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1、 由此可见，离散小波变换可以表示成由低通滤波由此可见，离散小波变换可以表示成由低通滤波器和高通滤波器组成的一棵树。原始信号通过这器和高通滤波器组成的一棵树。原始信号通过这样的一对滤波器进行的分解叫一级分解。信号可样的一对滤波器进行的分解叫一级分解。信号可进行多级分解。如果对信号的高频分量不再分解，进行多级分解。如果对信号的高频分量不再分解，而对低频分量连续分解，就得到了小波分解树。而对低频分量连续分解，就得到了小波分解树。如图如图8-78-7 如果不仅对低频分量分解，也对高频分量分解就如果不仅对低频分量分解，也对高频分量分解就得到了小波包分解树。小波包分解树是小波分解得到了小波包分解树。小波包
2、分解树是小波分解树的一般化，可为信号分析提供更丰富详细的信树的一般化，可为信号分析提供更丰富详细的信息。息。小波与小波变换小波与小波变换小波分解树:小波与小波变换小波与小波变换l l小波包分解小波包分解小波与小波变换小波与小波变换小波与小波变换小波与小波变换3 小波重构 离散小波变换可以用来分解信号，也可以把分解的系数还原成原始信号，这个过程叫重构或合成。数学上叫做逆离散小波变换（IDWT)。 小波变换时包含滤波和降采样两个过程，而重构时要包含滤波和升采样过程。重构方法如图8-10 小波与小波变换小波与小波变换 在分解和重构过程中滤波器的选择是一个重要的研究在分解和重构过程中滤波器的选择是一个
3、重要的研究问题。在分解阶段，降采样会引起畸变，叫做混叠。问题。在分解阶段，降采样会引起畸变，叫做混叠。这就要求在分解和重构阶段精心选择关系紧密但不这就要求在分解和重构阶段精心选择关系紧密但不一定一致的滤波器才有可能取消这种混叠。通常采一定一致的滤波器才有可能取消这种混叠。通常采用正交镜像滤波器系统，它是由低通分解滤波器和用正交镜像滤波器系统，它是由低通分解滤波器和高通分解滤波器以及重构滤波器构成。高通分解滤波器以及重构滤波器构成。小波与小波变换小波与小波变换l l8.1.48.1.4小波定义小波定义 在数学上，小波定义为对给定函数局部化的函数。小在数学上，小波定义为对给定函数局部化的函数。小波
4、可由一个定义在有限区间的函数波可由一个定义在有限区间的函数 来构造，来构造， 称称为母小波或叫做基本小波。一组小波基函数可由缩放为母小波或叫做基本小波。一组小波基函数可由缩放和平移基本小波来生成和平移基本小波来生成 函数函数f(x)f(x)以小波以小波 为基的连续小波变换定义为函数为基的连续小波变换定义为函数f(x)f(x)与与 的内积，的内积， 小波与小波变换小波与小波变换第二节 哈尔函数8.2.1哈尔基函数 哈尔函数是小波系列中最简单的小波。 基函数是一组线性无关的函数，可以用来构造任意给定的信号。 哈尔基函数由一组分段常值函数组成的函数集。它定义在0，1）上，每一个分段常值函数的数值在一
5、个小的范围里是“1”，其他地方为“0”。 小波与小波变换小波与小波变换下面以图像为例并使用线性代数中的矢量空间来下面以图像为例并使用线性代数中的矢量空间来说明哈尔基函数。说明哈尔基函数。如果一幅图像仅由如果一幅图像仅由1 1个像素组成，这幅图像在整个个像素组成，这幅图像在整个00，1 1）上就是一个常值函数。用）上就是一个常值函数。用 表示这个表示这个常值函数，用常值函数，用 表示由这个常值函数生成的矢表示由这个常值函数生成的矢量空间，量空间，这个常值函数叫做框函数这个常值函数叫做框函数, ,它是构成矢量空间它是构成矢量空间 的基的基. .小波与小波变换小波与小波变换如果一幅图像由如果一幅图像
6、由2 2个像素组成，这幅图像在个像素组成，这幅图像在00，1 1）区间中有两个等间隔的子区间：）区间中有两个等间隔的子区间： 0 0，1/21/2）和）和1/21/2，1 1） ，每个区间各有一个常，每个区间各有一个常值函数。值函数。小波与小波变换小波与小波变换可以按照这种方法继续定义基函数和由它生成的可以按照这种方法继续定义基函数和由它生成的矢量空间。矢量空间。小波与小波变换小波与小波变换 哈尔基尺度函数哈尔基尺度函数 定义为定义为 公式公式其中，其中，j j为尺度因子，改变为尺度因子，改变j j使函数图形缩小或放大；使函数图形缩小或放大；i i为平移参数，改变为平移参数，改变i i使函数沿
7、使函数沿x x轴方向平移。轴方向平移。空间矢量定义为空间矢量定义为小波与小波变换小波与小波变换l l8.2.28.2.2哈尔小波函数哈尔小波函数小波函数通常用小波函数通常用 表示。与框函数对应表示。与框函数对应的小波称为基本哈尔小波函数定义如下：的小波称为基本哈尔小波函数定义如下：表达式表达式小波与小波变换小波与小波变换哈尔小波尺度函数哈尔小波尺度函数 定义为定义为用小波函数构成的矢量空间用表示用小波函数构成的矢量空间用表示表达式表达式 其中，其中，spsp表示线性生成；表示线性生成；j j为尺度因子，改变为尺度因子，改变j j使函数图像使函数图像缩小或放大；缩小或放大；i i为平移参数，改变为平移参数，改变i i使函数沿使函数沿x x轴方向平移。轴方向平移。小波与小波变换小波与小波变换生成矢量空间的W0哈尔小波为小波与小波变换小波与小波变换
