导数的概念及几何意义

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1、2017-2-14 函数函数 中中 关于关于 的平均变化率为：的平均变化率为： 当当 即即 时，若平均变化率趋于一时，若平均变化率趋于一个固定值个固定值 ，则称这个值为函数，则称这个值为函数 在在 点的点的瞬瞬时变化率时变化率。复习引入复习引入 数学上称这个瞬时变化率为数学上称这个瞬时变化率为 在在 点的点的导数导数，用，用 表示，记作表示，记作 例例1 一条水管中流过的水量一条水管中流过的水量 是时间是时间 x (s)的函的函数数 ，求函数，求函数 在在 x = 2 处的导数处的导数 ，并解释它的实际意义。，并解释它的实际意义。 例例2 一名食品加工厂的工人上班后开始连续工作，一名食品加工厂

2、的工人上班后开始连续工作，生产的食品数量生产的食品数量 y (kg)是时间是时间 x (h)的函数的函数 y = f (x)。设函数在设函数在 x =1和和 x = 3 处的导数分别是处的导数分别是 和和 ，试解释其实际意义。，试解释其实际意义。解析解析解析解析 例例3 服药后，人体血液中的药浓度服药后，人体血液中的药浓度y (ug/ml)是时间是时间t (min)的函数的函数 y = f (t)，假设，假设 y = f(t)在在t = 10和和t = 100处处的导数分别为的导数分别为 和和 ，试解释其，试解释其实际意义。实际意义。解析解析割线的斜率割线的斜率OABxyy=f(x)x1x2f

3、(x1)f(x2)x2-x1=xf(x2)-f(x1)=y如右图,直线AB称为曲线y=f(x)在点A处的一条割线.则割线AB的斜率为:oxyy=f(x)割割线线AB切切线线问题例题讲解32-2-121O14L例例6:求曲线求曲线y=f(x)=x2+1在点在点P(1,2)处的切线方程处的切线方程.QPy=x2+1xy-111OjMDyDx因此因此,切线方程为切线方程为y-2=2(x-1),即即y=2x.求曲线在某点处的切线方程求曲线在某点处的切线方程的基本步骤的基本步骤:求出求出P点的坐标点的坐标;利用切线斜率的定义求利用切线斜率的定义求 出切线的斜率出切线的斜率;利用点斜式求切线方程利用点斜式

4、求切线方程.小结: 导数的定义：导数的定义： 函数函数 在在 处的导数处的导数 ： 导数的意义：导数的意义： 瞬时变化率，具体意义要根据题目分析。当导数瞬时变化率，具体意义要根据题目分析。当导数是正数时，说明函数值是增加（上升）的；导数是负是正数时，说明函数值是增加（上升）的；导数是负数时，函数值是减小（下降）的。数时，函数值是减小（下降）的。小结:（1）求出函数在点）求出函数在点x0处的变化率处的变化率 ，得到曲线，得到曲线 在点在点(x0,f(x0)的切线的斜率。的切线的斜率。（2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即4.求切线方程的步骤：3.导数的几

5、何意义是什么? 解析：解析：自变量从自变量从 变到变到 时，函数值从时，函数值从 变变到到 ，当，当 时，平均变化率时，平均变化率所以，所以， 它表示当它表示当 x = 2时水流的瞬时速度，即若水以时水流的瞬时速度，即若水以x =2s时的瞬时速度流动，每过时的瞬时速度流动，每过1s，水管流过的水量为，水管流过的水量为 。例例2解析：解析： 表示工作表示工作1h时，其生产速度是时，其生产速度是4kg/h，即若保持此速度，他每小时可生产即若保持此速度，他每小时可生产4kg食品；食品； 表示工作表示工作3h时，其生产速度是时，其生产速度是3.5kg/h，即若保持此速度，他每小时可生产即若保持此速度，他每小时可生产3.5kg食品。食品。导数是瞬时变化率，本题中指生产效率。导数是瞬时变化率，本题中指生产效率。例例3分析：分析： 表示服药后表示服药后10min时，药浓度上升速时，药浓度上升速度为度为1.5ug/(mlmin)，若保持此速度，每经过，若保持此速度，每经过1min药药浓度将上升浓度将上升1.5 ug/ml； 表示服药后表示服药后100min时，药浓度下降速时，药浓度下降速度为度为0.6ug/(mlmin)，若保持此速度，每经过，若保持此速度，每经过1min药药浓度将下降浓度将下降0.6 ug/ml。练习练习本题导数表示药液浓度的瞬时变化率。本题导数表示药液浓度的瞬时变化率。