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1、2-2 复合函数的微商与反函数的微商复合函数的微商与反函数的微商定理定理1.证证说明：说明：在上述证明过程中例如,关键: 搞清复合函数结构, 由外向内逐层求导.推广推广：此法则可推广到多个中间变量的情形.例例 1 已知 求 解解令则例例 2 已知 求 解解引入中间变量则例例 3 求 的导数.解解例例 3 求 的导数. 解解例例4 设解解例例5 设求解解思考思考: 若存在 , 如何求的导数?这两个记号含义不同练习练习: 设解解:例例 6 设求解解关键关键: 搞清复合函数结构 由外向内逐层求导思考思考补例补例 设求解解解解求定理定理2定理定理2. y 的某邻域内单调可导, 证证: 在 x 处给增量
2、由反函数的单调性知且由反函数的连续性知 因此例例 求反三角函数及指数函数的导数.解解: 1) 设则类似可求得利用, 则2) 设则特别当时,小结小结:例例 8 证明证明证证当当 时，时， 是是 的反函数，的反函数，那么根据定理那么根据定理2有有当当 时，令时，令 则则 且且 则则例例 9 设设 为任意实数，则为任意实数，则有有证证当当 时，时， ，故其导数为，故其导数为0,等于等于上式右端上式右端.设设 ，则有，则有故有复合函数微商公式有故有复合函数微商公式有 1. 常数和基本初等函数的导数常数和基本初等函数的导数基本求导法则与导数公式基本求导法则与导数公式2. 有限次四则运算的求导法则有限次四
3、则运算的求导法则( C为常数 )3. 复合函数求导法则复合函数求导法则4. 若初等函数在其定义域若初等函数在其定义域内可导内可导,则其导函数仍为则其导函数仍为初等函数初等函数由定义证 ,说明说明: 最基本的公式其它公式用求导法则推出.对数求导法对数求导法例例 10 求 的导数 . 解解利用复合函数求导法则，得例例 11 设求求解解 两边取绝对值然后取对数 , 得两边对 求导数，得注：注：取对数好处就是将乘法运算化为加法运算.补例补例1 求 的导数 . 解解 两边取对数 , 得两边对 x 求导第二章第二章 习题习题2-1 2. (1);5.8.(7),(8),(9),(10);10.11.13. 习题习题2-2 1.(4);2.(2);3.(4),(7),(8), (10);4.(5),(6),(8),(13),(15),(16).补例例2.设解解:求解解:补例补例3. 求
