投入产出数学模型表2中每一行可建立一个等式课件

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1、第五章第五章 线性经济模型简介线性经济模型简介 5.15.1 投入产出数学模型投入产出数学模型5.1.1 5.1.1 投入产出表投入产出表经济系统各部门之间的投入产出关系可以用投入产经济系统各部门之间的投入产出关系可以用投入产出表来描述。出表来描述。投入产出表分为投入产出表分为实物型表实物型表和和价值型表价值型表两种类型。两种类型。 (1) 实物型表实物型表采用实物计量单位编制，其特点是经采用实物计量单位编制，其特点是经 济意义明确，适合于实际工作的需要；济意义明确，适合于实际工作的需要； (2) 价值型表价值型表采用货币计量单位编制，其特点是单采用货币计量单位编制，其特点是单位统一，适合于对

2、经济系统进行全面的分析研究。位统一，适合于对经济系统进行全面的分析研究。一、投入产出表的结构一、投入产出表的结构 引例引例 设某个地区的经济系统划分为工业、农业、其设某个地区的经济系统划分为工业、农业、其他产业三个部门。上一年度三个部门的生产与消耗情他产业三个部门。上一年度三个部门的生产与消耗情况如表况如表5-15-1所示。所示。消消 耗耗 部部 门最最终产品品 总产品品工工业农业其他其他生生产部部门工工 业19610270192560农 业846842146340其其 他他1123428106280净 产 值168136140总 产 值560340280表表5 51 1 生产与消耗情况表生产

3、与消耗情况表案例案例 5.1案例案例 5.3产出出部部门间流流量量投投入入消耗部消耗部门最最终产品品总产品品1 12 2合合计合合计消消费积累累合合计生生产部部门1 12 2合合 计净产值劳动报酬酬纯收入收入合合 计总产值表表5 52 2 价值型投入产出表价值型投入产出表一般经济系统的价值型投入产出表的结构一般经济系统的价值型投入产出表的结构(表表5-2)二二、投入产出数学模型投入产出数学模型 表表5-2中每一行可建立一个等式，反映一个部门的总中每一行可建立一个等式，反映一个部门的总产品分配情况。个部门的产品分配情况构成线性方产品分配情况。个部门的产品分配情况构成线性方程组程组(5.1) 或表

4、示为或表示为(5.1) 此方程组称为此方程组称为产品分配方程组产品分配方程组，简称为，简称为产品方程组产品方程组。表表52中消耗部中消耗部门的列，也可构成个等式，反映的列，也可构成个等式，反映这些部些部门的的总产值构成情况。表示构成情况。表示为(5.2) 或表示为或表示为 (5.2) 此方程此方程组称称为产值构成方程组产值构成方程组，简称称为产值方程组产值方程组。经济系系统的的产品方程品方程组(5.1)与与产值方程方程组(5.2)之之间存在如下关系：存在如下关系：(1)由于某一个部由于某一个部门的的总产品价品价值就是就是该部部门的的总产值，故有，故有 但是，一个部但是，一个部门在生在生产过程中

5、所提供程中所提供给其他部其他部门的的产品价品价值与与该部部门所消耗的其他部所消耗的其他部门的的产品价品价值通通常并不相等，因而常并不相等，因而于是于是 这表明某一个部门的最终产品价值一般并不等于该这表明某一个部门的最终产品价值一般并不等于该部门的新创造价值。部门的新创造价值。(2)由于整个由于整个经济系系统的的总产品价品价值就是就是该系系统的的总产值，故有，故有因而因而 由于由于于是于是 这表明整个经济系统的最终产品价值等于该系统这表明整个经济系统的最终产品价值等于该系统的新创造价值。的新创造价值。5.1.2 利用直接消耗系数表示的投入产出数学模型一、直接消耗系数的概念一、直接消耗系数的概念计

6、划期内第计划期内第j j部门生产的总产品价值部门生产的总产品价值 生产过程中直接消耗第生产过程中直接消耗第i i部门的产品价值部门的产品价值 第第j j部门平均生产一个单位价值产品部门平均生产一个单位价值产品直接直接消耗第消耗第i i部门的产品价值部门的产品价值 短期内相对稳定短期内相对稳定. .反映了部门的生产技术水平反映了部门的生产技术水平. . 定义定义5.15.1 经济系统第经济系统第j部门生产单位价值产品所直接部门生产单位价值产品所直接消耗第消耗第i部门的产品价值量，称为第部门的产品价值量，称为第j部门对第部门对第i部门的部门的直接消耗系数直接消耗系数，记作，记作(5.3) 经经济济

7、系系统统n n个个部部门门相相互互之之间间的的直直接接消消耗耗系系数数构构成成的的n n阶方阵，称为阶方阵，称为直接消耗系数矩阵直接消耗系数矩阵，记作，记作(5.4) 只只需需将将投投入入产产出出表表中中的的各各部部门门间间流流量量分分别别除除以以同同列列最后一行的总产值，即可得到直接消耗系数矩阵。最后一行的总产值，即可得到直接消耗系数矩阵。 案例案例 5.15.1 求求引例引例所示经济系统的直接消耗系数矩阵。所示经济系统的直接消耗系数矩阵。 解解：根根据据表表5.1中中的的各各列列部部门门间间流流量量及及总总产产值值数数据据， 可求得该系统的直接消耗系数矩阵为可求得该系统的直接消耗系数矩阵为

8、(5.5) 二、直接消耗系数的性质二、直接消耗系数的性质(3)设设A为经济系统的直接消耗系数矩阵，为经济系统的直接消耗系数矩阵，I为同阶为同阶的单位矩阵，则的单位矩阵，则(IA)是可逆矩阵，且是可逆矩阵，且(5.6) (1)(2)三、三、 利用直接消耗系数表示的投入产出数学模型利用直接消耗系数表示的投入产出数学模型1产品分配方程组产品分配方程组根据直接消耗系数的定义（根据直接消耗系数的定义（5.3）可以得到关系式）可以得到关系式将关系式将关系式(5.7)代入产品分配平衡方程组代入产品分配平衡方程组(5.1)，可得，可得(5.8) (5.7) 或表示为或表示为 (5.8) 如如果果将将整整个个经

9、经济济系系统统各各部部门门的的总总产产品品和和最最终终产产品品分别记成向量形式分别记成向量形式 则则可可得得用用直直接接消消耗耗系系数数矩矩阵阵A，将将产产品品分分配配方方程程组组(5.8)表示为矩阵形式表示为矩阵形式 (5.8) 其其中中x和和y分分别别称称为为经经济济系系统统的的总总产产品品向向量量和和最最终终产产品向量品向量。2 2产值构成方程组产值构成方程组 将关系式将关系式(5.7)代入产值构成平衡方程组代入产值构成平衡方程组(5.2)，可得，可得 (5.9) (5.9) 或或 产产品品分分配配方方程程组组(5.8)(5.8)反反映映了了经经济济系系统统各各部部门门的的总总产产品品与

10、与最最终产品之间的关系终产品之间的关系. . 产产值值构构成成平平衡衡方方程程组组(5.9)(5.9)反反映映了了经经济济系系统统各各部部门门的的总总产产值值与净产值之间的关系。与净产值之间的关系。 案例案例5.25.2 建立引例所示经济系统的投入产出数学模型。建立引例所示经济系统的投入产出数学模型。 解：解：在例在例5.1中已求得该系统的直接消耗系数矩阵为中已求得该系统的直接消耗系数矩阵为据此建立该系统的投入产出数学模型如下：据此建立该系统的投入产出数学模型如下： 产品分配方程组为产品分配方程组为 (5.10) 其其中中 和和 分分别别表表示示该该系系统统工工业业、农农业业、其他产业三个部门

11、的总产品和最终产品。其他产业三个部门的总产品和最终产品。 产值构成平衡方程组为产值构成平衡方程组为 (5.11) 其其中中 和和 分分别别表表示示该该系系统统工工业业、农农业业、其他产业三个部门的总产值和净产值。其他产业三个部门的总产值和净产值。四、模型的应用四、模型的应用 投投入入产产出出数数学学模模型型反反应应了了近近期期的的生生产产技技术术水水平平，利利用该模型可对近期的经济量作出预测。用该模型可对近期的经济量作出预测。 设设A是经济系统的直接消耗系数矩阵是经济系统的直接消耗系数矩阵;(1)由由总总产产品品向向量量，根根据据(5.8 )可可求求得得系系统统的的最最终终产品向量产品向量(5

12、.12) (5.13) (2)由由最最终终产产品品向向量量，根根据据定定理理5.2可可求求得得系系统统的的总总产品向量产品向量分别表示经济系统的总产品向量和最终产品向量。分别表示经济系统的总产品向量和最终产品向量。(3)由由第第 部部门门的的总总产产值值 ，根根据据(5.9)可可求求得得该该部门的净产值部门的净产值(5.14) (4)由由第第 部部门门的的净净产产值值 ，由由(5.14)可可求求得得该该部部门的总产值门的总产值(5.15) 案例案例5.35.3 根据案例根据案例5.2中的直接消耗系数，并假设工中的直接消耗系数，并假设工业、农业及其它部门的总产品分别为业、农业及其它部门的总产品分

13、别为 解解: : 已知三个部门总产品，根据已知三个部门总产品，根据(5.13)式有式有即即 所以，三个部门的总产品所以，三个部门的总产品(总产值总产值)分别为分别为求这三个部门的最终产品求这三个部门的最终产品. 再再用用总总产产品品分分别别乘乘直直接接消消耗耗系系数数矩矩阵阵中中对对应应列列的的元元素，即可得到反映该系统部门间流量的矩阵素，即可得到反映该系统部门间流量的矩阵 只只要要经经济济系系统统各各个个部部门门的的生生产产技技术术条条件件没没有有变变化化，就就可可将将调调查查期期的的投投入入产产出出数数学学模模型型直直接接应应用用于于计计划划期的经济工作。期的经济工作。 但某些部门可能改进

14、更新技术，降低消耗，就需但某些部门可能改进更新技术，降低消耗，就需要重新测定这些部门的直接消耗系数，并对报告期的要重新测定这些部门的直接消耗系数，并对报告期的投入产出数学模型作出相应的修正，然后再将其应用投入产出数学模型作出相应的修正，然后再将其应用于计划期的经济工作于计划期的经济工作. .5.1.3 5.1.3 完全消耗系数完全消耗系数 一、完全消耗系数的概念一、完全消耗系数的概念 定定义义5.25.2 经经济济系系统统第第j部部门门生生产产单单位位价价值值产产品品所所完完全全消消耗耗第第i部部门门的的产产品品价价值值量量，称称为为第第j部部门门对对第第i部部门门的的完全消耗系数完全消耗系数

15、，记作，记作 由由经经济济系系统统所所有有个个部部门门相相互互之之间间的的完完全全消消耗耗系系数数构构成成的的阶阶方方阵阵，称称为为经经济济系系统统的的完完全全消消耗耗系系数数矩矩阵阵，记作记作 (5.16) 完全消耗系数矩阵的求法完全消耗系数矩阵的求法 根根据据直直接接消消耗耗系系数数与与完完全全消消耗耗系系数数的的定定义义，经经济济系系统统第第j部部门门生生产产单单位位价价值值产产品品时时，对对第第i部部门门产产品品的的消耗情况如下：消耗情况如下：(1)第第j j部部门门生生产产单单位位价价值值产产品品完完全全消消耗耗第第i i部部门门产产品价值量为品价值量为 ；(2)第第j j部部门门生

16、生产产单单位位价价值值产产品品直直接接消消耗耗第第i i部部门门产产品价值量为品价值量为 ；(3)第第j j部部门门直直接接消消耗耗第第r r部部门门的的产产品品价价值值量量为为 ，而而第第r r部部门门为为生生产产这这价价值值量量为为 的的产产品品所所完完全全消消耗耗第第i i部部门门的的产产品品价价值值量量为为 。即即第第j j部部门门通通过过第第r r部门间接消耗第部门间接消耗第i i部门的全部产品价值量为部门的全部产品价值量为 完全消耗就是直接消耗与所有的间接消耗之和，故完全消耗就是直接消耗与所有的间接消耗之和，故将上面关系式用矩阵形式表示为将上面关系式用矩阵形式表示为即即 其中其中A

17、和和C分别是经济系统的分别是经济系统的直接消耗系数矩阵直接消耗系数矩阵和和完完全消耗系数矩阵全消耗系数矩阵。由。由(5.17)(5.17)即可由直接消耗系数矩阵即可由直接消耗系数矩阵得到完全消耗系数矩阵得到完全消耗系数矩阵 (5.17) (5.18) 案例案例5.35.3 求求引例引例所示经济系统的完全消耗系数矩阵。所示经济系统的完全消耗系数矩阵。 解：解：根据根据(5.17)，关于该系统有，关于该系统有由此可求得该系统的完全消耗系数矩阵为由此可求得该系统的完全消耗系数矩阵为 (5.19) (5.18) 完全消耗系数矩阵完全消耗系数矩阵由由直接消耗系数矩阵直接消耗系数矩阵决定决定完全消耗系数矩

18、阵完全消耗系数矩阵由由生产技术条件生产技术条件决定决定 如果经济系统各个部门的生产技术条件没有变如果经济系统各个部门的生产技术条件没有变化，则各部门之间的直接消耗系数不会改变，各部门化，则各部门之间的直接消耗系数不会改变，各部门之间的完全消耗系数也不会改变。之间的完全消耗系数也不会改变。值得注意的是值得注意的是 直接消耗系数是直接消耗系数是部门性部门性的，某个部门对各个部门的的，某个部门对各个部门的直接消耗系数仅取决于本部门的生产技术水平。直接消耗系数仅取决于本部门的生产技术水平。 完全消耗系数是完全消耗系数是系统性系统性的，某个部门对各个部门的的，某个部门对各个部门的完全消耗系数不仅取决于本

19、部门，而且取决于其他完全消耗系数不仅取决于本部门，而且取决于其他部门的生产技术水平。部门的生产技术水平。 因因为为经经济济系系统统中中任任何何一一个个部部门门生生产产技技术术条条件件的的变变化化，都都会会通通过过由由完完全全消消耗耗所所形形成成的的连连锁锁关关系系，影影响响到到整整个系统所有部门相互之间的完全消耗系数。个系统所有部门相互之间的完全消耗系数。二、消耗系数矩阵的经济意义二、消耗系数矩阵的经济意义 设经济系统的计划期总产品为设经济系统的计划期总产品为 最终产品为最终产品为 则则x-yx-y就就是是系系统统在在生生产产过过程程中中所所完完全全消消耗耗的的本本系系统统产品。产品。这些产品

20、是如何消耗掉的这些产品是如何消耗掉的? ? 对对整整个个系系统统个个部部门门产产品品的的直直接接消消耗耗量量可可以以用用向向量量形形式表示为式表示为(5.20) 其中，其中，A是经济系统的直接消耗系数矩阵，是经济系统的直接消耗系数矩阵， 是系统生产最终产品所需的直接消耗产品。是系统生产最终产品所需的直接消耗产品。首先从最终产品考虑首先从最终产品考虑 根根据据直直接接消消耗耗系系数数的的定定义义，系系统统在在生生产产最最终终产产品品y的的过程中，对本系统第部门产品的直接消耗量为过程中，对本系统第部门产品的直接消耗量为再从直接消耗产品再从直接消耗产品 考虑考虑 仿仿照照上上面面的的分分析析即即可可

21、知知道道，系系统统在在生生产产直直接接消消耗耗产产品品 的过程中，对本系统产品的直接消耗量为的过程中，对本系统产品的直接消耗量为 这这里里， 就就是是系系统统为为生生产产最最终终产产品品 所所需需的的一一次次间间接接消耗产品。消耗产品。二次间接消耗产品为二次间接消耗产品为三次间接消耗产品为三次间接消耗产品为(5.21) r-1次间接消耗产品为次间接消耗产品为 其其中中， 时时表表示示直直接接消消耗耗产产品品； 时时表表示示各各次次间间接消耗产品。接消耗产品。 经经济济系系统统在在生生产产过过程程中中所所完完全全消消耗耗的的本本系系统统产产品品，应是上述直接消耗产品与各次间接产品之和。于是有应是

22、上述直接消耗产品与各次间接产品之和。于是有(5.21) 再再根根据据(5.6)和和(5.18)即即可可得得到到(5.22) 其中其中C是经济系统的完全消耗系数矩阵。是经济系统的完全消耗系数矩阵。 以以上上得得到到的的(5.20)和和(5.46)分分别别表表明明了了直直接接消消耗耗系系数数矩矩阵阵A和和完完全全消消耗耗系系数数矩矩阵阵C的的经经济济意意义义。即即如如果果经经济济系系统统的的计计划划期期最最终终产产品品为为 ，那那么么系系统统为为生生产产最最终终产产品品 所所直直接接消消耗耗的的本本系系统统产产品品为为 ，所所完完全全消消耗耗的的本本系统产品为系统产品为 。5.1.5 5.1.5

23、投入产出数学模型经济应用案例投入产出数学模型经济应用案例一、在经济预测中的应用一、在经济预测中的应用 案例案例5.45.4 假定根据引例所示经济系统的生产发展情假定根据引例所示经济系统的生产发展情况，预计该系统工业、农业、其他产业三个部门的况，预计该系统工业、农业、其他产业三个部门的计划期总产品将在报告期总产品的基础上分别增长计划期总产品将在报告期总产品的基础上分别增长9%、7%、6%。由于在生产过程中系统内部存在着。由于在生产过程中系统内部存在着复杂的产品消耗关系，故一般说来，各个部门最终复杂的产品消耗关系，故一般说来，各个部门最终产品的增长幅度与总产品的增长幅度并不一致。试产品的增长幅度与

24、总产品的增长幅度并不一致。试预测该系统最终产品的增长情况。预测该系统最终产品的增长情况。 解解 计划期总产品和最终产品分记别为计划期总产品和最终产品分记别为 和和 。根据表。根据表5.1中的报告期总产品数据以及预计的计划中的报告期总产品数据以及预计的计划期总产品增长幅度，该系统三个部门的计划期总产期总产品增长幅度，该系统三个部门的计划期总产品应分别为品应分别为工工业部部门： 农业部部门： 其他其他产业部部门： 将将这些数据代入些数据代入产品分配平衡方程品分配平衡方程组(5.16)，可求得，可求得 即即 由此可由此可对该系系统三个部三个部门的的计划期最划期最终产品及其相品及其相对于于报告期最告期

25、最终产品的增品的增长幅度作出幅度作出预测。工工业部部门： 农业部部门： 其他其他产业部部门： 增长增长 增长增长 增长增长 根据根据预测结果，可果，可对该系系统的的计划期最划期最终产品与品与实际需要是否相符作出判断，避免出需要是否相符作出判断，避免出现大的偏差。大的偏差。二、在制订计划中的应用二、在制订计划中的应用 案例案例5.55.5 现假定通假定通过预测，引例所示，引例所示经济系系统三个部三个部门的的计划期最划期最终产品需要量分品需要量分别为工工业部部门： 农业部部门： 其他其他产业部部门： 试确定确定计划期划期总产品、部品、部门间流量及流量及计划期各部划期各部门净产值。解解 将这些数据代

26、入产品分配方程组将这些数据代入产品分配方程组(5.13)(5.13)，可求得，可求得由此可知，由此可知，该系系统三个部三个部门的的计划期划期总产品分品分别为工工业部部门： 农业部部门： 其他其他产业部部门： 用上述三个部用上述三个部门的的总产品分品分别乘乘该系系统的直接消耗系的直接消耗系数矩数矩阵(5.5)中中对应列的元素，可得到列的元素，可得到该系系统计划期部划期部门间流量的矩流量的矩阵 再将上述三个部再将上述三个部门的的总产品品(总产值)代入代入产值构成平构成平衡方程衡方程组(5.11)，可求得，可求得该系系统三个部三个部门的的计划期划期净产值分分别为工工业部部门： 农业部部门： 其他其他产业部部门： 根据以上所求得的各根据以上所求得的各项数据即可数据即可编制出制出该系系统的的计划划期投入期投入产出表，出表，见表表53产出出部部门间流流量量投投入入消消 耗耗 部部 门最最终产品品总产品品工工业农业其他其他生生产部部门工工 业22412080216640农 业968048176400其其 他他1284032120320净 产 值192160160总 产 值640400320表表53习习 题题