《线性代数电子教案：ch7-1 二次型的表示法》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性代数电子教案：ch7-1 二次型的表示法（15页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、一、元二次型一、元二次型定义定义定义定义的二次齐次多项式的二次齐次多项式含有个变量含有个变量称为称为二次型二次型注注注注当常数项为实数时，称为实二次型；当常数项为实数时，称为实二次型；当常数项为复数时，称为复二次型当常数项为复数时，称为复二次型3 3）复数域复数域上的元二次型上的元二次型例例1 1）实数域上的元二次型）实数域上的元二次型 2 2）实数域上的元二次型实数域上的元二次型二、二次型的矩阵表示二、二次型的矩阵表示二、二次型的矩阵表示二、二次型的矩阵表示、二次型的和式表示、二次型的和式表示、二次型的和式表示、二次型的和式表示、二次型的矩阵表示、二次型的矩阵表示、二次型的矩阵表示、二次型的
2、矩阵表示 则则二次型二次型其中矩阵其中矩阵为为对称矩阵对称矩阵. .令令在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型，就在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型，就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对称矩唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对称矩阵阵A，也可唯一地确定一个二次型，也可唯一地确定一个二次型XTAX这样，二这样，二次型与对称矩阵之间存在次型与对称矩阵之间存在一一对应一一对应的关系的关系解解例例设设三、化二次型为标准形三、化二次型为标准形三、化二次型为标准形三、化二次型为标准形对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求可逆的对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求可逆的线性变换，将二次型化为标准
3、形线性变换，将二次型化为标准形( (只含平方项的二次形型只含平方项的二次形型) )记记记作记作将其代入将其代入有有若若|C| 0|C| 0，则，则称为非退化线性变换称为非退化线性变换注注二次型经过非退化线性变换仍为二次型二次型经过非退化线性变换仍为二次型说明说明解解第一步第一步: :写写出对应的二次型矩阵，并求其特征值出对应的二次型矩阵，并求其特征值例例3 3第二步第二步: :求线性无关的特征向量求线性无关的特征向量第三步第三步: :将将线性无关的线性无关的特征向量正交化特征向量正交化得基础解系得基础解系 得基础解系得基础解系第四步第四步: : 将正交向量组单位化，得正交矩阵将正交向量组单位化，得正交矩阵于是所求正交变换为于是所求正交变换为四、合同矩阵四、合同矩阵将将A变成与之合同矩阵变成与之合同矩阵B的变换称为的变换称为合同合同变换。变换。矩阵的合同关系具有反身性、对称性、传递性。矩阵的合同关系具有反身性、对称性、传递性。作业: P140 8,9
