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1、3. 7. 3 3. 7. 3 其其 他他 未未 定定 式式 的的 定定 值值 法法 3. 7. 1 3. 7. 1 未未 定定 式式 的的 分分 类类3. 7. 2 3. 7. 2 商商 类类 洛洛 比比 达达 法法 则则 3 . 7机动 目录 上页 下页 返回 结束 洛 必 达 法 则 第 3 章 D37洛必达法则微分中值定理微分中值定理函数之商的极限函数之商的极限导数之商的极限导数之商的极限 转化转化洛必达法则洛必达法则洛必达 目录 上页 下页 返回 结束 本节内容概述：本节内容概述： Cauchy中值公式中值公式D37洛必达法则3.7.1 3.7.1 未定型的分类未定型的分类设设未定型
2、一般未定型一般分为以下几类：分为以下几类：1 . 商商 类类：.（ 型）型）若若.（ 型）型）若若2 . 积积 类类：. .（ 型）型） 若若D37洛必达法则3. . 和和 类类 ：.（ 型）型）若若.(.( 型）型）若若4. . 幂幂 类类 ：.（ 型）型）若若.（ 型）型） 若若D37洛必达法则3. 7. 2 3. 7. 2 商类洛比达法则商类洛比达法则定理：定理： (洛必达法则洛必达法则) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 型设设在在内内有定义，有定义，均可导且均可导且存在存在 ( 收敛或者收敛或者 ) ；）若若D37洛必达法则( 位于位于证明证明: :取取 * *此时此时显然显然在以
3、在以Cauchy 定理的条件，定理的条件，为端点的闭区间上满足为端点的闭区间上满足机动 目录 上页 下页 返回 结束 此时，此时，由由）知）知在在内必连续，内必连续，是是的可去间断点，的可去间断点，在在内必连续。内必连续。之间）之间）由由）知）知令令故C-公式公式D37洛必达法则2取取 此时，此时，由由类似地，可证类似地，可证 * * 取另外四种情形时定理也是成立的。取另外四种情形时定理也是成立的。证毕证毕D37洛必达法则例例 1. . 解解: :原式原式注意注意: 不是未定式不能用洛必达法则不是未定式不能用洛必达法则 !机动 目录 上页 下页 返回 结束 求求D37洛必达法则例例2. . 解
4、解: :原式原式 思考思考: 如何求如何求 ( n 为正整数为正整数) ?机动 目录 上页 下页 返回 结束 求求D37洛必达法则例例3. . 解解: :原式原式例例4. . 解解: :原式原式计算计算计算计算D37洛必达法则例例5. . 解解: :在在处二阶可导，处二阶可导，设函数设函数计算极限计算极限原式原式D37洛必达法则定理定理(洛必达法则洛必达法则)设函数设函数内有定义，内有定义，都在都在均存在，且均存在，且存在存在）型型若若（收敛或者收敛或者）；）；D37洛必达法则证证 明：明：收敛的情形收敛的情形:从而从而机动 目录 上页 下页 返回 结束 1）先证）先证考虑取考虑取 * *收敛
5、于一非零的常数，收敛于一非零的常数，（）若若则有则有D37洛必达法则（）若）若则取常数则取常数 由由 中结论中结论机动 目录 上页 下页 返回 结束 D37洛必达法则2 ) 再证再证的情形：的情形：完全类似完全类似: 分别取分别取之一时之一时,只须将定理中的条件只须将定理中的条件 2) 作相应的修改作相应的修改 , 定理仍然成立。定理仍然成立。定理2 目录 上页 下页 返回 结束 由已证由已证 1）的）的 （）得：）得：从而从而*为为定理证毕定理证毕D37洛必达法则例例 6. . 解解: :原式原式例例 7. . 解解: : 原式原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 （其中：（其中： 均为常
6、数）均为常数）求求求求（其中：（其中：为常数）为常数）D37洛必达法则例例 8. . 求求解解: :原式原式但原极限：但原极限：例例9. . 求求解解: :原式原式但原极限：但原极限：(发散发散)(循环循环)（收敛收敛）（收敛收敛）D37洛必达法则3. 7. 3 3. 7. 3 其他未定式的定值其他未定式的定值法法解决方法解决方法:通分转化转化取倒数转化转化取对数转化转化例例 5. . 解解: : 原式原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 未定式的形式：未定式的形式：计算计算（其中：（其中：0为常数）为常数）D37洛必达法则解解: 原式原式例例10. 求求机动 目录 上页 下页 返回 结束
7、通分转化转化取倒数转化转化取对数转化转化D37洛必达法则例例11.11. 求求解解: : 例5 目录 上页 下页 返回 结束 通分转化转化取倒数转化转化取对数转化转化D37洛必达法则例例12. 求求解解: :注意到注意到原式原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 D37洛必达法则例例13. 求分析分析: 为用洛必达法则为用洛必达法则 , 必须改求必须改求法法1 用洛必达法则用洛必达法则但对本题用此法计算很繁但对本题用此法计算很繁 ! 法法2原式原式例3 目录 上页 下页 返回 结束 D37洛必达法则对使用洛比达法则的说明：对使用洛比达法则的说明：1 . 法则只适应商类的不定式，其他类型的不定式
8、，法则只适应商类的不定式，其他类型的不定式，须化为商类后才能用该方法；须化为商类后才能用该方法；2 . 法则可多次连续使用，但要注意满足定理的条件；法则可多次连续使用，但要注意满足定理的条件；3 . 数列极限可转化成相应函数的极限用此法则计算；数列极限可转化成相应函数的极限用此法则计算；4 . 使用该法则的过程中，要兼顾其它求极限的方法，使用该法则的过程中，要兼顾其它求极限的方法，将其综合使用；将其综合使用；6 . 型化为型化为或或视具体形式而定，视具体形式而定，使其导函数简单，便于极限的计算；使其导函数简单，便于极限的计算；5 . 当当不存在或循环时，洛比达法则失效，不存在或循环时，洛比达法
9、则失效，但原极限仍可能存在；但原极限仍可能存在；原则上是原则上是D37洛必达法则内容小结内容小结洛必达法则洛必达法则令取对数机动 目录 上页 下页 返回 结束 D37洛必达法则思考与练习思考与练习1. 设是未定式极限 , 如果不存在 , 是否的极限也不存在 ? 举例说明 .极限说明 目录 上页 下页 返回 结束 原式分析分析:D37洛必达法则分析分析:3.原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 D37洛必达法则则4. 求解解: 令原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 D37洛必达法则求下列极限 :解解:备用题备用题机动 目录 上页 下页 返回 结束 D37洛必达法则令则原式 =解解:(用洛必
10、达法则)(继续用洛必达法则)机动 目录 上页 下页 返回 结束 D37洛必达法则解解:原式 =第三节 目录 上页 下页 返回 结束 D37洛必达法则例例4. 求(2) n 不为正整数的情形.从而由(1)用夹逼准则存在正整数 k , 使当 x 1 时,机动 目录 上页 下页 返回 结束 D37洛必达法则作业作业 P137 1 (6)，(7)，(9)，(12)，(13)，(16), 4第三节 目录 上页 下页 返回 结束 D37洛必达法则定理（证证: 仅就极限收敛的情形加以证明 .(洛必达法则)机动 目录 上页 下页 返回 结束 设内有定义，在均存在且存在；）型）若D37洛必达法则例3. 例4.对洛比达法则的说明对洛比达法则的说明:1) 例3 , 例4 表明时,后者比前者趋于更快 .例如,而用洛必达法则2) 在满足定理条件的某些情况下洛必达法则不能解决 计算问题 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 D37洛必达法则推论推论1.定理 1 中换为之一,推论推论 2.若理1条件, 则条件 2) 作相应的修改 , 定理 1 仍然成立.洛必达法则定理1 目录 上页 下页 返回 结束 D37洛必达法则3) 若例如例如,极限不存在机动 目录 上页 下页 返回 结束 D37洛必达法则
