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1、退出退出截面图形的几何性质了解杆横截面图形的几何性质的定义和计算，了解杆横截面图形的几何性质的定义和计算，为以后的强度、刚度计算作准备。为以后的强度、刚度计算作准备。目的：目的：记住一些常用简单图形的几何性质的结论，记住一些常用简单图形的几何性质的结论，学会一些组合图形的几何性质的计算方法。学会一些组合图形的几何性质的计算方法。要求：要求：退出退出截面图形的几何性质3-1静矩静矩(面积矩面积矩)形心形心杆的几何参数杆的几何参数3-2惯性矩惯性矩极惯性矩极惯性矩惯性积惯性积 3-3惯性矩和惯性积的平行移轴公式惯性矩和惯性积的平行移轴公式3-4 惯性矩和惯性积的转轴公式惯性矩和惯性积的转轴公式主惯
2、性轴和主惯性矩主惯性轴和主惯性矩退出退出截面图形的几何性质3-1静矩静矩(面积矩面积矩)形心形心杆的几何参数杆的几何参数1.静矩静矩 (3-1) (3-2)2.形心形心若图形对某一轴的静矩为零，则该轴必通过图形的若图形对某一轴的静矩为零，则该轴必通过图形的形心形心；反之，；反之，若某一轴通过图形的若某一轴通过图形的形形心，则图形对该轴的心，则图形对该轴的静矩静矩也必等于零。也必等于零。显然，若图形有一显然，若图形有一对称轴对称轴时，则图形的形心必在此时，则图形的形心必在此对称轴对称轴上；若上；若图形有一图形有一对称心对称心时，则图形的形心必在此时，则图形的形心必在此对称心对称心上。上。end截
3、面图形的几何性质3.杆的几何参数杆的几何参数4.横截面横截面和和轴线轴线(形心的连线形心的连线)。主要研究。主要研究等直杆等直杆。例例3-1求底长为求底长为b，高为，高为h的三角形对其底边的三角形对其底边y轴的静矩轴的静矩Sy和和其形心到底边其形心到底边的距离的距离故其形心到底边的距离为：故其形心到底边的距离为：zyhbzdzCend截面图形的几何性质矩形矩形I I 矩形矩形II II 整个图形形心整个图形形心C 的坐标为：的坐标为：例例3-2求图示图形的形心位置求图示图形的形心位置end截面图形的几何性质3-2惯性矩惯性矩极惯性矩极惯性矩惯性积惯性积 1.惯性矩定义惯性矩定义(mm4)惯性半
4、径惯性半径2.极惯性矩定义极惯性矩定义(mm4)(3-6)(3-7)(3-8)(3-9)(3-10)即：即：图形对任一对相互垂直的轴的惯性矩之和就等于对该两轴交点的极惯图形对任一对相互垂直的轴的惯性矩之和就等于对该两轴交点的极惯性矩。性矩。end截面图形的几何性质3.惯性积定义：惯性积定义：(mm4)( 3-11 )4.计算计算例例3-3计算矩形对其对称轴的惯性矩计算矩形对其对称轴的惯性矩类似的有：类似的有：截面对有截面对有对称轴对称轴的任一对坐标轴的任一对坐标轴的惯性积恒为零的惯性积恒为零(见图见图3-8)。end截面图形的几何性质D例例3-4计算圆截面和空心圆截面对圆心的极惯性矩和对其对称
5、轴的轴惯性矩计算圆截面和空心圆截面对圆心的极惯性矩和对其对称轴的轴惯性矩而而rdrDdend截面图形的几何性质3-3惯性矩和惯性积的平行移轴公式惯性矩和惯性积的平行移轴公式设有一截面图形如图所示，其面积为设有一截面图形如图所示，其面积为A，形心为，形心为C，是通过图形形心，是通过图形形心的一对坐标轴，而的一对坐标轴，而y，z是和其平行的一对坐标轴。是和其平行的一对坐标轴。两对坐标轴间的距离可由两对坐标轴间的距离可由C点的点的两形心坐标两形心坐标a、b来表达。来表达。 dA在在yoz坐坐标下的位置为标下的位置为 dACyczczyabyczcend截面图形的几何性质现推求图形对这两对坐标轴的现推
6、求图形对这两对坐标轴的惯性惯性矩矩或或惯性积惯性积间的关系。间的关系。此式中第一项即为此式中第一项即为Iyc；第二项为；第二项为a2A；第三项为零，因为；第三项为零，因为yc 轴是通轴是通过图形形心的轴，因此图形对过图形形心的轴，因此图形对yc轴的静矩轴的静矩应等于零。故：应等于零。故：(3-16)dACyczczyabyczcend截面图形的几何性质所以，整个图形对形心轴的惯性矩是：所以，整个图形对形心轴的惯性矩是：例例3-5试计算图示图形对其形心轴试计算图示图形对其形心轴yc的惯性矩的惯性矩Iycend截面图形的几何性质3-4 惯性矩和惯性积的转轴公式惯性矩和惯性积的转轴公式主惯性轴和主惯
7、性矩主惯性轴和主惯性矩1.转轴公式转轴公式由图可见，微面积在新旧坐由图可见，微面积在新旧坐标轴内的坐标标轴内的坐标(y1,z1)和和(y，z)之间的关系为：之间的关系为：将将上式中的上式中的z1代入代入Iy1的定义式并展开后得：的定义式并展开后得：end截面图形的几何性质利用三角公式利用三角公式可将上式写成可将上式写成此即惯性矩和惯性积的此即惯性矩和惯性积的转轴公式转轴公式。将上式中的前两式相加，可得：。将上式中的前两式相加，可得：(3-17)(3-18)这说明：图形对于通过这说明：图形对于通过同一点同一点的任一对直角坐标轴的两惯性矩之和是的任一对直角坐标轴的两惯性矩之和是一个一个常数常数en
8、d截面图形的几何性质2.主惯主惯(性性)轴和主惯轴和主惯(性性)矩矩总能找到一对直角坐标轴总能找到一对直角坐标轴y0z0，使，使对坐标对坐标轴即称为此截面图形的主惯轴。轴即称为此截面图形的主惯轴。利用利用(3-17)的第三式，可得到此主惯轴的位置：的第三式，可得到此主惯轴的位置：将所得的代入式将所得的代入式(3-17)的前两式，即得截面主惯矩的大小的前两式，即得截面主惯矩的大小(3-19)(3-20)(3-21)end截面图形的几何性质可以证明，截面可以证明，截面主惯矩主惯矩也是截面的最大和最小的惯性矩，所以也可也是截面的最大和最小的惯性矩，所以也可将它们写成将它们写成(3-21)式。式。同样
9、，在截面形心上也可以用同样，在截面形心上也可以用(3-19)式找到其主惯轴式找到其主惯轴,称称形心主惯轴形心主惯轴；而其截面图形对其的惯性矩，称而其截面图形对其的惯性矩，称形心主惯矩形心主惯矩也可由也可由(3-20).、(3-21)求得。求得。我们以后要用的就是它们。我们以后要用的就是它们。end截面图形的几何性质例例3-6试确定图示图形的形心主惯轴的位置和形心主惯矩的大小。试确定图示图形的形心主惯轴的位置和形心主惯矩的大小。先确定图形的形心位置：先确定图形的形心位置：将图形分成将图形分成A,B两块，并选取参考两块，并选取参考坐标轴坐标轴y，z如图所示。由公式如图所示。由公式(3-5)可得其形
10、心坐标为：可得其形心坐标为：8121z1(cm)yy1z124C2.53.521.5y0z0a aend截面图形的几何性质再计算图形对过形心的另一参考坐标轴再计算图形对过形心的另一参考坐标轴的惯性矩和惯性积：的惯性矩和惯性积：8121z1(cm)yy1z124C2.53.521.5y0z0a aend截面图形的几何性质将求得的值代入公式将求得的值代入公式(3-19)得形心主惯轴的位置：得形心主惯轴的位置：将上述的的值代入公式将上述的的值代入公式(3-20)或或(3-21)即得形心主惯矩的大小：即得形心主惯矩的大小：8121z1(cm)yy1z124C2.53.521.5y0z0a aend截面图形的几何性质
