《利用导数求最值》由会员分享,可在线阅读,更多相关《利用导数求最值(5页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、 利用导数求最值 导数是研究数学和其他自然科学的基础,是研究客观事物变化率和优化问题的有利工具, 研究导数, 有利于对数学的本质和价值的认识。 导数的工具性已渗透到数学的很多分支,在函数的研究中得到充分的体现,主要涉及到研究曲线的切线问题、函数的单调性、函数的极值、最值等。下面就利用导数求最值作一阐述,供参考。 一、函数的最大值与最小值 在闭区间ba,上连续,在(ba,)内可导,)(xf在ba,上求最大值与最小值的步骤:先求 )(xf在(ba,)内的极值;再将)(xf的各极值与)(af、)(bf比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值。 求可导函数极值的步骤: 首先:求导数)(xf;再
2、求导数)(xf=0 的根;最后:检查)(xf在方程根左右的值的符号,如果左正右负,那么)(xf在这个根处取极大值;如果左负右正,那么)(xf在这个根处取极小值。 二、利用导数求最值 例 1、设0x,求32) 1(32) 1(211lnxxxx的最小值。 解:设32) 1(32) 1(211ln)(xxxxxf,则 2222) 1(2) 1() 1(1) 1(2) 1(11)(xxxxxxxxxf 2222212) 1() 1(21) 1() 1(211) 1(xxxxxxxxxx .12) 1(23xxx 令0)( xf,由0x,解得1x。列表: x (0,1) 1 ), 1 ( )(xf 0
3、 )(xf 最小值 由表可知,当1x时,)(xf有最小值 1。 评注: 利用导数求最值, 先确定函数的极值是关键, 同时, 最值通常应在极值及端点处取得。当函数 f(x)为连续函数且在ba,上单调时,其最大值、最小值在端点处取得;当连续函数 f(x)在(a,b)内只有一个可疑点时,若在这一点处 f(x)有极大(小)值, 则可以判定 f(x)在该点处取得最大(小)值,这里(a,b)也可以是无穷区间。 练习 1:已知 a 0,函数 f(x)(x22ax)ex,当 x 为何值时,f(x)取得最小值?并证明你的结论; 三、利用导数求最值的运用 (一)求函数的值域 例 2 、求函数xxxxf4325)(
4、的值域 解:由0403xx得)(xf的定义域为43x。 因 为0421315)4()32()5()(xxxxxxfy, 所 以)(xf在4 , 3上 单 调 递 增 , 故 当3x时 ,4,715xy最小时 ,7220最大y。所以值域为7220,715。 评注:求函数的值域转化为求)(xf在闭区间4 , 3上的最大值和最小值的问题,考虑其单调性易求值域,必须注意函数的定义域。 练习 2:已知 x,y 为正实数,且满足关系式04222yxx,求 xy 的最大值。 (二)利用最值求参数的值(或范围) 例 3、 设132 a, 函数) 11(23)(23xbaxxxf的最大值为 1, 最小值为26,
5、求 a,b 的值。 解:)(333)( 2axxaxxxf,当 x 变化时,)(),(xfxf变化情况列表如下: x 1 (1,0) 0 (0,a) a (a,1) 1 )( xf + 0 0 + )(xf ba 231 b ba23 ba 231 当 x=0 时,f(x)取极大值 b,而)()0(aff,) 1 () 1(ff,故需比较 f(0)与 f(1)的大小。 0123) 1 ()0(aff,f(x)最大值为 f(0)=b=1。 又0)2() 1(21)23(21)() 1(23aaaaaff。 ) 1()(min fxf,2623123aba,1,36ba。 评注: 这是一道求函数的
6、最值的逆向思维问题。 本题的关键是比较极值和端点处的函数值的大小,列表解题一目了然,从而确定出 a,b 的值。 (三)利用最值研究恒成立问题 例 4、 设函数, 5x2x21x)x(f23若对于任意2 , 1x都有m)x(f成立, 求实数m的取值范围。 解: , 2xx3)x(f2令, 0)x(f得32x或1x 。 当32x或1x 时,, 0)x(f)x(fy 在)32,( 和), 1 ( 上为增函数, 在) 1,32( 上为减函数,)x(f在32x处有极大值,在1x 处有极小值。 极大值为27225)32(f, 而7)2(f, )x(f在2, 1 上的最大值为 7。 若对于任意 x2, 1
7、都有m)x(f成立, 得 m 的范围 7m 。 评注:利用最值可以研究一类恒成立问题,一般地,f(x)a 对 xR 恒成立 f(x)的最小值a 成立;f(x)a 对 xR 恒成立f(x)的最大值a 成立。 练习 2:已知函数32( )f xxaxbxc在23x 与 x1 时都取得极值。求 a、b 的值;若对2 1,2,( )xf xc 恒成立,求 c 的取值范围。 四、利用最值证明不等式 例 5、已知)0()(3adcxaxxf是 R 上的奇函数,当 x=1 时,f(x)取得极值-2。 (1)求 f(x) 的单调区间和极大值; (2)对任意) 1 , 1(,21xx,求证:不等式4)()(21
8、xfxf恒成立。 解: (1)f(x)是奇函数,Rx, f(0)=0, d=0 因此caxxfcxaxxf233)(,)( 由条件 f(1)=-2 为 f(x)的极值,f,(1)=0, 032caca,解之得:a=1,c=-3 则33)(,3)(23xxfxxxf, 令0)(xf,得1x f(x)的单调减区间是-1,1,f(x)的单调增区间是 ,和11, 当 x=-1 时,f(x)有极大值 2。 (2) 证明: 由 (1) 知 f(x)在-1, 1上是减函数, 且 f(x)在-1, 1上有最大值 f(-1)=2,有最小值 f(1)=-2 对任意) 1 , 1(,21xx, 恒有4) 1 ()
9、1()()(21ffxfxf 评注:本题(2)借助于最值证明不等式,最值的研究利用了导数法,同时对于可导函数,某点为极值点的必要条件是这点的导数为 0;某一点是极值点的充分条件是在这点两侧的导数异号。此外,函数的极值点也可能是不可导点。 附练习答案: 1、解: (1)对函数 f(x)求导数,得f(x)(x22ax)ex+(2x2a)exx2+2(1-a)x-2aex。令 f(x)0,得x2+2(1-a)x-2aex0, 从而 x2+2(1a)x2a0。解得 2111aax 2211aax,其中 x1x2。 当 x 变化时,f(x) ,f(x)的变化如下表: x ( ,x1 ) x1 ( x1
10、, x2) x2 (x2 ,+) f (x) + 0 0 + f (x) 极大值 极小值 当 f(x)在 xx1处取到极大值,在 xx2处取到极小值. 当 a0 时,x11,x2 0,f(x)在(x1,x2)为减函数,在(x2,+)为增函数. 而当 x0 时,f(x)x(x2a)ex0;当 x0 时,f(x)0. 所以当211aax时,f(x)取得最小值。 2、解:由题意,)20(2212xxxxxy,设 f(x))20(2212xxxx。 当20 x时,222)23()( xxxxxf,令0)( xf,得23x或 x=0(舍去) 。 当 x 在2 , 0内变化时,y/,y 有如下变化情况: x 23, 0 23 2 ,23 2 y/ + 0 y 极大值833 0 由上表可知,当 x=23时,f(x)最大值为833,亦即 xy 的最大值为833。 3、解:1,22ab ; 令32321( )22g xxaxbxxxx,故对任意2 1,2, ( )xg xcc 恒成立。2( )32(1)(2)g xxxxx,列表知对任意 1,2x ,y( )g x的最大值为 g(2)2,2c2c,得 c1 或 c2。 Love is not a maybe thing. You know when you love someone.