弹性力学基础讲义

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1、第一章第一章 弹性力学基础弹性力学基础 1 概述概述2 应力状态应力状态3 应变状态应变状态1 概述概述1.1 弹性力学的任务弹性力学的任务1.2 弹性力学的基本假设弹性力学的基本假设1.3 弹性力学的发展和研究方法弹性力学的发展和研究方法1.1 弹性力学的任务弹性力学的任务弹性力学弹性力学也称也称弹性理论弹性理论固体力学学科的一个分支固体力学学科的一个分支 基本任务基本任务研究由于载荷或者温度改变，研究由于载荷或者温度改变，弹性体弹性体内内部所产生的位移、变形和应力分布等。部所产生的位移、变形和应力分布等。为解决工程结构的强度，刚度和稳定性问题为解决工程结构的强度，刚度和稳定性问题作准备。作

2、准备。 构件承载能力构件承载能力分析是分析是固体力学的基本任务固体力学的基本任务不同的学科分支，研究对象和方法是不同的不同的学科分支，研究对象和方法是不同的研究对象研究对象弹性体弹性体研究内容和基本任务与材料力学研究内容和基本任务与材料力学基本相同基本相同研究对象研究对象近似近似研究方法研究方法却有比较大的差别却有比较大的差别1.1 弹性力学任务弹性力学任务2材料力学的研究对象是杆件，平面假设确定材料力学的研究对象是杆件，平面假设确定横截面变形。横截面变形。一维数学问题一维数学问题，求解的基本方程是常微，求解的基本方程是常微分方程。分方程。弹性力学的弹性力学的研究对象研究对象是是完全弹性体完全

3、弹性体。只能从只能从微分单元体微分单元体入手，入手，三维数学问题三维数学问题，综合分析的结果是，综合分析的结果是偏微分偏微分方程边值问题方程边值问题。1.1 弹性力学任务弹性力学任务3建筑工程1.1 弹性力学任务弹性力学任务4建筑工程1.1 弹性力学任务弹性力学任务5航空航天工程1.1 弹性力学任务弹性力学任务6船舶机械工程1.1 弹性力学任务弹性力学任务71.1 弹性力学任务弹性力学任务8弹性弹性是变形固体的基本属性。是变形固体的基本属性。“完全弹性完全弹性”是对弹性体变形的抽象。是对弹性体变形的抽象。完全弹性使得物体变形成为一种理想模型。完全弹性使得物体变形成为一种理想模型。完全弹性是指在

4、一定温度条件下，材料的应力完全弹性是指在一定温度条件下，材料的应力和应变之间一一对应的关系。和应变之间一一对应的关系。这种关系与时间无关，也与变形历史无关。这种关系与时间无关，也与变形历史无关。材料的应力和应变关系通常称为材料的应力和应变关系通常称为本构关系本构关系；物理关系物理关系或者或者物理方程物理方程线性弹性体线性弹性体和和非线性弹性体非线性弹性体1.1 弹性力学任务弹性力学任务9常微分方程，数学求解没有困难。常微分方程，数学求解没有困难。偏微分方程边值问题，在数学上求解困难重重，偏微分方程边值问题，在数学上求解困难重重，除了少数特殊问题，一般弹性体问题很难得到除了少数特殊问题，一般弹性

5、体问题很难得到解析解。解析解。这里并不是说弹性力学分析不再需要假设，事这里并不是说弹性力学分析不再需要假设，事实上对于任何学科，如果不对研究对象作必要实上对于任何学科，如果不对研究对象作必要的抽象和简化，研究工作都是寸步难行的。的抽象和简化，研究工作都是寸步难行的。 研究方法的差别造成弹性力学与材料力学问题的最大不同。1.1 弹性力学任务弹性力学任务11工程问题的复杂性是诸多方面因素组成的。如工程问题的复杂性是诸多方面因素组成的。如果不分主次考虑所有因素，则问题的复杂，数果不分主次考虑所有因素，则问题的复杂，数学推导的困难，将使得问题无法求解。学推导的困难，将使得问题无法求解。根据问题性质，忽

6、略部分暂时不必考虑的因素，根据问题性质，忽略部分暂时不必考虑的因素，提出一些基本假设。使问题的研究限定在一个提出一些基本假设。使问题的研究限定在一个可行的范围。可行的范围。基本假设是学科的研究基础。基本假设是学科的研究基础。超出基本假设的研究领域是固体力学其它学科超出基本假设的研究领域是固体力学其它学科的研究。的研究。1.2 弹性力学基本假设弹性力学基本假设工程材料通常可以分为工程材料通常可以分为晶体晶体和和非晶体非晶体两种。两种。金属材料金属材料晶体材料，是由许多原子，离子晶体材料，是由许多原子，离子按一定规则排列起来的空间格子构成，其中间按一定规则排列起来的空间格子构成，其中间经常会有缺陷

7、存在。经常会有缺陷存在。高分子材料高分子材料非晶体材料，由许多分子的集非晶体材料，由许多分子的集合组成的分子化合物。合组成的分子化合物。工程材料内部的缺陷、夹杂和孔洞等构成了固工程材料内部的缺陷、夹杂和孔洞等构成了固体材料微观结构的复杂性。体材料微观结构的复杂性。1.2 基本假设基本假设21.1. 连续性假设连续性假设 假设所研究的整个弹性体内部完全由组成假设所研究的整个弹性体内部完全由组成物体的介质所充满，各个质点之间不存在任何物体的介质所充满，各个质点之间不存在任何空隙。空隙。变形后仍然保持连续性。变形后仍然保持连续性。根据这一假设，物体所有物理量，例如位移、根据这一假设，物体所有物理量，

8、例如位移、应变和应力等均为物体空间的连续函数。应变和应力等均为物体空间的连续函数。微观上这个假设不可能成立微观上这个假设不可能成立宏观假设。宏观假设。1.2 基本假设基本假设32.2. 均匀性假设均匀性假设 假设弹性物体是由同一类型的均匀材料假设弹性物体是由同一类型的均匀材料组成的。因此物体各个部分的物理性质都是组成的。因此物体各个部分的物理性质都是相同的，不随坐标位置的变化而改变。相同的，不随坐标位置的变化而改变。物体的弹性性质处处都是相同的。物体的弹性性质处处都是相同的。工程材料，例如混凝土颗粒远远小于物体的工程材料，例如混凝土颗粒远远小于物体的的几何形状，并且在物体内部均匀分布，从的几何

9、形状，并且在物体内部均匀分布，从宏观意义上讲，也可以视为均匀材料。宏观意义上讲，也可以视为均匀材料。对于环氧树脂基碳纤维复合材料，不能处理对于环氧树脂基碳纤维复合材料，不能处理为均匀材料。为均匀材料。1.2 基本假设基本假设43.3. 各向同性假设各向同性假设 假定物体在各个不同的方向上具有相同假定物体在各个不同的方向上具有相同的物理性质，这就是说物体的弹性常数将不的物理性质，这就是说物体的弹性常数将不随坐标方向的改变而变化。随坐标方向的改变而变化。 宏观假设，材料性能是显示各向同性。宏观假设，材料性能是显示各向同性。当然，像木材，竹子以及纤维增强材料等，当然，像木材，竹子以及纤维增强材料等，

10、属于各向异性材料。属于各向异性材料。这些材料的研究属于复合材料力学研究这些材料的研究属于复合材料力学研究的对象。的对象。1.2 基本假设基本假设54.4. 完全弹性假设完全弹性假设 对应一定的温度，如果对应一定的温度，如果应力和应变之应力和应变之间存在一一对应关系间存在一一对应关系，而且这个关系和时，而且这个关系和时间无关，也和变形历史无关，称为完全弹间无关，也和变形历史无关，称为完全弹性材料。性材料。完全弹性分为线性和非线性弹性，弹性力完全弹性分为线性和非线性弹性，弹性力学研究限于线性的应力与应变关系。学研究限于线性的应力与应变关系。研究对象的材料弹性常数不随应力或应变研究对象的材料弹性常数

11、不随应力或应变的变化而改变。的变化而改变。1.2 基本假设基本假设65.5. 小变形假设小变形假设 假设在外力或者其他外界因素（如温度假设在外力或者其他外界因素（如温度等）的影响下，物体的变形与物体自身几何等）的影响下，物体的变形与物体自身几何尺寸相比属于高阶小量。尺寸相比属于高阶小量。在弹性体的平衡等问题讨论时，可以不在弹性体的平衡等问题讨论时，可以不考虑因变形所引起的尺寸变化。考虑因变形所引起的尺寸变化。忽略位移、应变和应力等分量的高阶小忽略位移、应变和应力等分量的高阶小量，使基本方程成为线性的偏微分方程组。量，使基本方程成为线性的偏微分方程组。 1.2 基本假设基本假设7假设物体处于自然

12、状态，即在外界因素假设物体处于自然状态，即在外界因素作用之前，物体内部没有应力。作用之前，物体内部没有应力。弹性力学求解的应力仅仅是外力或温度改变弹性力学求解的应力仅仅是外力或温度改变而产生的。而产生的。6.6. 无初始应力假设无初始应力假设 1.2 基本假设基本假设8弹性力学的基本假设，主要包括弹性体的连续性、均匀性、各向同性、完全弹性和小变形假设等。这些假设都是关于材料变形的宏观假设。弹性力学问题的讨论中，如果没有特别的提示，均采用基本假设。这些基本假设被广泛的实验和工程实践证实是可行的。1.2 基本假设基本假设91.3 弹性力学的发展弹性力学的发展和研究方法和研究方法弹性力学是一门有悠久

13、历史的学科，早期弹性力学是一门有悠久历史的学科，早期研究可以追溯到研究可以追溯到16781678年，胡克年，胡克（R.HookeR.Hooke）发现胡克定律。发现胡克定律。这一时期的研究工作主要是通过实验方法这一时期的研究工作主要是通过实验方法探索物体的受力与变形之间的关系。探索物体的受力与变形之间的关系。近代弹性力学的研究是近代弹性力学的研究是从从1919世纪开始的。世纪开始的。柯西柯西18281828年提出应力、年提出应力、应变概念，建立了平衡微应变概念，建立了平衡微分方程，几何方程和广义分方程，几何方程和广义胡克定律。胡克定律。柯西的工作是近代弹性柯西的工作是近代弹性力学的一个起点，使得

14、弹力学的一个起点，使得弹性力学成为一门独立的固性力学成为一门独立的固体力学分支学科。体力学分支学科。 1.3 发展与研究方法发展与研究方法2柯西（柯西（A.L.CauchyA.L.Cauchy）而后，世界各国的一批而后，世界各国的一批学者相继进入弹性力学学者相继进入弹性力学研究领域，使弹性力学研究领域，使弹性力学进入发展阶段。进入发展阶段。18561856年，年，圣维南圣维南（A.J.Saint-VenantA.J.Saint-Venant）建立了柱体扭转和弯曲建立了柱体扭转和弯曲的基本理论；的基本理论；1.3 发展与研究方法发展与研究方法3圣维南圣维南（A.J.Saint-VenantA.J

15、.Saint-Venant）18621862年，艾瑞年，艾瑞（G.B.AiryG.B.Airy）发表了关于弹）发表了关于弹性力学的平面理论；性力学的平面理论；18811881年，赫兹建立了接触年，赫兹建立了接触应力理论；应力理论；1.3 发展与研究方法发展与研究方法4赫兹（赫兹（H.HertzH.Hertz）18981898年，年，基尔霍夫基尔霍夫建立建立了平板理论了平板理论; ;1824年生於德国，1887年逝世。曾在海登堡大学和柏林大学任物理学教授，他发现了电学中的“基尔霍夫定理”，同时也对弹性力学，特别是薄板理论的研究作出重要贡献。1.3 发展与研究方法发展与研究方法5基尔霍夫基尔霍夫(

16、 (G.R.KirchoffG.R.Kirchoff) )19301930年，年，发展了应用复变发展了应用复变函数理论求解弹性力学问题的方法等。函数理论求解弹性力学问题的方法等。另一个重要理论成果是建立种能量原理；另一个重要理论成果是建立种能量原理；提出一系列基于能量原理的近似计算方法。提出一系列基于能量原理的近似计算方法。许多科学家许多科学家. .像拉格朗日像拉格朗日(J.L.Lagrange)，乐乐甫甫(A.E.H.Love)，铁木辛柯铁木辛柯(S.P.Timoshenko)做出了贡献。做出了贡献。中国科学家钱伟长，钱学森，徐芝伦，胡海中国科学家钱伟长，钱学森，徐芝伦，胡海昌昌, ,等在弹

17、性力学的发展，特别是在中国的推等在弹性力学的发展，特别是在中国的推广应用做出了重要广应用做出了重要贡献。贡献。1.3 发展与研究方法发展与研究方法6钱伟长钱学森胡海昌1.3 发展与研究方法发展与研究方法7徐芝伦杨桂通1.3 发展与研究方法发展与研究方法8弹性力学弹性力学促进数学和自然科学基本理论的促进数学和自然科学基本理论的建立和发展；建立和发展；广泛工程应用广泛工程应用造船、建筑、航空和机械制造船、建筑、航空和机械制造等。造等。发展发展形成了一些专门的分学科；形成了一些专门的分学科；现代科学技术和工程技术现代科学技术和工程技术仍然提出新的理仍然提出新的理论和工程问题。论和工程问题。对于现代工

18、程技术和科研工作者的培养对于现代工程技术和科研工作者的培养对对于专业基础，思维方法以及独立工作能力都有于专业基础，思维方法以及独立工作能力都有不可替代的作用。不可替代的作用。1.3 发展与研究方法发展与研究方法9数学数学方法方法实验实验方法方法二者结合的方法二者结合的方法弹性力学的基本方程弹性力学的基本方程偏微分方程的边值偏微分方程的边值问题问题，求解的方法有解析法和近似解法。，求解的方法有解析法和近似解法。解析法在数学上难度极大，因此仅适用于个解析法在数学上难度极大，因此仅适用于个别特殊边界条件问题。别特殊边界条件问题。近似解法对于弹性力学有重要意义。近似解法对于弹性力学有重要意义。1.3

19、发展与研究方法发展与研究方法10数值解法数值解法计算机处理的近似解法。计算机处理的近似解法。现代科学技术，特别是计算机技术的迅速发现代科学技术，特别是计算机技术的迅速发展和广泛应用为基础。展和广泛应用为基础。有限元方法为代表的计算力学。有限元方法为代表的计算力学。以有限元为基础的以有限元为基础的CAD, CAE等技术，使计算等技术，使计算机不仅成为数值分析工具，而且成为设计分析机不仅成为数值分析工具，而且成为设计分析工具。工具。有限元方法以弹性力学为基础，有限元方法以弹性力学为基础，有限元方法将计算数学与工程分析相结合，有限元方法将计算数学与工程分析相结合，极大地扩展和延伸了弹性力学理论与方法

20、，取极大地扩展和延伸了弹性力学理论与方法，取得了当代力学理论应用的高度成就。得了当代力学理论应用的高度成就。1.3 发展与研究方法发展与研究方法112 2 应力状态应力状态研究对象三维弹性体微分单元体入手超静定问题静力平衡、几何变形和本构关系等三方面的条件本章从静力学观点出发，讨论一点的应力状态，建立平衡微分方程和边界条件。2.1 体力和面力体力和面力2.2 应力与应力张量应力与应力张量2.3 二维应力状态与平衡微分方程二维应力状态与平衡微分方程2.4 应力状态的描述应力状态的描述2.5 边界条件边界条件2.6 主应力与应力主方向主应力与应力主方向2.7 应力球张量和球应力偏张量应力球张量和球

21、应力偏张量2.1 体力和面力体力和面力物体外力物体外力分为两类分为两类体力体力 面力面力体力和面力分别为物体单位体积或者单位面体力和面力分别为物体单位体积或者单位面积的载荷。积的载荷。2.2 应力与应力张量应力与应力张量内力内力外界因素作用下，物体内部各个部外界因素作用下，物体内部各个部分之间的相互作用力。分之间的相互作用力。附加内力附加内力应力应力应力矢量应力矢量pn随截面的法线方向随截面的法线方向n的方向改变而变化的方向改变而变化 应力状态一点所有截面应力矢量的集合。显然，弹性体内某确定点各个截面的应力应力状态必然存在一定的关系。应力状态分析讨论一点截面方位改变引起的应力变化趋势。应力状态

22、对于结构强度是十分重要的。准确描述应力状态，合理的应力参数。为了探讨各个截面应力的变化趋势，确定可以描述应力状态的参数，通常将应力矢量分解。2.2 应力应力2应力矢量应力矢量沿坐标分解没有工程意义正应力和切应力正应力和切应力正应力正应力s n与切应力切应力t n 与结构强度关系密切根据截面方位不能完全确定切应力应力分量应力张量应力张量应力张量应力张量可以描述一点应力状态应力状态2.2 应力应力3应力张量应力张量应该注意应该注意应力分量是标量应力分量是标量箭头仅是说明方向箭头仅是说明方向 2.2 应力应力42.3 平衡微分方程平衡微分方程平衡物体整体平衡，内部任何部分也是平衡的。对于弹性体，必须

23、讨论一点的平衡。微分平行六面体单元平衡微分方程切应力互等定理 2.5 平衡方程平衡方程22.4 应力状态应力状态如果应力张量能够描述一点的应力状态，则如果应力张量能够描述一点的应力状态，则1.应力张量可以描述其它应力参数；应力张量可以描述其它应力参数；2. 坐标变换与应力张量关系；坐标变换与应力张量关系；3. 最大应力及其方位的确定。最大应力及其方位的确定。公式表明：已知应力张量，可以确定任意方位公式表明：已知应力张量，可以确定任意方位微分面的应力矢量。微分面的应力矢量。当然可以确定正应力当然可以确定正应力s s n与切应力与切应力t t n。应力矢量与应力分量的关系应力矢量与应力分量的关系2

24、.4 应力状态应力状态2l应力不仅随位置改变而应力不仅随位置改变而变化，而且随截面方位变化，而且随截面方位改变而变化。改变而变化。l同一点由于截面的法线同一点由于截面的法线方向不同，截面上的应方向不同，截面上的应力也不同。力也不同。l讨论应力分量讨论应力分量在坐标变在坐标变换时的变化规律换时的变化规律。 2.4 应力状态应力状态3任意斜截面的应力任意斜截面的应力转轴公式转轴公式应力分量应力分量满足满足张量张量变化规则变化规则应力张量应力张量为二阶对称张量为二阶对称张量转轴公式表明：新坐标系下的六个应力分转轴公式表明：新坐标系下的六个应力分量可通过原坐标系的应力分量确定。量可通过原坐标系的应力分

25、量确定。应力张量应力张量可以确定一点的可以确定一点的应力状态应力状态。坐标轴转轴后，应力分量发生改变。但是坐标轴转轴后，应力分量发生改变。但是作为整体所描述的作为整体所描述的应力状态没有变化应力状态没有变化。 2.4 应力状态应力状态4平面应力状态转轴公式平面应力状态转轴公式弹性力学以坐标系定义应力分量；弹性力学以坐标系定义应力分量； 材料力学以变形效应定义应力分量。材料力学以变形效应定义应力分量。正应力二者定义没有差异正应力二者定义没有差异而切应力定义方向不同而切应力定义方向不同2.4 应力状态应力状态52.5 边界条件边界条件弹性体的表面，应力分量必须与表面力满足面弹性体的表面，应力分量必

26、须与表面力满足面力边界条件，维持弹性体表面的平衡。力边界条件，维持弹性体表面的平衡。边界面力已知边界面力已知面力边界Ss s 面力边界条件确定的是弹性体表面外力与弹性体内部趋近于确定的是弹性体表面外力与弹性体内部趋近于边界的应力分量的关系。边界的应力分量的关系。2.5 边界条件边界条件2面力边界条件描述弹性体表面的平衡，描述弹性体表面的平衡，平衡微分方程描述弹性体内部的平衡。描述弹性体内部的平衡。这种平衡只是这种平衡只是静力学可能的平衡。真正处于平衡状态的弹性体，还必须满足真正处于平衡状态的弹性体，还必须满足变形连续条件。 2.5 边界条件边界条件3位移边界条件位移边界条件边界位移已知边界位移

27、已知位移边界Su 位移边界条件就是就是弹性体表面的性体表面的变形协调弹性体性体临近表面的位移与已知近表面的位移与已知边界位移相等界位移相等 2.5 边界条件边界条件4混合边界条件混合边界条件弹性体边界弹性体边界 SSs sSu部分边界位移已知部分边界位移已知位移边界Su 部分边界面力已知部分边界面力已知面力边界Ss s不论是不论是面力边界条件，位移边界条件，还是还是混合边界条件，任意边界的边界条件，任意边界的边界条件数必须等于数必须等于3 3个。个。2.6 主应力与应力主方向主应力与应力主方向转轴公式描述了应力随坐标转动的变化规律描述了应力随坐标转动的变化规律结构强度分析需要简化和有效的参数结

28、构强度分析需要简化和有效的参数最大正应力、最大切应力以及以及方位主应力和和主平面应力状态分析重要参数应力状态分析重要参数应力不变量进一步探讨进一步探讨应力状态主应力和主平面主应力分析主应力分析关于l，m，n的齐次线性方程组，非零解的条件为方程组的系数行列式等于零，即2.6 主应力主应力2展开 其中：其中： 主元之和主元之和 代数主子式之和代数主子式之和应力张量元素应力张量元素构成的行列式构成的行列式主应力特征方程2.6 主应力主应力3应力状态特征方程应力状态特征方程确确定定弹弹性性体体内内部部任任意意一一点点主主应应力力和和应应力力主轴方向。主轴方向。主主应应力力和和应应力力主主轴轴方方向向取

29、取决决于于载载荷荷、形形状状和和边界条件等，与坐标轴的选取无关。边界条件等，与坐标轴的选取无关。因因此此，特特征征方方程程的的根根是是确确定定的的，即即I1 1、I2 2、I3 3的值是不随坐标轴的改变而变化的。的值是不随坐标轴的改变而变化的。I1 1、I2 2、I3 3 分分别别称称为为应应力力张张量量的的第第一一、第第二二和第三和第三不变量不变量。2.6 主应力主应力4特征方程有三个实数根特征方程有三个实数根s s1 1，s s2 2，s s3 3分分别别表表示示这这三三个个根根，代代表表某某点点三三个个主应力。主应力。对于对于应力主方向应力主方向，将，将s s1 1，s s2 2，s s

30、3 3分别代入分别代入和和 l2+m2+n2=1则可求应力主方向。则可求应力主方向。2.6 主应力主应力5主应力和应力主方向取决于结构外力和约束条件，与坐标系无关。因此特征方程的三个根是确定的。特征方程的三个根，即一点的三个主应力均为实数。根据三次方程性质可以证明。任意一点三个应力主方向是相互垂直的三个应力主轴正交的。应力不变量性质应力不变量性质坐标系的改变导致应力张量各分量变化，但应力状态不变。应力不变量正是对应力状态性质的描述。2.6 主应力主应力6l不变性l实数性l正交性主应力正交性证明：主应力正交性证明：下面证明下述结论：下面证明下述结论：1.若若s1s2s3，特征方程无重根；特征方程

31、无重根； 应力主轴必然相互垂直应力主轴必然相互垂直；2.若若s1s2s3，特征方程有两重根；特征方程有两重根； s s1和和s s2的的方方向向必必然然垂垂直直于于s s3的的方方向向。而而s s1和和s s2的方向可以是垂直的，也可以不垂直；的方向可以是垂直的，也可以不垂直；3. 若若s1=s2=s3，特征方程有三重根；特征方程有三重根； 三三个个应应力力主主轴轴可可以以垂垂直直，也也可可以以不不垂垂直直，任何方向都是应力主轴任何方向都是应力主轴。2.6 主应力主应力7设s1，s2，s3 的方向分别为（l1，m1，n1），（l2，m2，n2）和（l3，m3，n3），则 分别乘以l2，m2，n

32、2 分别乘以-l1,-m1,-n1六式相加，可得 2.6 主应力主应力8如果 s1s2s33个应力主方向相互垂直 如果 s1=s2s3可以等于零，也可以不等于零。 s3与s1和s2的方向垂直，而s1和s2的方向可以垂直或不垂直。s3的垂直方向都是s1和s2的应力主向。2.6 主应力主应力9如果 s1=s2=s3则 l1l2+m1m2+n1n2 l2l3+m2m3+n2n3l1l3+m1m3+n1n3 均可为零或者不为零。任何方向都是应力主方向。 因此问题可证。1.若s1s2s3，应力主轴必然相互垂直；2.若s1s2s3，s1和s2必然垂直于s3。而s1和s2可以是垂直的，也可以不垂直；3. 若

33、s1=s2=s3，任何方向都是应力主轴。2.6 主应力主应力10主应力是一点所有微分面上最大或最小的主应力是一点所有微分面上最大或最小的正应力。正应力。主应力和主平面分析确定最大正应力及其主应力和主平面分析确定最大正应力及其作用方位；作用方位；最大切应力的确定。最大切应力的确定。讨论任意截面正应力和切应力的变化趋势讨论任意截面正应力和切应力的变化趋势应力圆。最大切应力以及方位的确定。最大切应力以及方位的确定。2.6 主应力主应力11正应力和切应力分析分析1 2 3应力圆最大切应力方位2.6 主应力主应力122.7 应力球张量和应力偏张量应力球张量和应力偏张量应力张量的分解应力张量的分解应力球量

34、改变单元应力球量改变单元体体积，体体积，应力偏量改变单元应力偏量改变单元体形状。体形状。 八面体单元八面体单元2.7 应力分解应力分解23 3 应变状态应变状态物体变形位移与应变的基本关系几何方程应变状态分析位移的单值连续性质 3.1 3.1 变形与应变概念变形与应变概念3.2 3.2 主应变与主应变方主应变与主应变方向向3.3 3.3 应变协调方程应变协调方程3.1 变形与应变概念变形与应变概念 由于外部因素 物体内部各点空间位置发生变化 位移形式刚体位移刚体位移：物体内部各点位置变化，但仍保持初始状态相对位置不变。变形位移变形位移：位移不仅使得位置改变，而且改变了物体内部各个点的相对位置。

35、载荷或温度变化位移位移位移u，v，w是单值连续函数进一步分析位移函数具有连续的三阶导数一点的变形通过微分六面体单元描述微分单元体的变形，分为两部分讨论正应变棱边的伸长和缩短 切应变棱边之间夹角（直角）改变3.1 变形变形2几何方程 位移分量和应变分量之间的关系 几何方程又称柯西方程微分线段伸长正应变大于零微分线段夹角缩小切应变分量大于零3.1 变形变形3几何方程位移导数表示的应变应变描述一点的变形，但还不足以完全描述弹性体的变形原因是没有考虑单元体位置的改变单元体的刚体转动 刚性位移可以分解为平动与转动刚性转动变形位移的一部分，但是不产生变形。3.1 变形变形4微分单元体的刚性转动与协调相关转

36、动矢量描述微分单元体的刚性转动 转动分量 刚体转动位移增量变形位移增量位移增量是由两部分组成的3.1 变形变形5变形通过应变描述 坐标变换时，应变分量是随之坐标改变而变化。应变分量的转轴公式应变张量3.2 主应变与主应变方向主应变与主应变方向应变状态应变状态应变张量一旦确定，则任意坐标系下的应变分量均可确定。因此应变状态就完全确定。坐标变换后各应变分量均发生改变，但作为一个整体，所描述的应变状态并未改变。主应变与应变主轴 切应变为0的方向 应变主轴方向的正应变应变主轴主应变3.2 主应变主应变2应变状态特征方程l，m，n齐次线性方程组非零解的条件为方程系数行列式的值为零 展开展开 3.2 主应

37、变主应变3主应变确定应变主轴方向变形应变不变量第一，第二和第三应变不变量 一点的应变状态与坐标系选取无关，因此坐标变换不影响应变状态是确定的。应变不变量就是应变状态性质的表现3.2 主应变主应变4应力张量应变张量应力不变量应变不变量主应变和应变主轴与主应力和应力主轴的特性类似各向同性材料，应力主轴和应变主轴是重合的公式比较公式比较3.2 主应变主应变5体积应变弹性体一点体积的改变量引入体积应变有助于 简化公式 解释3.2 主应变主应变63.3 应变协调方程应变协调方程数学意义：几何方程6个应变分量通过3个位移分量描述力学意义变形连续弹性体任意一点的变形必须受到其相邻单元体变形的约束例例3-1

38、设 ex =3x, ey =2y, gxy =xy, ez =gxz =gyz =0,求其位移。解解：显然该应变分量没有对应的位移。要使这一方程组不矛盾，则六个应变分量必须满足一定的条件。以下我们将着手建立这一条件。 3.3 应变协调应变协调2l要使几何方程求解位移时方程组不矛盾，则六个应变分量必须满足一定的条件。l从几何方程中消去位移分量，第一式和第二式分别对y和 x求二阶偏导数，然后相加可得3.3 应变协调应变协调3u将几何方程的四，五，六式分别对z，x，y求一阶偏导数u前后两式相加并减去中间一式，则对x求一阶偏导数，则 分别轮换x,y,z，则可得如下六个关系式 3.3 应变协调应变协调4

39、u将几何方程的四，五，六式分别对z，x，y求一阶偏导数u前后两式相加并减去中间一式，则应变协调方程圣维南 （Saint Venant）方程 3.3 应变协调应变协调5变形协调方程的数学意义使3个位移为未知函数的六个几何方程不相矛盾。变形协调方程的物理意义物体变形后每一单元体都发生形状改变，如变形不满足一定的关系，变形后的单元体将不能重新组合成连续体，其间将产生缝隙或嵌入现象。为使变形后的物体保持连续体，应变分量必须满足一定的关系。 3.3 应变协调应变协调6证证明明应变协调方程是变形连续的必要和充分条件。变形连续的物理意义，反映在数学上则要求位移分量为单值连续函数。目标如果应变分量满足应变协调

40、方程，则对于单连通域，就可以通过几何方程积分求得单值连续的位移分量。利用位移和转动分量的全微分，则轮换x , y, z，可得du，dv和dwy，dwz 3.3 应变协调应变协调7如通过积分，计算出 是单值连续的，则问题可证。 保证单值连续的条件是积分与积分路径无关 3.3 应变协调应变协调8根据格林公式回代3.3 应变协调应变协调9回代到第四式 wx单值连续的必要与充分条件是 同理讨论wy，wz的单值连续条件，可得其它4式变形协调方程。由此可证变形协调方程是单连通域位移单值连续的必要和充分条件。 3.3 应变协调应变协调10变形协调方程单连通域位移单值连续的必要和充分条件多连通域位移单值连续的

41、必要条件充分条件是位移的连续补充条件3.3 应变协调应变协调11位移边界条件位移边界条件 q应变满足应变满足变形协调方程变形协调方程，保证弹性体内部，保证弹性体内部的变形单值连续。的变形单值连续。q边界变形协调要求边界位移满足边界变形协调要求边界位移满足位移边界位移边界条件。条件。 q位位移移边边界界条条件件临临近近表表面面的的位位移移或或和和变变形与已知边界位移或变形相等。形与已知边界位移或变形相等。3.3 应变协调应变协调12如果物体表面的位移已知，称为位移边界位移边界用Su表示。如果物体表面的位移 已知边界条件为称为位移边界条件3.3 应变协调应变协调13设物体表面为S位移已知边界Su面力已知边界Ss则 SSuSs弹性体的整个边界，是由面力边界和位移边界构成的。任意一段边界，可以是面力边界，或者位移边界。面力边界和位移边界在一定条件下是可以转换的，例如静定问题。3.3 应变协调应变协调14某些问题，边界部分位移已知，另一部分面力已知，这种边界条件称为混合边界条件混合边界条件。不论是面力边界条件，位移边界条件，还是混合边界条件，弹性体任意边界的边界条件数目不能超过或者少于3个，必须等于3个。3.3 应变协调应变协调15