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1、线性代数期末复习提纲第一部分：基本要求（计算方面）1 四阶行列式的计算；2 N 阶特殊行列式的计算（如有行和、列和相等） ；3 矩阵的运算（包括加、减、数乘、乘法、转置、逆等的混合运算） ；4 求矩阵的秩、逆（两种方法） ；解矩阵方程；5 含参数的线性方程组解的情况的讨论；6 齐次、非齐次线性方程组的求解（包括唯一、无穷多解） ；7 讨论一个向量能否用和向量组线性表示；8 讨论或证明向量组的相关性；9 求向量组的极大无关组，并将多余向量用极大无关组线性表示；10将无关组正交化、单位化；11求方阵的特征值和特征向量；12讨论方阵能否对角化，如能，要能写出相似变换的矩阵及对角阵；13通过正交相似变
2、换（正交矩阵）将对称矩阵对角化；14写出二次型的矩阵，并将二次型标准化，写出变换矩阵；15判定二次型或对称矩阵的正定性。第二部分：基本知识一、行列式1行列式的定义a11a212用n个元素aij组成的记号an1a12a22an2a1na2n称为 n 阶行列式。ann（1）它表示所有可能的取自不同行不同列的 n 个元素乘积的代数和；（2）展开式共有 n!项，其中符号正负各半；2行列式的计算1 一阶行列式a a，二、三阶行列式有对角线法则；2 N 阶（n3）行列式的计算：降阶法定理：n 阶行列式的值等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积的和。方法：选取比较简单的一行（列） ，保保留一
3、个非零元素，其余元素化为 0，利用定理展开降阶。3 特特情况（1）上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积；（2）行列式值为 0 的几种情况：行列式某行（列）元素全为 0；行列式某行（列）的对应元素相同；行列式某行（列）的元素对应成比例；奇数阶的反对称行列式。二矩阵1矩阵的基本概念（表示符号、一些特殊矩阵如单位矩阵、对角、对称矩阵等） ；2矩阵的运算（1）加减、数乘、乘法运算的条件、结果；（2）关于乘法的几个结论：矩阵乘法一般不满足交换律（若 ABBA，称 A、B 是可交换矩阵） ；矩阵乘法一般不满足消去律、零因式不存在；若 A、B 为同阶方阵，则AB A B；nkA kA
4、3矩阵的秩（1）定义非零子式的最大阶数称为矩阵的秩；（2）秩的求法一般不用定义求，而用下面结论：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；阶梯形矩阵的秩等于非零行的个数（每行的第一个非零元所在列，从此元开始往下全为 0 的矩阵称为行阶梯阵） 。求秩：利用初等变换将矩阵化为阶梯阵得秩。4逆矩阵（1）定义：A、B 为 n 阶方阵，若 ABBAI，称 A 可逆，B 是 A 的逆矩阵（满足半边也成立） ；11111（2）性质：AB B A，A A；（3）可逆的条件：A 0；r(A)=n;A I（4）逆的求解伴随矩阵法A11A*；A施行初等行变换1初等变换法AI IA5用逆矩阵求解矩阵方程：AX B，则X A1B；
5、XB A，则X BA1；AXBC，则X A1CB1三、线性方程组1线性方程组解的判定无解 r(A,b) r(A)有唯一解定理：r(A,b) r(A) nr(A,b) r(A) n有无穷多组解特别地：对齐次线性方程组AX O，r(A) n，只有零解；r(A) n，有非零解再特别，若A为方阵，A 0，只有零解A =0，有非零解2齐次线性方程组（1）解的情况：r(A)=n， （或系数行列式D 0）只有零解；r(A)n， （或系数行列式 D0）有无穷多组非零解。（2）解的结构：X c11c22cnrnr。（3）求解的方法和步骤：将增广矩阵通过行初等变换化为最简阶梯阵；写出对应同解方程组；移项，利用自由
6、未知数表示所有未知数；表示出基础解系；写出通解。3非齐次线性方程组（1）解的情况：利用判定定理。（2）解的结构：X u c11c22cnrnr。（3）无穷多组解的求解方法和步骤：与齐次线性方程组相同。（4）唯一解的解法：有克莱姆法则、逆矩阵法、消元法（初等变换法） 。四、向量组1N 维向量的定义注：向量实际上就是特殊的矩阵（行矩阵和列矩阵） 。2向量的运算：（1）加减、数乘运算（与矩阵运算相同） ；（2）向量内积 a1b1a2b2anbn；（3）向量长度a12a22an2（4）向量单位化1；（5）向量组的正交化（施密特方法）设1,2,n线性无关，则11，22332111，3111132222，
7、。3线性组合（1） 定义若 k11k22knn， 则称是向量组1,2,n的一个线性组合， 或称可以用向量组1,2,n的一个线性表示。（2）判别方法将向量组合成矩阵，记A(1,2,n)，B=(B=(1,2,n,)若r (A)=r (B)，则可以用向量组1,2,n的一个线性表示；若r (A)r (B)，则不可以用向量组1,2,n的一个线性表示。（3）求线性表示表达式的方法：将矩阵 B 施行行初等变换化为最简阶梯阵，则最后一列元素就是表示的系数。4向量组的线性相关性（1）线性相关与线性无关的定义设k11k22knn 0，若k1,k2,kn不全为 0，称线性相关；若k1,k2,kn全为 0，称线性无关
8、。（2）判别方法： r(1,2,n)n，线性相关；r(1,2,n)=n，线性无关。若有 n 个 n 维向量，可用行列式判别：a11a21an1a12a22an2a1na2n0，线性相关（0 无关）ann5极大无关组与向量组的秩（1）定义极大无关组所含向量个数称为向量组的秩（2）求法设 A(1,2,n)，将A 化为阶梯阵，则A 的秩即为向量组的秩，而每行的第一个非零元所在列的向量就构成了极大无关组。五、矩阵的特征值和特征向量1定义对方阵 A，若存在非零向量 X 和数使AXX，则称是矩阵 A 的特征值，向量 X 称为矩阵 A 的对应于特征值的特征向量。2特征值和特征向量的求解：求出特征方程I A
9、0的根即为特征值，将特征值代入对应齐次线性方程组(I-A)X0 中求出方程组的所有非零解即为特征向量。3重要结论：（1）A 可逆的充要条件是 A 的特征值不等于 0；（2）A 与 A 的转置矩阵有A有相同的特征值；（3）不同特征值对应的特征向量线性无关。六、矩阵的相似1定义对同阶方阵 A、B，若存在可逆矩阵 P，使P1AP B，则称 A 与 B 相似。2求 A 与对角矩阵相似的方法与步骤（求 P 和） ：求出所有特征值；求出所有特征向量；若所得线性无关特征向量个数与矩阵阶数相同，则 A 可对角化（否则不能对角化） ，将这 n 个线性无关特征向量组成矩阵即为相似变换的矩阵 P，依次将对应特征值构成对角阵即为。3求通过正交变换 Q 与实对称矩阵 A 相似的对角阵：方法与步骤和一般矩阵相同，只是第三歩要将所得特征向量正交化且单位化。七、二次型n1定义n 元二次多项式fx1, x2, xnaijxixj称为二次型，若aij 0i j，则称为二交型i, j1的标准型。2二次型标准化：1配方法和正交变换法。正交变换法步骤与上面对角化完全相同，这是由于对正交矩阵 Q，Q Q，即正交变换既是相似变换又是合同变换。3二次型或对称矩阵的正定性：（1）定义（略） ；（2）正定的充要条件：A 为正定的充要条件是 A 的所有特征值都大于 0；A 为正定的充要条件是 A 的所有顺序主子式都大于 0；
