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1、 利用导数求最值 导数是研究数学和其他自然科学的基础，是研究客观事物变化率和优化问题的有利工具， 研究导数， 有利于对数学的本质和价值的认识。 导数的工具性已渗透到数学的很多分支，在函数的研究中得到充分的体现，主要涉及到研究曲线的切线问题、函数的单调性、函数的极值、最值等。下面就利用导数求最值作一阐述，供参考。 一、函数的最大值与最小值 在闭区间ba,上连续，在（ba,）内可导，)(xf在ba,上求最大值与最小值的步骤：先求 )(xf在（ba,）内的极值；再将)(xf的各极值与)(af、)(bf比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。 求可导函数极值的步骤： 首先：求导数)(xf；再
2、求导数)(xf=0 的根；最后：检查)(xf在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么)(xf在这个根处取极大值；如果左负右正，那么)(xf在这个根处取极小值。 二、利用导数求最值 例 1、设0x，求32) 1(32) 1(211lnxxxx的最小值。 解：设32) 1(32) 1(211ln)(xxxxxf，则 2222) 1(2) 1() 1(1) 1(2) 1(11)(xxxxxxxxxf 2222212) 1() 1(21) 1() 1(211) 1(xxxxxxxxxx .12) 1(23xxx 令0)( xf，由0x，解得1x。列表： x （0，1） 1 ), 1 ( )(xf 0
3、 )(xf 最小值 由表可知，当1x时，)(xf有最小值 1。 评注： 利用导数求最值， 先确定函数的极值是关键， 同时， 最值通常应在极值及端点处取得。当函数 f（x）为连续函数且在ba,上单调时，其最大值、最小值在端点处取得；当连续函数 f（x）在（a，b）内只有一个可疑点时，若在这一点处 f（x）有极大（小）值， 则可以判定 f（x）在该点处取得最大（小）值，这里（a，b）也可以是无穷区间。 练习 1：已知 a 0，函数 f（x）（x22ax）ex，当 x 为何值时，f（x）取得最小值？并证明你的结论； 三、利用导数求最值的运用 （一）求函数的值域 例 2 、求函数xxxxf4325)(
4、的值域 解：由0403xx得)(xf的定义域为43x。 因 为0421315)4()32()5()(xxxxxxfy， 所 以)(xf在4 , 3上 单 调 递 增 ， 故 当3x时 ，4,715xy最小时 ，7220最大y。所以值域为7220,715。 评注：求函数的值域转化为求)(xf在闭区间4 , 3上的最大值和最小值的问题，考虑其单调性易求值域，必须注意函数的定义域。 练习 2：已知 x，y 为正实数，且满足关系式04222yxx，求 xy 的最大值。 （二）利用最值求参数的值（或范围） 例 3、 设132 a， 函数) 11(23)(23xbaxxxf的最大值为 1， 最小值为26，
5、求 a，b 的值。 解：)(333)( 2axxaxxxf，当 x 变化时，)(),(xfxf变化情况列表如下： x 1 （1，0） 0 （0，a） a （a，1） 1 )( xf + 0 0 + )(xf ba 231 b ba23 ba 231 当 x=0 时，f（x）取极大值 b，而)()0(aff，) 1 () 1(ff，故需比较 f（0）与 f（1）的大小。 0123) 1 ()0(aff，f（x）最大值为 f（0）=b=1。 又0)2() 1(21)23(21)() 1(23aaaaaff。 ) 1()(min fxf，2623123aba，1,36ba。 评注： 这是一道求函数的
6、最值的逆向思维问题。 本题的关键是比较极值和端点处的函数值的大小，列表解题一目了然，从而确定出 a，b 的值。 （三）利用最值研究恒成立问题 例 4、 设函数, 5x2x21x)x(f23若对于任意2 , 1x都有m)x(f成立， 求实数m的取值范围。 解： , 2xx3)x(f2令, 0)x(f得32x或1x 。 当32x或1x 时，, 0)x(f)x(fy 在)32,( 和), 1 ( 上为增函数， 在) 1,32( 上为减函数，)x(f在32x处有极大值，在1x 处有极小值。 极大值为27225)32(f, 而7)2(f, )x(f在2, 1 上的最大值为 7。 若对于任意 x2, 1
7、都有m)x(f成立, 得 m 的范围 7m 。 评注：利用最值可以研究一类恒成立问题，一般地，f(x)a 对 xR 恒成立 f(x)的最小值a 成立；f(x)a 对 xR 恒成立f(x)的最大值a 成立。 练习 2：已知函数32( )f xxaxbxc在23x 与 x1 时都取得极值。求 a、b 的值；若对2 1,2,( )xf xc 恒成立，求 c 的取值范围。 四、利用最值证明不等式 例 5、已知)0()(3adcxaxxf是 R 上的奇函数，当 x=1 时，f(x)取得极值-2。 （1）求 f(x) 的单调区间和极大值； （2）对任意) 1 , 1(,21xx，求证：不等式4)()(21
8、xfxf恒成立。 解： （1）f(x)是奇函数，Rx， f(0)=0, d=0 因此caxxfcxaxxf233)(,)( 由条件 f(1)=-2 为 f(x)的极值，f,(1)=0， 032caca，解之得：a=1，c=-3 则33)(,3)(23xxfxxxf， 令0)(xf，得1x f(x)的单调减区间是-1，1，f(x)的单调增区间是 ，和11， 当 x=-1 时，f(x)有极大值 2。 （2） 证明： 由 （1） 知 f(x)在-1， 1上是减函数， 且 f(x)在-1， 1上有最大值 f(-1)=2,有最小值 f(1)=-2 对任意) 1 , 1(,21xx， 恒有4) 1 ()
9、1()()(21ffxfxf 评注：本题（2）借助于最值证明不等式，最值的研究利用了导数法，同时对于可导函数，某点为极值点的必要条件是这点的导数为 0；某一点是极值点的充分条件是在这点两侧的导数异号。此外，函数的极值点也可能是不可导点。 附练习答案： 1、解： （1）对函数 f（x）求导数，得f（x）（x22ax）ex+（2x2a）exx2+2（1-a）x-2aex。令 f（x）0，得x2+2（1-a）x-2aex0， 从而 x2+2（1a）x2a0。解得 2111aax 2211aax，其中 x1x2。 当 x 变化时，f（x） ，f（x）的变化如下表： x （ ，x1 ） x1 （ x1
10、， x2） x2 （x2 ，+） f （x） + 0 0 + f （x） 极大值 极小值 当 f（x）在 xx1处取到极大值，在 xx2处取到极小值. 当 a0 时，x11，x2 0，f（x）在（x1，x2）为减函数，在（x2，+）为增函数. 而当 x0 时，f（x）x（x2a）ex0；当 x0 时，f（x）0. 所以当211aax时，f（x）取得最小值。 2、解：由题意，)20(2212xxxxxy，设 f（x）)20(2212xxxx。 当20 x时，222)23()( xxxxxf，令0)( xf，得23x或 x=0（舍去） 。 当 x 在2 , 0内变化时，y/，y 有如下变化情况： x 23, 0 23 2 ,23 2 y/ + 0 y 极大值833 0 由上表可知，当 x=23时，f（x）最大值为833，亦即 xy 的最大值为833。 3、解：1,22ab ； 令32321( )22g xxaxbxxxx，故对任意2 1,2, ( )xg xcc 恒成立。2( )32(1)(2)g xxxxx，列表知对任意 1,2x ，y( )g x的最大值为 g（2）2，2c2c，得 c1 或 c2。 Love is not a maybe thing. You know when you love someone.
