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1、2.2.2事件的相互独立性事件的相互独立性事件的独立性和二项分布(修改后)事件的独立性和二项分布(修改后)事件的独立性和二项分布(修改后)事件的独立性和二项分布(修改后)思考与探究思考与探究思考与探究思考与探究思考思考1：三张奖券有一张可以中奖。现由三名同学依次无放回地抽取，问：在第一位同学没有中奖的条件下，最后一名去抽的同学中奖的概率会受到影响吗？设A为事件“第一位同学没有中奖”。答:事件事件A的发生会影响事件的发生会影响事件B发生的概率发生的概率事件的独立性和二项分布(修改后)思考思考2：三张奖券有一张可以中奖。现由三名同学依次有放回地抽取，问：最后一名去抽的同学的中奖概率会受到第一位同学
2、是否中奖的影响吗？设A为事件“第一位同学没有中奖”。答：事件A的发生不会影响事件B发生的概率。事件的独立性和二项分布(修改后)1.相互独立的概念相互独立的概念事件的独立性和二项分布(修改后)设设A，B为两个事件，如果为两个事件，如果则称事件则称事件A与事件与事件B相互独立。相互独立。（1）定义法）定义法:P(AB)=P(A)P(B)（2）经验判断）经验判断:A发生与否不影响发生与否不影响B发生的概率发生的概率B发生与否不影响发生与否不影响A发生的概率发生的概率3.判断两个事件相互独立的方法判断两个事件相互独立的方法注意注意:(1)互斥事件互斥事件:两个事件不可能同时发生两个事件不可能同时发生(
3、2)相互独立事件相互独立事件:两个事件的发生彼此互不影响两个事件的发生彼此互不影响2. 2.相互独立的概念相互独立的概念相互独立的概念相互独立的概念2 2事件的独立性和二项分布(修改后)事件的“互斥”和“相互独立”是两个不同的概念。互斥说的是两个事件不能同时发生；而相互独立则是允许两个事件同时发生，只是其中一个事件的发生与否对另外一个事件发生的可能性不会产生任何影响 在逻辑上，可以将互斥事件理解为一次试验下可能出现的不同基本事件，而将相互独立事件理解为两次或更多次不同试验下相应出现的不同事件。故此，若A 与B 为互斥事件，则应使用概率加法公式来计算A或B发生的概率：P( A + B) = P(
4、 A) +P( B)。而若A 与B 为相互独立事件，则应使用概率乘法公式来计算A和B同时发生的概率（联合概率）：P( AB) = P( A)P( B) 事件的独立性和二项分布(修改后)设若两个随机事件设若两个随机事件A、B相互独立，则说明这两个相互独立，则说明这两个事件可以同时发生（因为两个事件的发生互不影事件可以同时发生（因为两个事件的发生互不影响），而互斥的两个事件却不能同时发生（亦即响），而互斥的两个事件却不能同时发生（亦即一个事件发生了，另个事件就绝对不可能发生），一个事件发生了，另个事件就绝对不可能发生），故此两个相互独立的事件故此两个相互独立的事件通常通常不可能不可能“互斥互斥”。
5、反之，设若两个事件互斥，则一个事件的出现必反之，设若两个事件互斥，则一个事件的出现必导致另一个事件的不出现，这说明后者出现的概导致另一个事件的不出现，这说明后者出现的概率受到了前者是否出现的影响，从而意味着这两率受到了前者是否出现的影响，从而意味着这两个事件并不相互独立。个事件并不相互独立。当然这只是一般情况当然这只是一般情况，当有概率为零的事件时例，当有概率为零的事件时例外。具体地，当外。具体地，当A、B中至少有一个是不可能事中至少有一个是不可能事件时，设若事件件时，设若事件A和和B为互斥事件，则事件为互斥事件，则事件A与与B一定是相互独立事件；设若事件一定是相互独立事件；设若事件A和和B为
6、相互为相互独立事件，则它们一定也是互斥事件。独立事件，则它们一定也是互斥事件。事件的独立性和二项分布(修改后)(1)必然事件必然事件 及不可能事件及不可能事件与任何事件与任何事件A相互独立相互独立.(2)若事件若事件A与与B相互独立相互独立, 则以下三对事件也相互独立则以下三对事件也相互独立:相互独立事件的性质： 即即两两个个相相互互独独立立事事件件同同时时发发生生的的概概率率，等等于于每每个个事件发生的概率的积。事件发生的概率的积。（2 2）推推广广：如如果果事事件件A A1 1，A A2 2，AAn n相相互互独独立立，那那么么这这 n n个个事事件件同同时时发发生生的的概概率率等等于于每
7、每个个事事件件发发生生的的概概率率的的积积.即：即：P(AP(A1 1AA2 2AAn n)= P(A)= P(A1 1)P(A)P(A2 2)P(A)P(An n) )（1 1）若）若A A、B B是相互是相互独立独立事件，则有事件，则有P(AB)= P(A)P(B)P(AB)= P(A)P(B). .相互独立事件同时发生的概率公式相互独立事件同时发生的概率公式事件的独立性和二项分布(修改后)练习练习1.1.判断下列事件是否为相互独立事件判断下列事件是否为相互独立事件. .篮球比赛的篮球比赛的“罚球两次罚球两次”中，中， 事件事件A A：第一次罚球，球进了：第一次罚球，球进了. . 事件事件
8、B B：第二次罚球，球进了：第二次罚球，球进了. .袋中有三个红球，两个白球，采取不放回的取球袋中有三个红球，两个白球，采取不放回的取球. .事件事件A A：第一次从中任取一个球是白球：第一次从中任取一个球是白球. .事件事件B B：第二次从中任取一个球是白球：第二次从中任取一个球是白球. .袋中有三个红球，两个白球，采取有放回的取球袋中有三个红球，两个白球，采取有放回的取球. . 事件事件A A：第一次从中任取一个球是白球：第一次从中任取一个球是白球. . 事件事件B B：第二次从中任取一个球是白球：第二次从中任取一个球是白球. .事件的独立性和二项分布(修改后)练练2 2、判断下列各对事件
9、的关系判断下列各对事件的关系（1 1）运动员甲射击一次，射中）运动员甲射击一次，射中9 9环与射中环与射中8 8环；环；（2 2）甲乙两运动员各射击一次，甲射中）甲乙两运动员各射击一次，甲射中9 9环与乙环与乙射中射中8 8环；环；互斥互斥相互独立相互独立相互独立相互独立相互独立相互独立（4 4）在一次地理会考中，）在一次地理会考中，“甲的成绩合甲的成绩合格格”与与“乙的成绩优秀乙的成绩优秀”事件的独立性和二项分布(修改后)练习练习3:已知已知A、B、C相互独立，试用数相互独立，试用数学符号语言表示下列关系学符号语言表示下列关系A、B、C同时发生概率；同时发生概率；A、B、C都不发生的概率；都
10、不发生的概率；A、B、C中恰有一个发生的概率；中恰有一个发生的概率；A、B、C中恰有两个发生的概率；中恰有两个发生的概率；A、B、C中至少有一个发生的概率；中至少有一个发生的概率；(1)A发生且发生且B发生且发生且C发生发生(2)A不发生且不发生且B不发生且不发生且C不发生不发生事件的独立性和二项分布(修改后)练习练习3:已知已知A、B、C相互独立，试用数相互独立，试用数学符号语言表示下列关系学符号语言表示下列关系A、B、C同时发生概率；同时发生概率；A、B、C都不发生的概率；都不发生的概率；A、B、C中恰有一个发生的概率；中恰有一个发生的概率；A、B、C中恰有两个发生的概率；中恰有两个发生的
11、概率；A、B、C中至少有一个发生的概率；中至少有一个发生的概率；事件的独立性和二项分布(修改后)例题举例例题举例例题举例例题举例例例1、某商场推出两次开奖活动，凡购买一定、某商场推出两次开奖活动，凡购买一定价值的商品可以获得一张奖券价值的商品可以获得一张奖券,抽到某一指定抽到某一指定号码为中奖。奖券上有一个兑奖号码，可以号码为中奖。奖券上有一个兑奖号码，可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动。如分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动。如果两次兑奖活动的中奖概率都为果两次兑奖活动的中奖概率都为0.05，求两，求两次抽奖中以下事件的概率：次抽奖中以下事件的概率：（1）“都抽到某一指定号码都抽到某一指定
12、号码”；（2）“恰有一次抽到某一指定号码恰有一次抽到某一指定号码”；（3）“至少有一次抽到某一指定号码至少有一次抽到某一指定号码”。事件的独立性和二项分布(修改后)例题解析例题解析例题解析例题解析解解:(1)记记“第一次抽奖抽到某一指定号码第一次抽奖抽到某一指定号码”为事件为事件A，“第二次抽奖抽到某一指定号码第二次抽奖抽到某一指定号码”为事件为事件B，则，则“两次抽奖都抽到某一指定号两次抽奖都抽到某一指定号码码”就是事件就是事件AB。（1）“都抽到某一指定号码都抽到某一指定号码”；由于两次的抽奖结果是互不影响的由于两次的抽奖结果是互不影响的,因此因此A和和B相互独立相互独立.于是由独立性可得
13、于是由独立性可得,两次抽奖都抽两次抽奖都抽到某一指定号码的概率为到某一指定号码的概率为P(AB)=P(A)P(B)=0.050.05=0.0025事件的独立性和二项分布(修改后)例题举例例题举例例题举例例题举例（2）“恰有一次抽到某一指定号码恰有一次抽到某一指定号码”；解解:“两次抽奖恰有一次抽到某一指定号码两次抽奖恰有一次抽到某一指定号码”可以用可以用表示。由于事件表示。由于事件与与互斥，根据概率加法公式和相互独立事件的互斥，根据概率加法公式和相互独立事件的定义，所求的概率为：定义，所求的概率为：事件的独立性和二项分布(修改后)例题举例例题举例例题举例例题举例（3）“至少有一次抽到某一指定号
14、码至少有一次抽到某一指定号码”；解解:“两次抽奖至少有一次抽到某一指定号码两次抽奖至少有一次抽到某一指定号码”可以用可以用表示。由于事件表示。由于事件与与两两互斥，根据概率加法公式和相互独立两两互斥，根据概率加法公式和相互独立事件的定义，所求的概率为：事件的定义，所求的概率为：另解：另解：(逆向思考逆向思考)至少有一次抽中的概率为至少有一次抽中的概率为事件的独立性和二项分布(修改后)例例2.2.甲甲, , 乙两人同时向敌人炮击乙两人同时向敌人炮击, ,已知甲击中敌机已知甲击中敌机的概率为的概率为0.6, 0.6, 乙击中敌机的概率为乙击中敌机的概率为0.5, 0.5, 求敌机求敌机被击中的概率
15、被击中的概率. .解解设设 A= 甲击中敌机甲击中敌机 ,B= 乙击中敌机乙击中敌机 ,C=敌机被击中敌机被击中 依题设依题设,由于由于 甲，乙同时射击，甲击中敌机并不影响乙击中甲，乙同时射击，甲击中敌机并不影响乙击中敌机的可能性，所以敌机的可能性，所以 A与与B独立独立, ,进而进而= 0.8事件的独立性和二项分布(修改后)练习练习1、若甲以、若甲以10发发8中，乙以中，乙以10发发7中的命中率打靶，中的命中率打靶， 两人各射击一次，则他们都中靶的概率是两人各射击一次，则他们都中靶的概率是( )(A)(B)(D)(C)练习练习2.某产品的制作需三道工序，设这三道工序出某产品的制作需三道工序，
16、设这三道工序出现次品的概率分别是现次品的概率分别是P1,P2,P3。假设三道工序互不。假设三道工序互不影响，则制作出来的产品是正品的概率是影响，则制作出来的产品是正品的概率是 。D(1P1) (1P2) (1P3)练习练习3.甲、乙两人独立地解同一问题甲、乙两人独立地解同一问题,甲解决这个甲解决这个问题的概率是问题的概率是P1, ，乙解决这个问题的概率是，乙解决这个问题的概率是P2，那么其中至少有那么其中至少有1人解决这个问题的概率是多少？人解决这个问题的概率是多少？P1 (1P2) +(1P1)P2+P1P2=P1 + P2 P1P2事件的独立性和二项分布(修改后)练习练习4:4: 已知诸葛
17、亮解出问题的概率为已知诸葛亮解出问题的概率为0.8,0.8,臭皮匠臭皮匠老大解出问题的概率为老大解出问题的概率为0.5,0.5,老二为老二为0.45,0.45,老三为老三为0.4,0.4,且每个人必须独立解题，问三个臭皮匠中且每个人必须独立解题，问三个臭皮匠中至少有一人解出的概率与诸葛亮解出的概率比至少有一人解出的概率与诸葛亮解出的概率比较，谁大？较，谁大？ 略解略解: : 三个臭皮匠中至少有一人解出的概率为三个臭皮匠中至少有一人解出的概率为 所以所以，合三个臭皮匠之力把握就大过，合三个臭皮匠之力把握就大过诸葛亮诸葛亮. .事件的独立性和二项分布(修改后)互斥事件互斥事件相互独立事件相互独立事
18、件 不可能同时发生的不可能同时发生的两个事件叫做互斥两个事件叫做互斥事件事件.如果事件如果事件A A（或（或B B）是否发生对事）是否发生对事件件B B（或（或A A）发生的概率没有影响，）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事这样的两个事件叫做相互独立事件件P(AB)=P(A)+P(B)P（AB）= P(A)P(B) 互斥事件互斥事件A A、B B中有中有一个发生，一个发生，相互独立事件相互独立事件A A、B B同时发同时发生生, ,计算计算公式公式 符符号号概概念念小结反思小结反思小结反思小结反思记作记作:AB(:AB(或或A+B)A+B)记作记作:AB事件的独立性和二项分布(修
19、改后)2.2.3独立重复试验与独立重复试验与二项分布二项分布事件的独立性和二项分布(修改后)复习引入复习引入事件的独立性和二项分布(修改后)共同特点是共同特点是:多次重复地做同一个试多次重复地做同一个试验验.分析下面的试验，它们有什么共同特点？分析下面的试验，它们有什么共同特点？投掷一个骰子投掷投掷一个骰子投掷5次次;某人射击某人射击1次，击中目标的概率是次，击中目标的概率是0.8，他射击，他射击10次次;实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，规实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，规定定5局局3胜制（即胜制（即5局内谁先赢局内谁先赢3局就算胜出并停止局就算胜出并停止比赛）比赛）;一个盒子
20、中装有一个盒子中装有5个球（个球（3个红球和个红球和2个黑球），个黑球），有放回地依次从中抽取有放回地依次从中抽取5个球个球;生产一种零件，出现次品的概率是生产一种零件，出现次品的概率是0.04,生产这种生产这种零件零件4件件.事件的独立性和二项分布(修改后)1.独立重复试验定义：独立重复试验定义：一般地，在相同条件下重复做的一般地，在相同条件下重复做的n n次试验次试验称为称为n n次独立重复试验次独立重复试验（1 1）每次试验是在同样条件下进行；每次试验是在同样条件下进行；（2 2）每次试验都只有两种结果每次试验都只有两种结果: :发生与不发生；发生与不发生；（3 3）各次试验中的事件是相
21、互独立的；各次试验中的事件是相互独立的；（4 4）每次试验）每次试验, ,某事件发生的概率是相同的。某事件发生的概率是相同的。注：注：独立重复试验的基本特征：独立重复试验的基本特征：基本概念基本概念事件的独立性和二项分布(修改后)判断下列试验是不是独立重复试验：判断下列试验是不是独立重复试验：1)1)依次投掷四枚质地不同的硬币依次投掷四枚质地不同的硬币,3,3次正面向上次正面向上; ;2)2)某射击手每次击中目标的概率是某射击手每次击中目标的概率是0.90.9，他进行了，他进行了4 4 次射击，只命中一次；次射击，只命中一次； 3)3)口袋装有口袋装有5 5个白球个白球,3,3个红球个红球,2
22、,2个黑球个黑球, ,从中从中依次依次 抽取抽取5 5个球个球, ,恰好抽出恰好抽出4 4个白球个白球; ;4)4)口袋装有口袋装有5 5个白球个白球,3,3个红球个红球,2,2个黑球个黑球, ,从中从中有放回有放回 的抽取的抽取5 5个球个球, ,恰好抽出恰好抽出4 4个白球个白球不是不是是是不是不是是是注：独立重复试验的实际原型是有放回的抽样试验事件的独立性和二项分布(修改后)探究探究 投掷一枚图钉，设针尖向上的概率为投掷一枚图钉，设针尖向上的概率为p，则针尖，则针尖向下的概率为向下的概率为q=1-p.连续掷一枚图钉连续掷一枚图钉3次，仅出现次，仅出现1次次针尖向上的概率是多少？针尖向上的
23、概率是多少？所以，连续掷一枚图钉所以，连续掷一枚图钉3次，仅出现次，仅出现1次次针尖向上的概率是针尖向上的概率是事件的独立性和二项分布(修改后)思考？思考？ 上面我们利用掷上面我们利用掷1次图钉，针尖向上的概率为次图钉，针尖向上的概率为p，求，求出了连续掷出了连续掷3次图钉，仅出现次次图钉，仅出现次1针尖向上的概率。类针尖向上的概率。类似地，连续掷似地，连续掷3次图钉，出现次图钉，出现 次针尖向次针尖向上的概率是多少？你能发现其中的规律吗？上的概率是多少？你能发现其中的规律吗？仔细观察上述等仔细观察上述等式，可以发现：式，可以发现：事件的独立性和二项分布(修改后)基本概念基本概念2、二项分布：
24、、二项分布： 一般地，在一般地，在n次独立重复试验中，设事件次独立重复试验中，设事件A发生的发生的次数为次数为X，在每次试验中事件，在每次试验中事件A发生的概率为发生的概率为p，那么，那么在在n次独立重复试验中，事件次独立重复试验中，事件A恰好发生恰好发生k次的概率为次的概率为此时称随机变量此时称随机变量X服从服从二项分布二项分布，记作，记作XB(n,p),并称并称p为成功概率。为成功概率。注注:（1）展展开开式式中的第中的第项项.事件的独立性和二项分布(修改后)（其中（其中k = 0，1，2，n ）试验总次数试验总次数事件事件 A 发生的次数发生的次数一次试验中事件一次试验中事件 A 发发生
25、的概率生的概率（2）公式理解）公式理解事件的独立性和二项分布(修改后)事件的独立性和二项分布(修改后)例例1.某射手每次射击击中目标的概率是某射手每次射击击中目标的概率是0.8. 求这名射手在求这名射手在10次射击中。次射击中。（1）恰有）恰有8次击中目标的概率；次击中目标的概率；（2）至少有）至少有8次击中目标的概率。次击中目标的概率。 （结果保留两个有效数字）（结果保留两个有效数字）事件的独立性和二项分布(修改后)解：设解：设X为击中目标的次数，则为击中目标的次数，则XB(10,0.8)(1)在在10次射击中，恰有次射击中，恰有8次击中目标的概率为次击中目标的概率为(2)在在10次射击中，
26、至少有次射击中，至少有8次击中目标的概率为次击中目标的概率为事件的独立性和二项分布(修改后)事件的独立性和二项分布(修改后)练练2. 2. 设一射手平均每射击设一射手平均每射击1010次中靶次中靶4 4次，求在五次射击次，求在五次射击中中击中一次，击中一次，恰在第二次击中，恰在第二次击中，击中两次，击中两次，第第二、三两次击中，二、三两次击中，至少击中一次的概率至少击中一次的概率由题设，此射手射击由题设，此射手射击1 1次，中靶的概率为次，中靶的概率为0.40.4 n n5 5，k k1 1，应用公式得，应用公式得 事件事件“第二次击中第二次击中”表示第一、三、四、五次击中或表示第一、三、四、
27、五次击中或击不中都可，它不同于击不中都可，它不同于“击中一次击中一次”，也不同于，也不同于“第二次第二次击中，其他各次都不中击中，其他各次都不中”，不能用公式它的概率就是，不能用公式它的概率就是0.40.4nn5 5，k k2 2，事件的独立性和二项分布(修改后)“第二、三两次击中第二、三两次击中”表示第一次、第四次及第五表示第一次、第四次及第五次可中可不中，所以概率为次可中可不中，所以概率为0.40.40.40.40.160.16设设“至少击中一次至少击中一次”为事件为事件B B，则，则B B包括包括“击中一次击中一次”，“击中两次击中两次”，“击中三次击中三次”，“击中四次击中四次”，“击
28、击中五次中五次”，所以概率为，所以概率为P(B)P(B)P(1)P(1)P(2)P(2)P(3)P(3)P(4)P(4)P(5)P(5) 0.25920.25920.34560.34560.23040.23040.07680.07680.010240.01024 0.922240.922241P(0)练练2 2： 设一射手平均每射击设一射手平均每射击1010次中靶次中靶4 4次，求在五次射击次，求在五次射击中中击中一次，击中一次，第二次击中，第二次击中，恰好击中两次，恰好击中两次，刚刚好在第二、三两次击中，好在第二、三两次击中，至少击中一次的概率至少击中一次的概率事件的独立性和二项分布(修改后
29、)求恰好摸求恰好摸5次就停止的概率。次就停止的概率。记五次之内（含记五次之内（含5次）摸到红球的次数为次）摸到红球的次数为X，求随机变量求随机变量X的分布列。的分布列。例例2.袋袋A中装有若干个均匀的红球和白球，从中装有若干个均匀的红球和白球，从A中摸出一个红球的概中摸出一个红球的概率是率是 ，从，从A中有放回的摸球，每次摸出中有放回的摸球，每次摸出1个，个，有有3次摸到红球就次摸到红球就停止。停止。解：解：恰好摸恰好摸5 5次就停止的概率为次就停止的概率为事件的独立性和二项分布(修改后)随机变量随机变量X X的取值为的取值为0 0，1 1，2 2， 3 3所以随机变量所以随机变量X X的分布
30、列为的分布列为X0123P事件的独立性和二项分布(修改后) 1.1.在独立重复试验中，若每次试在独立重复试验中，若每次试验结果只有事件验结果只有事件A A发生或不发生两种发生或不发生两种可能，则事件可能，则事件A A发生的次数服从二项发生的次数服从二项分布；若每次试验结果有多种可能，分布；若每次试验结果有多种可能，则可以根据需要适当设定事件则可以根据需要适当设定事件A A，将，将其转化为二项分布其转化为二项分布. .课堂小结课堂小结事件的独立性和二项分布(修改后) 2.2.二项分布二项分布B(n，p)中有两个参数，中有两个参数，其中其中n是独立重复试验的总次数，是独立重复试验的总次数，p是是每
31、次试验事件每次试验事件A发生的概率，书写时发生的概率，书写时n在左，在左，p在右在右.课堂小结课堂小结事件的独立性和二项分布(修改后) 3.3.二项分布是来自于独立重复试验二项分布是来自于独立重复试验的一个概率模型，对于求在的一个概率模型，对于求在n次独立重次独立重复试验中，事件复试验中，事件A A恰好发生恰好发生k次的概率，次的概率，就直接利用概率公式求解就直接利用概率公式求解. .课堂小结课堂小结事件的独立性和二项分布(修改后)解解注注: :事件首次发生所需要的试验次数事件首次发生所需要的试验次数服从几何分布服从几何分布 1 2 3 k P p pq pq2 pqk-1 几几何何分分布布事件的独立性和二项分布(修改后)练习练习:某射手有某射手有5发子弹，射击一次命中的概率为发子弹，射击一次命中的概率为0.9,如果命中了就停止射击，否则一直射击到子弹用完，如果命中了就停止射击，否则一直射击到子弹用完，求耗用子弹数求耗用子弹数 的分布列的分布列.解：解：的所有取值为：的所有取值为：1、2、3、4、5表示前四次都没射中表示前四次都没射中43215故所求分布列为故所求分布列为: :事件的独立性和二项分布(修改后)小小结结独立重复试验独立重复试验二项分布二项分布事件的独立性和二项分布(修改后)
