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1、直线的方程课件直线的方程课件1(1(北北师大版必修师大版必修2)2)一.复习回顾 直线的方程与方程的直线直线的方程与方程的直线直的倾斜角和斜率直的倾斜角和斜率概念辨析概念辨析 7.2 直线的方程(1)斜率公式斜率公式斜率公式的形式特点及适用范围斜率公式的形式特点及适用范围 确定一条直线需要具备几个独立条件确定一条直线需要具备几个独立条件 以一个方程的解为坐标的点都是某条直以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点，反过来，这条直线上的点的坐线上的点，反过来，这条直线上的点的坐标都是这个方程的解，这时，这个方程就标都是这个方程的解，这时，这个方程就叫做这条直线的方程；这条直线叫做这个叫做这条直线
2、的方程；这条直线叫做这个方程的直线。方程的直线。直线的方程与方程的直线直线的方程与方程的直线直线的倾斜角和斜率直线的倾斜角和斜率 在平面直角坐标系中，对于一条与在平面直角坐标系中，对于一条与x x轴相交的直线，如果把轴相交的直线，如果把x x轴绕着交点按逆轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为小正角记为 ，那么，那么 就叫做直线的倾就叫做直线的倾斜角。斜角。 倾斜角不是倾斜角不是9090的直线，它的的直线，它的倾斜角的倾斜角的正切正切叫做这条直线的斜率，常用叫做这条直线的斜率，常用K K表示。表示。斜斜 率率 公公 式式 经过两点经过两点p
3、 p1 1(x(x1 1，y y1 1) )，p p2 2(x(x2 2，y y2 2) )的直线的斜率公式：的直线的斜率公式：斜率公式的形式特点及适用范围斜率公式的形式特点及适用范围 斜率公式与两点的顺序无关，斜率公式与两点的顺序无关， 即两点的纵坐标和横坐标在公式中的前后次序可同时颠倒；即两点的纵坐标和横坐标在公式中的前后次序可同时颠倒； 斜率公式表明，直线对于斜率公式表明，直线对于x轴的倾斜程度，轴的倾斜程度， 可以通过直线上任意两点坐标表示，而不需求出直线的倾斜角；可以通过直线上任意两点坐标表示，而不需求出直线的倾斜角； 斜率公式是研究直线方程各种形式的基础，必须熟记，斜率公式是研究直
4、线方程各种形式的基础，必须熟记， 并且会灵活运用并且会灵活运用; 当当x1=x2 ,y1 y2时，直线的倾斜角时，直线的倾斜角900，没有斜率，没有斜率.确定一条直线需要具备几个独立条件确定一条直线需要具备几个独立条件 1 直线经过一个已知点及方向（即斜率）直线经过一个已知点及方向（即斜率）; 2 直线经过两个已知点；直线经过两个已知点；如果把直线当作结论，如何根据这些条件如果把直线当作结论，如何根据这些条件求出直线方程？求出直线方程？7.2 7.2 直线的方程直线的方程 若直线若直线L L经过点经过点P P1 1（1 1，2 2），且斜率为），且斜率为1 1，求直线，求直线L L的方程的方程
5、. .思考思考1 1、直线方程的点斜式和斜截式、直线方程的点斜式和斜截式若直线若直线L经过点经过点p1(x1,y1)，且斜率为，且斜率为k，求，求L的方程？的方程？ 问题问题1 1平面上的所有直线是否都可以用点斜式表示？平面上的所有直线是否都可以用点斜式表示？问题问题2 2：1 1、直线方程的点斜式和斜截式、直线方程的点斜式和斜截式讨论讨论讨论讨论：（：（1）区别方程）区别方程 与方程与方程 。 （2）直线的斜率）直线的斜率k=0时，方程如何？时，方程如何？ （3）点斜式方程有狭隘性？哪方面？）点斜式方程有狭隘性？哪方面？ （4）直线的斜率不存在时，方程如何？）直线的斜率不存在时，方程如何？k
6、xxyy=-11)(11xxkyy-=-不能不能,因为斜率可能不存在因为斜率可能不存在. 因此因此,在具体运用时应根据情况在具体运用时应根据情况分类分类分类分类讨论讨论,避免遗漏避免遗漏避免遗漏避免遗漏. 纵截距纵截距：直线直线L L与与Y Y轴交点的纵坐标。轴交点的纵坐标。横截距：横截距：直线直线L L与与X X轴交点的横坐标。轴交点的横坐标。 已知直线的斜率为已知直线的斜率为K K，与，与Y Y轴的交点是轴的交点是P P（0 0，b b），）， 求直线求直线L L的方程？的方程？说明说明：(1)上述方程是由直线上述方程是由直线L的斜率和它的纵截距确定的，叫做直线的方程的的斜率和它的纵截距确
7、定的，叫做直线的方程的斜截式。斜截式。斜截式。斜截式。(2)(2)纵截距可以大于纵截距可以大于0 0，也可以等于，也可以等于0 0或小于或小于0 0。问题问题问题问题3 3 3 3：1 1、直线方程的点斜式和斜截式、直线方程的点斜式和斜截式(3)斜截式与点斜式存在什么关系？斜截式是点斜式的特殊情况，某些情况下用斜截式与点斜式存在什么关系？斜截式是点斜式的特殊情况，某些情况下用 斜截式比用点斜式更方便斜截式比用点斜式更方便. (4)斜截式在形式上与一次函数的表达式一样，但它们之间有什么差别？斜截式在形式上与一次函数的表达式一样，但它们之间有什么差别？ 什么情况下，斜截式方程才是一次函数的表达式什
8、么情况下，斜截式方程才是一次函数的表达式.例例1 : 一条直线经过点一条直线经过点P1(-2,3)，倾斜角，倾斜角 =450， 求这条直线的方程求这条直线的方程.例例2: 写出下列直线的斜截式方程，并画出图形：写出下列直线的斜截式方程，并画出图形： 斜率是斜率是1/2，在轴上的距截是，在轴上的距截是2； 斜角是斜角是1350，在轴上的距截是，在轴上的距截是3 如果直线如果直线 l 的倾斜角为的倾斜角为0，那么经过一点，那么经过一点P1(x1，y1) 的直线的直线l的方程为的方程为 。 y=y1如果直线如果直线l的倾斜角为的倾斜角为90，那么经过一点，那么经过一点P1(x1，y1) 的直线的直线
9、l的方程为的方程为 。 x=x1一条直线经过点一条直线经过点P（-2，3），倾斜角为），倾斜角为45，求这条直线的方程，并画出图形。，求这条直线的方程，并画出图形。课堂练习课堂练习( (一）一）写出下列直线的点斜式方程；（1 1）经过点）经过点A A（2 2，5 5），斜率是），斜率是4 4； （2 2）经过点）经过点B B（3 3，-1-1），斜率是），斜率是 ；（3 3）经过点）经过点C C（- - ，2 2），倾斜角是），倾斜角是3030；（4 4）经过点）经过点D D（0 0，3 3），倾斜角是），倾斜角是00；（5 5）经过点）经过点E E（4 4，-2-2），倾斜角是），倾斜角是1
10、20120；答案答案（1）已知直线的点斜式方程是）已知直线的点斜式方程是y-2=x-1,那么直线的斜率是那么直线的斜率是_,倾斜角是倾斜角是_(2)已知直线的点斜式方程是已知直线的点斜式方程是那么直线的斜率是那么直线的斜率是_倾斜角是倾斜角是_，145o150o(3).下面四个直线方程中，可以看作是直线的斜截式方程的是下面四个直线方程中，可以看作是直线的斜截式方程的是( ) A.x =3 B. y=5 C.2y=x D. x=4y1B(4)已知直线的斜率已知直线的斜率k=2，P1(3,5),P2(x2,7),P3(-1,y3)是这条是这条 直线上的三点，求直线上的三点，求x2 , y3.33-
11、小结小结方程方程y-yy-y1 1=k(x-x=k(x-x1 1) )是由直线上一点和直线的斜率是由直线上一点和直线的斜率确定的，所以叫做直线方程的确定的，所以叫做直线方程的点斜式；点斜式；点斜式；点斜式；方程方程y=kx+by=kx+b是由直线是由直线 l l 的斜率和它在的斜率和它在 y y 轴上的轴上的截距确定的，所以叫做直线方程的截距确定的，所以叫做直线方程的斜截式；斜截式；斜截式；斜截式；求直线方程应注意分类：求直线方程应注意分类：()()当当k k存在时存在时, ,经过点经过点P P1 1(x(x1 1，y y1 1) )的方程为的方程为y-yy-y1 1=k(x-x=k(x-x1
12、 1) ) ；() () 当当k k不存在时，经过点不存在时，经过点P P1 1(x(x1 1，y y1 1) )的方程为的方程为 x=xx=x1 1 。方程方程y=kx+by=kx+b是是y-yy-y1 1=k(x-x=k(x-x1 1) ) 的特殊情况，其图的特殊情况，其图形是直线，运用它们解决问题的形是直线，运用它们解决问题的前提是前提是前提是前提是k k k k存在存在存在存在。通过上面的学习和应用，请同学们总结一通过上面的学习和应用，请同学们总结一下，确定一条直线需要几个独立的条件？下，确定一条直线需要几个独立的条件？方程名称方程名称 已知条件已知条件直线方程直线方程适应范适应范围围
13、点斜式点斜式斜截式斜截式小结小结y-y0=k(x-x0)y=kx+b点点(x0,y0)斜率斜率k截距截距b斜率斜率kk存在存在k存在存在2 2 一直线过点一直线过点A(-1,-3)A(-1,-3)，其倾斜角等于直线，其倾斜角等于直线 y=2xy=2x倾斜角的两倍，求直线倾斜角的两倍，求直线l l的方程的方程. .1 1 直线直线y=ax+b(a+b=0)y=ax+b(a+b=0)的图象是的图象是 ( )( )1- -1- -1ABCD课前练习课前练习2 2、直线方程的、直线方程的两点式两点式和截距式和截距式已知直线上两点已知直线上两点已知直线上两点已知直线上两点A(xA(x1 1,y,y1 1
14、), B(x), B(x2 2,y,y2 2) ,(x) ,(x1 1 x x2 2) )求直线方程求直线方程求直线方程求直线方程. . 范围的区别范围的区别应用直线方程的点斜式，求经过下列两点的直线方程：应用直线方程的点斜式，求经过下列两点的直线方程：应用直线方程的点斜式，求经过下列两点的直线方程：应用直线方程的点斜式，求经过下列两点的直线方程： A(2,1),B(6,-3)A(2,1),B(6,-3)； A(-4,-5),B(0,0)A(-4,-5),B(0,0) 两点式两点式两点式两点式)(112121xxxxyyyy-=-121121xxxxyyyy-=-由于这个方程是由直线上两点确定
15、的由于这个方程是由直线上两点确定的探究探究探究探究1 1：哪些直线不能用两点式表示？：哪些直线不能用两点式表示？：哪些直线不能用两点式表示？：哪些直线不能用两点式表示？探究探究探究探究2 2：若要包含倾斜角为：若要包含倾斜角为：若要包含倾斜角为：若要包含倾斜角为90900 0或或或或0 0的直线，的直线，的直线，的直线， 应把两点式变成什么形式应把两点式变成什么形式应把两点式变成什么形式应把两点式变成什么形式？探究探究探究探究3 3：我们推导两点式是通过点斜式推导出来的，：我们推导两点式是通过点斜式推导出来的，：我们推导两点式是通过点斜式推导出来的，：我们推导两点式是通过点斜式推导出来的， 还
16、有没有其他的途径来进行推导呢？还有没有其他的途径来进行推导呢？还有没有其他的途径来进行推导呢？还有没有其他的途径来进行推导呢？2 2、直线方程的、直线方程的两点式两点式和截距式和截距式例例1 : 求过下列两点的直线的两点式方程，求过下列两点的直线的两点式方程， 再化为斜截式方程再化为斜截式方程. （1）A（2,1），），B（0，3）；）； （2）A（1，2），），B（3,4） （3）A（0,5），），B(5,0)； （4）A(a,0) B(0,b )（a,b均不为均不为0）2 2、直线方程的、直线方程的两点式两点式和截距式和截距式2 2、直线方程的两点式和、直线方程的两点式和截距式截距式直线与
17、直线与直线与直线与x x轴交于一点（轴交于一点（轴交于一点（轴交于一点（a,0a,0）, ,定义定义定义定义a a为直线在为直线在为直线在为直线在x x轴上的截距轴上的截距轴上的截距轴上的截距；直线与直线与直线与直线与y y轴交于一点（轴交于一点（轴交于一点（轴交于一点（0,b0,b）定义）定义）定义）定义b b为直线在为直线在为直线在为直线在y y轴上的截距轴上的截距轴上的截距轴上的截距. . 以上直线方程是由直线在以上直线方程是由直线在x轴和轴和y轴上的截距确定的，轴上的截距确定的，所以叫做直线方程的截距式所以叫做直线方程的截距式. 由这两个特殊点，如何求直线的方程？有何特征？由这两个特殊
18、点，如何求直线的方程？有何特征？1=+byax探究探究4：a,b表示截距，是不是表示直线表示截距，是不是表示直线 与坐标轴的两个交点到原点的距离与坐标轴的两个交点到原点的距离？探究探究5：有没有截距式不能表示的直线？：有没有截距式不能表示的直线？2 2、直线方程的两点式和、直线方程的两点式和截距式截距式例例3、 说出下列直线的方程，并画出图形说出下列直线的方程，并画出图形. 倾斜角为倾斜角为450，在轴上的截距为，在轴上的截距为0； 在在x轴上的截距为轴上的截距为5，在，在y轴上的截距为轴上的截距为6； 在在x轴上截距是轴上截距是3，与，与y轴平行；轴平行； 在在y轴上的截距是轴上的截距是4，
19、与，与x轴平行轴平行.2 2、直线方程的、直线方程的两点式和截距式两点式和截距式例例2 2、三角形的顶点是三角形的顶点是A(-5,0),B(3,-3),C(0,2)A(-5,0),B(3,-3),C(0,2) 求这个三角形三边所在的直线方程求这个三角形三边所在的直线方程. .2 2、直线方程的、直线方程的两点式和截距式两点式和截距式.;1.;)()( ),(),(.;)( ),(.) (12112122211100000表示用经过定点的直线都可以表示以用方程不经过原点的直线都可表示都可以用方程的点的直线经过任意两个不同表示方程的直线都可以用经过定点题是下列四个命题中的真命bkxyDbyaxCy
20、yxxxxyyyxPyxPBxxkyyyxPA+=+-=-=-B2 2、直线方程的、直线方程的两点式和截距式两点式和截距式1过点过点过点过点P(2,1)P(2,1)作直线作直线作直线作直线L L交交交交x,yx,y正半轴于正半轴于正半轴于正半轴于A,BA,B两点，当两点，当两点，当两点，当 |PA|PA|.|PB|.|PB|取到最小取到最小取到最小取到最小值时值时，求直，求直，求直，求直线线L L的方程。的方程。的方程。的方程。2已知直线的斜率为已知直线的斜率为已知直线的斜率为已知直线的斜率为1/61/6，且和坐标轴围成面积为，且和坐标轴围成面积为，且和坐标轴围成面积为，且和坐标轴围成面积为
21、3 3的三角形，求该直线的方程。的三角形，求该直线的方程。的三角形，求该直线的方程。的三角形，求该直线的方程。3 一条直线经过一条直线经过A(1,2)，且与两坐标轴的正半轴所，且与两坐标轴的正半轴所 围成的三角形面积是围成的三角形面积是4，求这条直线的方程。，求这条直线的方程。1=+byax通过上面的学习和应用，请同学们总结一通过上面的学习和应用，请同学们总结一下，确定一条直线需要几个独立的条件？下，确定一条直线需要几个独立的条件？方程名称方程名称已知条件已知条件直线方程直线方程适应范适应范围围两点式两点式截距式截距式小结小结P P1 1(x(x1 1,y,y1 1) )P P2 2(x(x2
22、 2,y,y2 2)x x轴上的截距轴上的截距轴上的截距轴上的截距y y轴上的截距轴上的截距轴上的截距轴上的截距121121xxxxyyyy-=-2121,yyxxa 0且且b 03 3、直线方程的一般形式、直线方程的一般形式直直直直线线线线名称名称名称名称已知条件已知条件已知条件已知条件直直直直线线线线方程方程方程方程使用范使用范使用范使用范围围围围示意示意示意示意图图图图点斜式点斜式点斜式点斜式斜截式斜截式斜截式斜截式两点式两点式两点式两点式截距式截距式截距式截距式P(x1,y1)及及kk及及bP(x1,y1)及及P2(x2,y2)a及及ba 0且且b 0直线方程有几种形式？指明它们的条件
23、及应用范围直线方程有几种形式？指明它们的条件及应用范围. .什么叫二元一次方程？直线与二元一次方程有什么关系什么叫二元一次方程？直线与二元一次方程有什么关系? ?)(11xxkyy-=-存在kbkxy+=存在k121121xxxxyyyy-=-2121,yyxx1=+byax3 3、直线方程的一般形式、直线方程的一般形式问题问题1：平面内的任一条直线，一定可以用：平面内的任一条直线，一定可以用 以上四种形式之一来表示吗？以上四种形式之一来表示吗？问题问题2：是否存在某种形式的直线方程，：是否存在某种形式的直线方程， 它能表示平面内的任何一条直线？它能表示平面内的任何一条直线？直直直直线线线线名
24、称名称名称名称已知条件已知条件已知条件已知条件直直直直线线线线方程方程方程方程使用范使用范使用范使用范围围围围示意示意示意示意图图图图点斜式点斜式点斜式点斜式斜截式斜截式斜截式斜截式两点式两点式两点式两点式截距式截距式截距式截距式P(x1,y1)及及kk及及bP(x1,y1)及及P2(x2,y2)a及及ba 0且且b 0什么叫二元一次方程？直线与二元一次方程有什么关系什么叫二元一次方程？直线与二元一次方程有什么关系什么叫二元一次方程？直线与二元一次方程有什么关系什么叫二元一次方程？直线与二元一次方程有什么关系? ? ? ?)(11xxkyy-=-存在kbkxy+=存在k121121xxxxyy
25、yy-=-2121,yyxx1=+byax问题问题1：平面内的任一条直线，一定可以用：平面内的任一条直线，一定可以用 以上四种形式之一来表示吗？以上四种形式之一来表示吗？问题问题2：是否存在某种形式的直线方程，：是否存在某种形式的直线方程， 它能表示平面内的任何一条直线？它能表示平面内的任何一条直线？探究探究2：在平面直角坐标系中，任何直线的方程：在平面直角坐标系中，任何直线的方程 都可以表示成都可以表示成Ax+By+C=0 (A、B不全不全 为为0)的形式吗？的形式吗？探究探究1：方程：方程Ax+By+C=0 (A、B不全为不全为0) 总表示直线吗？总表示直线吗？ Ax+By+C=0(Ax+
26、By+C=0(其中其中其中其中A A、B B、C C是常数，是常数，是常数，是常数，A A、B B不全为不全为不全为不全为0)0)的形式，叫做直线方程的一般式的形式，叫做直线方程的一般式的形式，叫做直线方程的一般式的形式，叫做直线方程的一般式3 3、直线方程的一般形式、直线方程的一般形式3 3、直线方程的一般形式、直线方程的一般形式解：经过点A（6，- 4）并且斜率等于- 4/3 的直线方程的点斜 式是 y + 4 = -4/5 （x 6） 化成一般式，得 4x+3y 12=0 例例1 1、已知直线经过点已知直线经过点A A（6 6，- 4- 4），斜率为），斜率为-4/3-4/3， 求直线的
27、点斜式和一般式方程求直线的点斜式和一般式方程. .注意注意 对于直线方程的一般式，一般作如下约定：对于直线方程的一般式，一般作如下约定：x x的的系数为正，系数为正，x,yx,y的系数及常数项一般不出现分数，一般按的系数及常数项一般不出现分数，一般按含含x x项，含项，含y y项、常数项顺序排列项、常数项顺序排列. .2.2.已知直线已知直线已知直线已知直线Ax+By+C=0Ax+By+C=0(1)当当B0时，斜率是多少时，斜率是多少?当当B0时呢时呢?(2)系数取什么值时，方程表示通过原点的直线系数取什么值时，方程表示通过原点的直线?斜率是斜率是 1/2，经过点，经过点A（8，-2）；）；经
28、过点经过点B（4，2），平行于），平行于X轴；轴；在在X轴和轴和Y轴上的截距分别是轴上的截距分别是3/2，- 3；经过两点经过两点P1（3，-2），），P2（5，-4）；）；根据下列条件写出直线的方程，并且化成一般式：根据下列条件写出直线的方程，并且化成一般式：根据下列条件写出直线的方程，并且化成一般式：根据下列条件写出直线的方程，并且化成一般式：3 3、直线方程的一般形式、直线方程的一般形式解：将原方程移项，得2y = x+6， 两边除以2，得斜截式因此，直线L的斜率k=1/2，它在Y轴上的截距是3 ，令y=0，可得 x= -6即直线L在X轴上的截距是- 6xyo3-6例例2 2、把直线把直
29、线l l 的方程的方程x 2y+6= 0x 2y+6= 0化成斜截式，化成斜截式， 求出直线求出直线l l 的斜率和它在的斜率和它在X X轴与轴与Y Y轴上的截轴上的截 距，并画图距，并画图. .321+=xy3 3、直线方程的一般形式、直线方程的一般形式例例3 3、设直线设直线L L的方程为的方程为 （m m2 2-2m-3-2m-3）x+x+（2m2m2 2+m-1+m-1）y=2m-6y=2m-6，根据下列，根据下列 条件确定条件确定m m的值：的值： （1 1） L L在在X X轴上的截距是轴上的截距是-3-3；（；（2 2）斜率是）斜率是-1.-1.解：（1）由题意得( (2)由题意
30、得当m=1时，2m2+m1= 0 ，m- 1m = 4/3332622-=-mmm()()623322-=-.-mmm353-=mm或解得032,32=-=mmm时而当35,3-=mm1323222-=-+-mmmm0) 12(3222=-+-mmmm341=-=mm或解得求下列直线的斜率和在求下列直线的斜率和在求下列直线的斜率和在求下列直线的斜率和在Y Y轴上的截距，并画出图形：轴上的截距，并画出图形：轴上的截距，并画出图形：轴上的截距，并画出图形： 3x+y-5=0 x/4 y/5 =1 x+2y=0 7x6y+4=0 2y7=03 3、直线方程的一般形式、直线方程的一般形式例例4 4、利用直线方程的一般式，求过点利用直线方程的一般式，求过点(0,3)(0,3)并且并且 与坐标轴围成三角形面积是与坐标轴围成三角形面积是6 6的直线方程的直线方程. .解：设直线为Ax+By+C=0，直线过点（0，3）代入直线方程得3B= -C， B= C/3A=C/4又直线与X，Y轴的截距分别为x= -C/AY= -C/B由三角形面积为6得方程为OXY3所求直线方程为3x-4y+12=0或3X+4y-12=0122=ABC034=+-CyCxC结束结束
