 上升 。l 但k 的变化是个渐进的过程。初始时k 等于 的旧值，当s上升时，实际投资大于持平投资 ， 因而 为正,k 也开始上升，直至达到 的新值 ，并保持不变 。每单位有效劳动的投资图1.4 用于投资的储蓄率增加的效应20索洛增长模型图1.5 储蓄增长的效应skY/L的增长率lnY/Lc021索洛增长模型lS的变化导致k的变化总结在在图（1.5）中。其中（1.5）中的后两个图形是对每

8、个工人的平均产出 Y/L的分析。lY/L等于Af(k)，当k 不变时，其以A的增长率，即以速率g 增长。当k正在增加时，Y/L的增长既定源于K和A。因而Y/L的增长率大于g；但是当k达到 的新值时，只有A的增长对Y/L的增长起作用，增长率回复到g。l具体表现为每工人的产出增长率初始为g。在 时刻向上跳，然后逐渐回到其初始水平。22索洛增长模型oY/L等于Af(k),当 k不变时,Y/L 以g的速率增长，当k增加时，Y/L 的增长由于A和g的共同作用，因而大于g。o当k达到 的新值时，只有A 的增长对Y/L 增长期起作用，因而Y/L 的增长恢复到g。o因此储蓄率的永久性加产生了每个工人的平均产出

9、增长率的暂时性增加。对每工人的平均产出对每工人的平均产出Y/L的分析的分析23索洛增长模型o总之，储蓄率的变化只有水平效应，但不具有增长效应。o储蓄率的变化改变了在任何时点上每个工人的产出水平，但这并不影响平衡路上每个工人的平均产出增长率。24索洛增长模型储蓄率的变化对消费的影响储蓄率的变化对消费的影响o每单位有效劳动的消费等于f(k) 与（1-s）的乘积。o因此由于s在 处呈非连续的变化，而k并不发生这种变化，每单位有效劳动的消费初始发生向下跳跃。随着k的上升，且s仍处于较高水平，消费逐渐上升。（见图1.5的最后一部分。）o那么消费最终会超过s上升前的水平吗？25索洛增长模型o设 表示均衡增

10、长路径上单位有效劳动的消费，且在平衡增长路径上，实际投资等于持平投资，因而：其中 由s以及 n、 g 、 决定。因此（1.19）（1.20）26索洛增长模型o我们知道s的增加会提高 k 。即 o那么s的增加是否会在长期内提高或降低消费，这依存于 和 的大小关系。 两者的关系由以下图(1.6)表示： 27索洛增长模型图1.6 平衡增长路径上的产出投资与消费28索洛增长模型 p在第一个图中， 小于 因而当经济已经达到新的平衡增长路径时 ，储蓄率的增加也会降低消费。p在中图中，相反的情形成立。因而s的增加会在长提高消费。 p 在下图中，两者恰好相等。此时，s的边际变动在长期内不会对消费产生影响。并且

11、在各种平衡增长路径上，消费处在其最大水平上。 的值是著名的资本存量的黄金律水平。29索洛增长模型1.5 定量的含义 对于大多数模型，包括索罗模型，要获得精确的结论则要求界定函数形式与参数值。长期内储蓄增加对产出的长期效应，这时常需要进行数量性的分析。 但在大多数情况下，考虑长期均衡附近的近似值，则会了解更多的东西。30索洛增长模型 储蓄增加对产出的长期效应由如下式子给出：（1.21）因此，为求 。我们需要找到 。由于 由 的条件界定。因此 满足（1.22）对上式两边关于s 求导，可得：（1.23）储蓄的变动在长期内对产出的影响储蓄的变动在长期内对产出的影响31索洛增长模型（1.24）（1.25

12、）整理上式可以得到：把（1.24）带入（1.21）可以获得32索洛增长模型给（1.25）两边乘以 将其转化为一个弹性。第二个变化是利用 去替换。经过变化可得：（1.26）产出产出关于储蓄的弹性关于储蓄的弹性33索洛增长模型（1.27） 是在 的产出关于资本的弹性。 用 表示这个弹性则可以得到 因而只要知道了 便可以得到产出关于储蓄的弹性。34索洛增长模型l在竞争性市场上，不存在外部性，资本获得其边际产品。由平衡增长路径上的资本获得总产出量是 。因而。平衡增长路径上资本的总收入份额是 。l 在大多数国家，资本的收入份额约为1/3.则在长期内，关于储蓄的弹性约为1/2.因此储蓄的显著变化只会对平衡

13、增长路径的产出水平产生中度的影响。35索洛增长模型收敛速度实践上，我们不但对某种变化感兴趣，而且对变化的速度感兴趣。我们再次利用长期均衡附近的近似值来分析k 的值。在k= 附近， 的一阶泰勒展开式的近似值为（1.28）设 则上式变为（1.29）36索洛增长模型 方程（1.29）意味着在平衡增长路径附近， 以 大致同 的距离成比例的速度趋近 。则 的增长率不变，且等于 （1.30）37索洛增长模型（1.31）的计算方法38索洛增长模型由（1.31）来预测实际经济可能一怎样的速度趋向其平衡增长路径。 大约是每年 6% 。如果资本的份儿大约是 1/3. 大约为4%。因而K和y每年走完各自与 距离的4

14、%并且大致花18年的时间走完与其平衡路径值的一半距离。因此，不仅因储蓄率的显著变化的总体影响是中度的，而且也不会很出现。39索洛增长模型1.6索罗模型与增长理论的核心问题索罗模型确认了每工人平均产出的两种可能来源：每工人平均资本的差异与劳动有效性的差异。由于劳动的有效性的变化会导致每工人平均产出的永久性增长。且每工人平均资本的变化对平均产出的影响是中性的。则 索罗模型 的核心结论是：如果在市场中资本所需求的报酬是其对产出的贡献。那么物质积累的变化并不能解释世界氛围内的经济增长的显著差别，或者国家间的差别。40索洛增长模型直接的分析方法：直接的分析方法：如果每工人产出的差异为X倍，那么对数的差异

15、则为lnX倍，由于每工人平均产出关于每工人平均资本的弹性 是 。每工人平均资本对数必须有数量为 的差额。即每工人平均资本的差异为 。今天主要工业化国家每工人平均产出比起一百年前大100倍，比今天穷国大10倍。那么当 =1/3 每工人平均资本的差额为1000倍。但是实际上工业化国家的每工人平均资本存量比100年前高10倍。而且和穷国的2-3倍。考虑每工人平均资本所要求的差异考虑每工人平均资本所要求的差异41索洛增长模型间接的分析方法间接的分析方法o资本所需要的差额意味着资本报酬率的极大差异。在竞争性市场，资本的报酬率等于其边际产品 减去折旧 若函数是柯布道格拉斯函数其紧凑形式是 产出关于资本的弹

16、性为 。资本的边际产品为 o则资本的边际产品关于产出的弹性为 。o如果 =1/3 ，那么10倍的每工人平均产出意味着100倍的资本的边际产品的差异。o这与实际情况是很不相符合的。42索洛增长模型索罗模型的局限索罗模型的局限索罗模型把产出水平的差异归于劳动有效性的差异。但其对劳动有效性的差异很不完整。劳动的有效性的增长是外生的。更为基本的是模型并没有确认劳动的有效性是什么。它只是一个除了劳动与资本之外的影响产出的其他因素的杂物袋。可能包含知识劳动力的教育与技能产权的力量，基础设施质量等。43索洛增长模型1.7 经验性的应用o在索罗模型中，每工人平均产出的增长只依赖于技术进步。但短期增长或来源于技

17、术进步或资本积累。这可利用增长因素分析法来分析。（1.33）44索洛增长模型给该式两边同除以Y(t)并改写右边的项则可以得到：（1.34）这里 分别是t时刻产出关于劳动和资本的弹性。并且给两边同时减去 并利用 则得到每工人平均产出增长率的表达式。45索洛增长模型（1.35）上式把每工人平均产出的增长分解为每工人平均资本的增长的贡献和剩余项 索罗残值，它有时被解释为技术进步的贡献的度量。反映了除了资本积累通过私人报酬所作出的贡献之外的增长的所有来源。46索洛增长模型收敛性o有一个问题值得关注：穷国是否比富国更快的增长。人们期望出现这类收敛，有至少三个理由：索罗模型预期国家会收敛于平衡增长路径。o

18、索罗模型意味着资本在具有更多的每工人的平均资本的国家是较低的。这样存在资本由穷国向富国的转移。o若存在知识扩展，技术差异会随着穷国获得顶端的方法趋于减少。47索洛增长模型（1.36）这里ln(Y/N)是人均收入的对数， 是误差项，i表明了国家 ，如果存在收敛性，则b是负的。具有较高初始收入的国家存在较低的增长。 b取-1时对应着完全的收敛性；较高的收入在平均意义上一一对应降低了后续的增长，因而意味着1979年的人均产出与其在1870年不相关。而当b取零值时，增长和初始收入不相关，不存在收敛性。鲍莫尔检查了16个工业化国家由1870-1978年的收敛性。48索洛增长模型结论为：(0.094)(1

19、.37)回归几乎表明了完全的收敛性。在这个样本中，现在的收入基本上和100年前的收入不相关。49索洛增长模型然而，德朗格证明鲍莫尔的几轮大体上是伪造的。它存在两个问题。p一是样本的选择，因为历史数据是根据回忆性建立的，具有漫长历史数据系列的国家一般是现在属于工业化程度最高的国家。因此100年前并不富有国家，只有在其后100年内快速增长，也加进样本中。另外，100年前富裕的国家即使在随后的增长为中度的，也会包含到样本中。这样，在所选的样本国中，穷国比富国增长得更快。p二是度量误差。当1870年的收入被过高估计时，在随后的100年里，增长以一个相等的量被低估。因此在具有较高估计的初始收入的国家内，

20、即使实际增长和实际收入之间的关系不存在，但所度量的经济增长倾向于较低的。50索洛增长模型储蓄和投资o在一个每个国家都由索罗模型描述中，并且每个国家都有相同单位的有效劳动的资本量。那么一个国家的储蓄率上升，新增加的储蓄都在国内进行投资 ，那么该国的资本的边际报酬将下降到比其他国家低的水平。o这样，如果不在资本在国家流动的障碍，那么由新增储蓄获得的投资会在整个世界均匀扩散，那么具有高储蓄的国家并没有高投资。51索洛增长模型菲尔德斯汀与胡瑞卡考查了储蓄与投资之间的关系，发现与上述的分析相反，储蓄和投资之间具有强相关性。这可能是因为资本流动性的障碍显著存在，存在一些影响储蓄与投资的基本变量 。例如高税率会减少储蓄 也会减少投资，以及政府的政策因素也会对其产生影响。总之，储蓄和投资之间的相关性显著的不同于自然的基本模型的预期。是否这种差异反应了对基本模型的主要偏离或者一些非实质性的东西，这点还尚不清楚。52索洛增长模型Thank YouThank You53索洛增长模型