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1、 几点要求与注意：几点要求与注意：1。考研辅导学时有限，教师讲解不可能。考研辅导学时有限，教师讲解不可能面面俱到，只能画龙点睛，教师所起的只面面俱到，只能画龙点睛，教师所起的只是引导的作用，师生必须相互配合默契才是引导的作用，师生必须相互配合默契才能发挥最大的效益。能发挥最大的效益。2。辅导讲解主要讲授：常见题型，解题。辅导讲解主要讲授：常见题型，解题分析，分析，考研辅导线性代数行列式(工科类)第一章第一章 行列式行列式考研辅导线性代数行列式(工科类)行列式的常用计算方法：化三角形；递推法；行列式的常用计算方法：化三角形；递推法；数学归纳法，公式法数学归纳法，公式法知识要点知识要点线性代数中与
2、行列式有关的内容：线性代数中与行列式有关的内容：1. 时，齐次线性方程组时，齐次线性方程组AX=0有非零解，有非零解，但非齐次线性方程组没有唯一解（可能无解或但非齐次线性方程组没有唯一解（可能无解或无穷解）无穷解）2. 时，时，A可逆，可用可逆，可用A*求逆；求逆；3.对对n个个n维向量维向量 可用其行列式可用其行列式判其线性相关性；判其线性相关性；考研辅导线性代数行列式(工科类)6.可用顺序主子式判二次型可用顺序主子式判二次型 的正定性的正定性4.可定义矩阵可定义矩阵A的秩；的秩；5.利用特征多项式利用特征多项式 求矩阵的特征值，求矩阵的特征值，且且考研辅导线性代数行列式(工科类)从从198
3、7年全国统考以来，行列式的题以填空、年全国统考以来，行列式的题以填空、选择为主，题量不多，且偏重于计算。选择为主，题量不多，且偏重于计算。 对于落到行列式的考题，大致为三种类型，对于落到行列式的考题，大致为三种类型，一是数字型行列式的计算，一是抽象型行列式一是数字型行列式的计算，一是抽象型行列式的计算，还有就是行列式值的判定（特别是行的计算，还有就是行列式值的判定（特别是行列式是否为零？）列式是否为零？） 在这些考题中不仅考查行列式的概念、性在这些考题中不仅考查行列式的概念、性质及计算，还涉及到矩阵、向量、方程组、特质及计算，还涉及到矩阵、向量、方程组、特征值二次型等知识点。征值二次型等知识点
4、。考研辅导线性代数行列式(工科类)一、一、数字型行列式的计算数字型行列式的计算1.（6分）设分）设 n 元线性方程组元线性方程组Ax=b，其中，其中 ， ，.考研辅导线性代数行列式(工科类)评注：本题关于三对角线行列式的评注：本题关于三对角线行列式的计算通常用递推法。计算通常用递推法。（96年数四考题中出现过）年数四考题中出现过）例如，本题按第一列展开，有例如，本题按第一列展开，有证明行列式证明行列式考研辅导线性代数行列式(工科类)考研辅导线性代数行列式(工科类)注：注：1.递推公式由递推公式由也可直接往下推由同学们完成也可直接往下推由同学们完成2.如果不是证明，而是求如果不是证明，而是求 呢
5、？呢？ 3.如果要求解方程呢？例如见下题：留给读者如果要求解方程呢？例如见下题：留给读者考研辅导线性代数行列式(工科类)(6分分)设设n元线性方程组元线性方程组Ax=b，其中，其中 考研辅导线性代数行列式(工科类)()当当a取何值时，该方程组有唯一解，取何值时，该方程组有唯一解，并并求求x1；()当当a取何值时，该方程组有无穷多解，取何值时，该方程组有无穷多解，并求通解。并求通解。 考研辅导线性代数行列式(工科类)练习题练习题(1)参考：参考：考研辅导线性代数行列式(工科类)评注：本题可以按第一行（列）直接展评注：本题可以按第一行（列）直接展开，建立递推公式；也可将各行（列）开，建立递推公式；
6、也可将各行（列）加到第一行（列）再展开，不过在建立加到第一行（列）再展开，不过在建立，递推公式时一定要注意符号问题（如，递推公式时一定要注意符号问题（如将各列加到第一列再展开），否则会出将各列加到第一列再展开），否则会出错！留作考生作练习。错！留作考生作练习。考研辅导线性代数行列式(工科类)(2).（3分）分）设n阶矩矩阵则提示：用行列式性质作，注意技巧：使第一提示：用行列式性质作，注意技巧：使第一行或列元素一致。行或列元素一致。参考答案：参考答案：考研辅导线性代数行列式(工科类)评注：本题除用行列式的性质及展评注：本题除用行列式的性质及展开计算外，你能用特征值更简便地开计算外，你能用特征值更
7、简便地求出该行列式的值吗求出该行列式的值吗?(提示：提示：R（A）1充要条件为充要条件为A（a1 a2an）T（ b1 b2bn）且）且A的特征值为的特征值为n，0，0注意本题注意本题ABE，其中，其中考研辅导线性代数行列式(工科类)评注：除去用行列式的性注：除去用行列式的性质及展开公式及展开公式计算外算外,你能利用特征你能利用特征值更更简便地求出行列式的便地求出行列式的值吗？综述述对于数字型行列式的于数字型行列式的计算主要是按行、算主要是按行、列展开公式，但在展开之前往往先运列展开公式，但在展开之前往往先运用行列式的性用行列式的性质对其作恒等其作恒等变形。以形。以期某行或某列有期某行或某列有
8、较多的零元素，多的零元素，这时再展开可减再展开可减轻计算量同算量同时，也要注，也要注意一些特殊公式，如上意一些特殊公式，如上(下下)三角、范三角、范德蒙行列式、拉普拉斯展开式的运用德蒙行列式、拉普拉斯展开式的运用考研辅导线性代数行列式(工科类)虽然然单独命的独命的计算算题并不多，但在特征并不多，但在特征值问题中有中有较多多型型 行列式的计行列式的计算，在线性相关矩阵可逆、算，在线性相关矩阵可逆、n个未知数个未知数n个方程的个方程的齐次方程次方程组、二、二次型的正定等次型的正定等问题中都会涉及到行列中都会涉及到行列式的式的计算，因此算，因此对行列式的行列式的计算要重算要重视，不要因小失大，不要因
9、小失大考研辅导线性代数行列式(工科类)二、抽象型行列式的计算二、抽象型行列式的计算1.（3分）若分）若4阶矩矩阵A与与B相似，矩相似，矩阵A的特征的特征值为，则行列式行列式考研辅导线性代数行列式(工科类)(1).（4分）分）设矩矩阵，E为2阶单位矩位矩阵，矩，矩阵B满足足BAB2E，则，则练习一：要会计算这些题练习一：要会计算这些题:考研辅导线性代数行列式(工科类)(2).（4分）分）设3阶矩矩阵A的特征的特征值为1，2，2,E为3阶单位矩位矩阵，则考研辅导线性代数行列式(工科类)(3)（3分）若分）若都是都是4维列向量，且列向量，且4阶行列式行列式，则4阶行列式行列式（A）mn； （B）（）
10、（mn） (C) n-m; (D) m-n考研辅导线性代数行列式(工科类)评注：作为抽象型行列式，本评注：作为抽象型行列式，本题主要考查行列式的性质题主要考查行列式的性质考研辅导线性代数行列式(工科类)2（4分）分）设矩阵设矩阵，矩矩阵B满足：足：ABA*=2BA*+E，其中，其中A*为A的伴随矩阵的伴随矩阵.则则注意：式注意：式AA*=A*A=E的应用及的应用及的性质的性质答案：答案：考研辅导线性代数行列式(工科类)评注：本题没有必要解出，评注：本题没有必要解出，不要出错不要出错注意注意考研辅导线性代数行列式(工科类)(3)（4分）分）设均均为3维列向量，列向量，记矩矩阵，如果如果，那么，那
11、么注意：行列式与矩阵运算的不同；注意：行列式与矩阵运算的不同；参考答案：参考答案：考研辅导线性代数行列式(工科类)另有另有B可分解为可分解为再利用范德蒙行列式的结果，注意矩阵再利用范德蒙行列式的结果，注意矩阵分解是常用的方法。分解是常用的方法。考研辅导线性代数行列式(工科类)评注：本题还涉及到范评注：本题还涉及到范德蒙行列式。另外，德蒙行列式。另外，本题用行列式性质恒等本题用行列式性质恒等变形也是可行的，例如变形也是可行的，例如。考研辅导线性代数行列式(工科类)考研辅导线性代数行列式(工科类)三、行列式三、行列式是否为零的判断是否为零的判断1、（、（3分）分）齐次方程次方程组的系数矩的系数矩阵
12、为A。若存在三。若存在三阶矩矩阵B0使得使得AB=0，则 且且（A）（B）且且（C）且且（D）且且考研辅导线性代数行列式(工科类)注：作注：作为选择题，只需在，只需在与与评注：注：对于条件于条件AB=0应当有两个思路：当有两个思路：一是一是B的列向量是的列向量是齐次方程次方程组AX0的解的解二是秩的信息即二是秩的信息即，要有要有这两种思考两种思考问题的意的意识另外，另外，还可由可由AB=0可推出可推出A,B都不可逆（反证）都不可逆（反证）也是解决问题的一种思路也是解决问题的一种思路中选择一个，因而可以用特殊值代中选择一个，因而可以用特殊值代入入考研辅导线性代数行列式(工科类)（3分）分） 设A
13、是是mn矩矩阵。B是是nm矩矩阵，则 (B) 当当mn时，必有行列式，必有行列式(C ) 当当nm时，必有行列式，必有行列式 (D) 当当nm时，必有行列式，必有行列式 (A) 当当mn时，必有行列式时，必有行列式这样的题能快捷判断吗这样的题能快捷判断吗?考研辅导线性代数行列式(工科类)2。设。设A是是n阶非零矩阵阶非零矩阵（至少用两种方法作）（至少用两种方法作）考研辅导线性代数行列式(工科类)是是n阶矩矩阵，那么，那么 行列式行列式矩矩阵A不可逆不可逆秩秩r(A)nAX0有非零解有非零解0是矩是矩阵A的特征的特征值A的列的列(行行)向量向量线性相关性相关综述：综述：若若考研辅导线性代数行列式(工科类)因此，判断行列式是否为零的问题，常用的因此，判断行列式是否为零的问题，常用的思路有：思路有：用秩用秩；用齐次方程组是否有非零解；用齐次方程组是否有非零解；用特征用特征值能否为零；值能否为零；反证法也是重要的；反证法也是重要的； 因为行列式是一个数，若因为行列式是一个数，若，则亦能得出则亦能得出的结论的结论 这里所涉及的思路与方法可以这里所涉及的思路与方法可以平行的转移到矩阵平行的转移到矩阵A是否可逆的判定中去是否可逆的判定中去考研辅导线性代数行列式(工科类)
