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1、函数的图象函数的图象 要求要求: :熟练掌握熟练掌握一次函数一次函数, ,二次函数二次函数, ,指数函数指数函数, ,对数函数对数函数, ,幂函数幂函数, ,反比例函反比例函数数的图象的图象. .基本初等函数的图象基本初等函数的图象作图作图 函数图象的作法有两种常见的方法：函数图象的作法有两种常见的方法： 一是描点法；二是图象变换法一是描点法；二是图象变换法1.1.描描点点法法：描描点点法法作作函函数数图图象象是是根根据据函函数数解解析析式式，列列出出函函数数中中x,yx,y的的一一些些对对应应值值表表，在在坐坐标标系系内内描描出出点点，最最后后用用平平滑滑的的曲曲线线将将这这些些点点连连接接
2、起起来来. .利利用用这这种种方方法法作作图图时，要与研究函数的性质结合起来时，要与研究函数的性质结合起来 2.2.图图象象变变换换法法：常常用用变变换换方方法法有有四四种种，即即平平移移变变换换、对称变换、翻折变换、伸缩变换。对称变换、翻折变换、伸缩变换。步骤：步骤：（1 1）确定定义域；（）确定定义域；（2 2）列表；）列表；（3 3）描点；（）描点；（4 4）连线成图）连线成图问题问题1：如何由：如何由f(x)=x2的图象得到下列各函的图象得到下列各函数的图象？数的图象？（1）f(x-1)=(x-1)2（2）f(x+1)=(x+1)2（3）f(x)+1=x2+1（4）f(x) -1=x2
3、-1Oyxy=f(x-1)y=f(x+1)y=f(x)-1y=f(x)+1y=f(x)+111-1-1向左平移向左平移a个单位个单位向右平移向右平移a个单位个单位上上移移a下下移移ay=f（x）+ay=f（x）-ay=f(x)y=f(x-a)y=f(x+a)1 1、函数图象的平移变换：、函数图象的平移变换： （设（设a0) )问题问题2 2：说出下列函数的图象与指数函数：说出下列函数的图象与指数函数y=2y=2x x的的图象的关系，并画出它们的示意图图象的关系，并画出它们的示意图. .(1)y=2-x(2)y=-2x(4)y=log2x(3)y=-2-xOyOyOyOy11-11-111（x,
4、y)x,y)和和(-x,y)(-x,y)关于关于y y轴对称！轴对称！（x,y)x,y)和和(x,-y)(x,-y)关于关于x x轴对称！轴对称！（x,y)x,y)和和(-x,-(-x,-y)y)关于原点对称！关于原点对称！（x,y)x,y)和和(y,x)(y,x)关关于直线于直线y=xy=x对称！对称！xxxx C1 :y=f(x) y=f(x) 关于关于y y 轴对称轴对称关于关于x x 轴对称轴对称C2 :y=f(-x) y=f(x)y=f(x)关于关于直线直线 x=ax=a对称对称 y=f(x)关于关于直线直线 y y = x = x对称对称关于关于原点原点对称对称2 2、对称变换：、
5、对称变换：两个图象之间的对称两个图象之间的对称C1:y=ax (0a1)C3 :y=-f(-x)C4 :y= -f(x)C C6 6 : y=f(2a-x) : y=f(2a-x) C5:y=logax(0a1) y=f(x)y=f(x)关于点（关于点（a a，0 0）对称）对称y=-f(2a-x) y=-f(2a-x) 区别：一个函数图象自身的对称区别：一个函数图象自身的对称偶函数的图象关于偶函数的图象关于y y轴对称；轴对称；奇函数的图象关于原点对称；奇函数的图象关于原点对称；若函数若函数f f( (x x) )满足：对于任意满足：对于任意x xRR都有都有f f( (a a+ +x x)
6、=)=f f( (a a- -x x),),则则f f( (x x) )的图象关于直线的图象关于直线x x= =a a对称对称. .问题问题3：分别在同一坐标系中作出下列各组函：分别在同一坐标系中作出下列各组函数的图象，并说明它们之间有什么关系？数的图象，并说明它们之间有什么关系？（1）y=2x与与y=2|x|（2）y=log2x与与y=|log2x|OxyOxy由由y=f(x)的图象作的图象作y=f(|x|)的图象：的图象：由由y=f(x)的图象作的图象作y=|f(x)|的图象：的图象：y=2x 保留保留y=f(x)中中y轴轴右侧部分，再加上这部右侧部分，再加上这部分关于分关于y轴对称的图形
7、轴对称的图形. 保留保留y=f(x)中中x轴上轴上方部分，再加上下方部方部分，再加上下方部分关于分关于x轴对称的图形轴对称的图形.11y=2|x|y=log2xy=|log2x|3、翻折变换（含绝对值的函数的图象）、翻折变换（含绝对值的函数的图象）（1）作函数）作函数f（| x |）的图象）的图象:作出作出 f f（x x）当）当x x00时的图象；时的图象；作作的关于的关于y y轴对称的图象轴对称的图象. .（2 2）作函数）作函数| | f f（x x）| |的图象：的图象：作出作出 f f（x x）的图象；）的图象；把把的在的在x x轴上方的图象保留不变，在轴上方的图象保留不变，在x x
8、轴下方轴下方的图象关于的图象关于x x轴对称翻到轴对称翻到x x轴上方轴上方. .（利用偶函数的性质）（利用偶函数的性质）右留翻左右留翻左上留下翻上留下翻4.4.伸缩变换：伸缩变换：0 0w1 1，横坐标缩短到原来的，横坐标缩短到原来的 倍倍0 0AAA1 1，纵坐标伸长到原来的，纵坐标伸长到原来的A A倍倍y= =f( (x) )y= =Af( (x) )例例1.将函数将函数y=lgx的图象向左平移的图象向左平移1个单位，再作关于个单位，再作关于原点对称的图形后原点对称的图形后.求所得图象对应的函数解析式求所得图象对应的函数解析式.y=lgxy=lg(x+1)-y=lg(-x+1)y y =
9、-lg(-=-lg(-x+1)x+1)向左平移向左平移1个单位个单位关于原点对称关于原点对称x x换成换成-x-xy y换成换成-y-yx 换成换成 x+1解：解：函数图象的应用题型1、图象变换练习练习. 说明由函数说明由函数y=2x的图象经过怎样的图象变换的图象经过怎样的图象变换可得到函数可得到函数y=2-x-3+1的图象的图象.解解: :(1)(1)作出函数作出函数y=2=2x的图象关于的图象关于y y轴的对称图形，轴的对称图形，得得y=2=2- -x的图象；的图象；（2 2）把函数）把函数y=2=2- -x的图象向左平移的图象向左平移3 3个单位得到函个单位得到函数数y=2=2- -x-
10、3-3的图象；的图象；（3 3）把函数）把函数y=2=2- -x-3-3的图象向上平移的图象向上平移1 1个单位得到函个单位得到函数数y=2=2- -x-3-3+1+1的图象的图象. . 分析分析:y=2xy=2-xy=2-x-3y=2-x-3+1练习练习.y=lg(2x+6)的图象可看成是由的图象可看成是由y=lg(2x)的的图象向图象向 平行移动平行移动 个单位而得到个单位而得到. 2x2x+6=2(x+3) xx+3左左3 y=lg(2x) y=lg(2x+6)x的系数不的系数不为1，先提后移，先提后移x换成换成x-1向下平移向下平移1个单位个单位Oyx-11向右平移向右平移1个单位个单
11、位（1，-1）解：解：题型2、作图例例3.已知函数已知函数y=|2x-2| （1）作出函数的图象；）作出函数的图象；（2）指出函数）指出函数 的单调区间；的单调区间；（3）指出）指出x取何值时，函数有最值。取何值时，函数有最值。 Oxy3211-1y=2x y=2x-2 y=|2x-2| y=|2x-2|解：解：练习：分分别画出下列函数的画出下列函数的图象：象：(1)y2x21；(4)yx22|x|1 (3)ysin|x|；(5)y|log2(x1)|.解解: : 因为因为f f( (x x) )是偶函数是偶函数, ,所以图象关于所以图象关于y y轴对称轴对称, ,先先作作x x00时时, ,
12、f f( (x x)= )= 的图象的图象, ,再利用对称再利用对称可得可得f f( (x x) )的图象如下：的图象如下：由图象可知由图象可知f f( (x x) )的单调减区间为的单调减区间为0,1)0,1)和和(1,+).(1,+).xyo(1)(1)当当a a取何值时，方程取何值时，方程 有：有：两个根？两个根？三个根？三个根？四个根？四个根？ -3-331.1.数形结合求参数的值或范围数形结合求参数的值或范围题型题型3 3、用图、用图 小结小结 有关方程实根个数问题，可以转化为函数图有关方程实根个数问题，可以转化为函数图象交点问题象交点问题.利用数形结合法进行求解利用数形结合法进行求
13、解.Oyx-414-1y=a(a=0)有两个交点有两个交点y=a(0a4)有二个交点有二个交点y=a(a0)没有交点没有交点(3)(3)关于关于x的方程的方程| |x2 2-4-4x+3|-+3|-a= =x有三个不相等有三个不相等的实根，求实数的实根，求实数a的值的值. .（4 4）. . 若直线若直线y y=2=2a a与函数与函数y y=|=|a ax x-1|(0-1|(0aa1)1)的图的图象有两个交点，求实数象有两个交点，求实数a a的取值范围的取值范围. .B2-2xyo 函数函数 的图象与直线的图象与直线 的交点个数为的交点个数为_; 方程方程 的解为的解为_ 利用函数图象解不
14、等式：利用函数图象解不等式： 2.利用函数图象解方程或不等式利用函数图象解方程或不等式-1-11个（4）方程方程lgxsinx的实根个数是的实根个数是_个个3(4) 使使 成立的成立的 x 的取值范围是的取值范围是_。 xyo1-1(4) 使使 成立的成立的 x 的取值范围是的取值范围是_。 xyo1-1(-1,0)B1.题型题型4、识图、识图:由图定式由图定式1. 函数函数 的图象是的图象是( )xyoABCDxxyoxyoxyo1111-1-111D由式定图由式定图 2.(2010山东山东)函数函数y2xx2的图象大致是的图象大致是()A3（2011陕西陕西,理理）设函数设函数 （ R）满
15、足）满足 ， ,则函数则函数 的图像是的图像是 （ ）B（2011四川四川,理理）若）若 是是R上的奇函数，且当上的奇函数，且当时，时， ，则，则 的反函数的图象大致是的反函数的图象大致是A B由图定值由图定值1.AB2.D3. 在下列图象中，二次函数在下列图象中，二次函数 与指数函数与指数函数 的图象只可能是的图象只可能是( )AABCDxyo1xyoxyoxyo111-1-14C图式交汇图式交汇AABCD1.1.现有如图所示的一个圆台型杯子，向杯中匀速注水，现有如图所示的一个圆台型杯子，向杯中匀速注水，杯中水面的高度杯中水面的高度h随时间随时间t变化的图象是变化的图象是()C与容器注水有关
16、的图象问题与容器注水有关的图象问题2.向形状如右向形状如右图，高，高为H的水瓶注水，注的水瓶注水，注满为止，止，若将注水量若将注水量V看作水深看作水深h的函数，的函数，则函数函数Vf(h)的的图象是下象是下图中的中的()A3.从水平放置的球体容器从水平放置的球体容器的顶部的一个孔向球内的顶部的一个孔向球内以相同的速度注水，容以相同的速度注水，容器中水面的高度与注水器中水面的高度与注水时间时间t之间的关系用图象之间的关系用图象表示为图中的表示为图中的()(A) (B) (C) (D)A4. 向高为向高为 H 的水瓶的水瓶中注水，注满为止，如果注水量中注水，注满为止，如果注水量V与水深与水深 h
17、的函数关系的图象如的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是图所示，那么水瓶的形状是 ( )DAB ChVoHB5 .四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示盛满酒后他们径相等的圆口酒杯，如图所示盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半设剩余酒的高约定：先各自饮杯中酒的一半设剩余酒的高度从左到右依次为度从左到右依次为h1，h2，h3，h4，则它们的，则它们的大小关系正确的是（大小关系正确的是（ ） A. h2，h1，h4B. h1，h2，h3C. h3，h
18、2，h4D. h2，h4，h1AA6.（08全国全国I）汽车经过启动、加速行使、减速行使汽车经过启动、加速行使、减速行使之后停车，若把这一过程中汽车的行使路程之后停车，若把这一过程中汽车的行使路程s看作是看作是时间时间t的函数，其图象可能是（的函数，其图象可能是（ ）考点考点5.函数图象的对称问题函数图象的对称问题 例例 （1 1）若函数）若函数f( (x) )满足对于任意满足对于任意xR都有都有f( (x)=)=f(2(2a- -x),),求证求证f( (x) )的图象关于直线的图象关于直线x= =a对称对称. .（2 2）求证函数）求证函数y= =g( (x) )与与y= =g(2(2a-
19、 -x) )的图象关于的图象关于直线直线x= =a对称对称. . 点评点评 （1 1）证明一个函数图象关于一直线对称，可以在图象上证明一个函数图象关于一直线对称，可以在图象上任取任取一点，然后求出该点关于直线对称的点，并证明对称点也在一点，然后求出该点关于直线对称的点，并证明对称点也在该函数的图象上该函数的图象上.（2 2）证明两个函数图象关于一直线对称，必须分两步：第一步，证明两个函数图象关于一直线对称，必须分两步：第一步，在第一个函数的图象上在第一个函数的图象上任取任取一点，证明该点关于直线对称的点在一点，证明该点关于直线对称的点在第二个函数的图象上；第二步在第二个函数的图象上第二个函数的
20、图象上；第二步在第二个函数的图象上任取任取一点，一点，证明该点关于直线的对称点在第一个函数的图象上证明该点关于直线的对称点在第一个函数的图象上.1.1.求证：函数求证：函数y= =f( (a+ +x) )与与y= =f( (b- -x) )的图象的图象关于直线关于直线x = = 对称（其中对称（其中a, ,b为常数）为常数）. . 练习练习小小 结结1.1.已学的画函数图象的基本方法：已学的画函数图象的基本方法：（1 1）描点法：）描点法：（2 2）图象变换法）图象变换法3.3.用图象变换法画函数图象的简图时，往往要找出该函用图象变换法画函数图象的简图时，往往要找出该函数的基本初等函数，分析其
21、通过怎样的变换数的基本初等函数，分析其通过怎样的变换( (平移、对称平移、对称等等) )而得到。有时要先对解析式进行适当的变形。而得到。有时要先对解析式进行适当的变形。2.2.画函数图象时可先确定函数的定义域、讨论函数的性画函数图象时可先确定函数的定义域、讨论函数的性质（如单调性、奇偶性、特殊点等质（如单调性、奇偶性、特殊点等),),再用描点法或图象再用描点法或图象变换法得出图象。变换法得出图象。4.4.利用函数的图象判定单调性、求方程根的个数、解利用函数的图象判定单调性、求方程根的个数、解不等式、求最值等，体现了数形结合的数学思想。不等式、求最值等，体现了数形结合的数学思想。同学们来学校和回家的路上要注意安全同学们来学校和回家的路上要注意安全
