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1、材料力学材料力学(II)电子教案电子教案弯曲问题的进一步研究弯曲问题的进一步研究第第 1 章章 弯曲问题的进一步研究弯曲问题的进一步研究1-1 非对称纯弯曲梁的正应力非对称纯弯曲梁的正应力1-2 两种材料的组合梁两种材料的组合梁1-3 开口薄壁梁的切应力开口薄壁梁的切应力弯曲中心弯曲中心1-4 开口薄壁截面梁约束扭转的概念开口薄壁截面梁约束扭转的概念1-5 平面大曲率杆纯弯曲时的正应力平面大曲率杆纯弯曲时的正应力1材料力学材料力学(II)电子教案电子教案弯曲问题的进一步研究弯曲问题的进一步研究1-1 非对称纯弯曲梁的正应力非对称纯弯曲梁的正应力 当梁具有一个纵向对称平面，且外力作用在该当梁具有
2、一个纵向对称平面，且外力作用在该对称平面内时，梁将发生对称弯曲对称平面内时，梁将发生对称弯曲(图图a)，材料力学材料力学(I)中已研究了该情形下梁横截面上的正应力。中已研究了该情形下梁横截面上的正应力。(对称轴对称轴)Fzy(a)xyzF2材料力学材料力学(II)电子教案电子教案弯曲问题的进一步研究弯曲问题的进一步研究 当梁不具有纵向对称平面，或梁虽具有纵向对当梁不具有纵向对称平面，或梁虽具有纵向对称平面，但外力作用面与该平面间有一夹角，梁将称平面，但外力作用面与该平面间有一夹角，梁将发生非对称弯曲发生非对称弯曲(图图b)。本节研究非对称弯曲时，本节研究非对称弯曲时，梁横截面上的正应力。梁横截
3、面上的正应力。zFyxFzy(b)zyF对称轴对称轴z3材料力学材料力学(II)电子教案电子教案弯曲问题的进一步研究弯曲问题的进一步研究 三角形截面纯弯曲梁如图三角形截面纯弯曲梁如图(a)所示，图中，所示，图中，x为为梁的轴线，梁的轴线，y 、z为任意一对相互垂直的形心轴。横为任意一对相互垂直的形心轴。横截面上弯矩截面上弯矩M的矢量方向和的矢量方向和y轴的夹角为轴的夹角为j j，M 在在y、z 轴上的分量分别为轴上的分量分别为My和和Mz。. 非对称纯弯曲梁正应力的普遍公式非对称纯弯曲梁正应力的普遍公式 4材料力学材料力学(II)电子教案电子教案弯曲问题的进一步研究弯曲问题的进一步研究 几何方
4、面几何方面 试验表明，非试验表明，非对称弯曲时，平面假设依然对称弯曲时，平面假设依然成立，设横截面的中性轴为成立，设横截面的中性轴为n -n(位置未定位置未定)，距中性轴为，距中性轴为h h(图图b)的任一点的线应变为的任一点的线应变为式中，式中，r r为变形后中性层的曲为变形后中性层的曲率半径。率半径。(1)5材料力学材料力学(II)电子教案电子教案弯曲问题的进一步研究弯曲问题的进一步研究 物理方面物理方面 横截面上各点仍为单轴应力状态，横截面上各点仍为单轴应力状态，并设材料在线弹性范围内工作，且拉伸和压缩时的并设材料在线弹性范围内工作，且拉伸和压缩时的弹性模量均为弹性模量均为E，横截面上任
5、一点的正应力为横截面上任一点的正应力为(2)6材料力学材料力学(II)电子教案电子教案弯曲问题的进一步研究弯曲问题的进一步研究静力学方面静力学方面 法向内力元素法向内力元素s s dA组成的内力分别为组成的内力分别为将将(2)式代入式代入(3)式，得式，得(3)(4)(5)7材料力学材料力学(II)电子教案电子教案弯曲问题的进一步研究弯曲问题的进一步研究因为因为 ，必有，必有 可见，中性轴可见，中性轴nn通过通过横截面的形心。设中性轴横截面的形心。设中性轴nn和和y轴的夹角为轴的夹角为q q，如如图所示。由图可见图所示。由图可见将上式代入将上式代入(2)式，得式，得8材料力学材料力学(II)电
6、子教案电子教案弯曲问题的进一步研究弯曲问题的进一步研究将将(6)式代入式代入(4)、(5)两式，并注意到两式，并注意到可得可得9材料力学材料力学(II)电子教案电子教案弯曲问题的进一步研究弯曲问题的进一步研究联解以上两式，得联解以上两式，得将将(7)，(8)两式代入两式代入(6)式，得式，得(1-1)式称为式称为广义弯曲正应力公式广义弯曲正应力公式。 (1-1)10材料力学材料力学(II)电子教案电子教案弯曲问题的进一步研究弯曲问题的进一步研究由由(7)和和(8)式可以解出中性轴和式可以解出中性轴和y轴的夹角轴的夹角q q为为由由(1-2)式可以确定中式可以确定中性轴的位置。令性轴的位置。令(
7、1-1)式中式中也可以得到也可以得到(1-2)式。式。11材料力学材料力学(II)电子教案电子教案弯曲问题的进一步研究弯曲问题的进一步研究 横截面上的最大拉应力和最大压应力分别发生横截面上的最大拉应力和最大压应力分别发生在距中性轴最远的在距中性轴最远的D1和和D2点处，如图点处，如图a、b所示。把所示。把D1和和D2点的坐标点的坐标(y，z)代入代入(1-1)式，可以得到横截式，可以得到横截面的面的s st,max和和s sc,max。 (1-1)式也可式也可以用于计算细以用于计算细长梁横力弯曲长梁横力弯曲时，横截面上时，横截面上的正应力。的正应力。12材料力学材料力学(II)电子教案电子教案
8、弯曲问题的进一步研究弯曲问题的进一步研究. 广义弯曲正应力公式的讨论广义弯曲正应力公式的讨论 广义弯曲正应力公式广义弯曲正应力公式(1-1)适用一切弯曲情况下梁适用一切弯曲情况下梁横截面上正应力的计算，分述如下：横截面上正应力的计算，分述如下： (1) 梁具有纵向对称平面梁具有纵向对称平面xy，且外力作用在该平且外力作用在该平面内面内(对称弯曲，平面弯曲对称弯曲，平面弯曲)。上式即为对称弯曲时，梁横截面上的正应力计算公上式即为对称弯曲时，梁横截面上的正应力计算公式，式中的负号是因为式，式中的负号是因为(1-1)式中式中Mz为负值。为负值。令令(1-1)式中，式中，My= 0 , Mz=M ,
9、Iyz= 0 , 得得(1-1)13材料力学材料力学(II)电子教案电子教案弯曲问题的进一步研究弯曲问题的进一步研究 (2) 梁不具有纵向对称平面，但外力作用在梁的梁不具有纵向对称平面，但外力作用在梁的形心主惯性平面内，或外力作用面与形心主惯性平形心主惯性平面内，或外力作用面与形心主惯性平面平行面平行 如图所示如图所示Z字形截面梁，图中字形截面梁，图中y,z轴为形心主惯性轴轴为形心主惯性轴(Iyz=0)，xy，xz均为形心主惯性平面。均为形心主惯性平面。弯矩弯矩M位于位于xy面内面内(M的矢量沿的矢量沿z轴轴)。将。将My=0，M=Mz，Iyz=0代代人人(1-1)式，得式，得(1-1)14材
10、料力学材料力学(II)电子教案电子教案弯曲问题的进一步研究弯曲问题的进一步研究上式表明，只要外力作用在形心主惯性平面内，或上式表明，只要外力作用在形心主惯性平面内，或者外力作用面平行于形心主惯性平面时，对称弯曲者外力作用面平行于形心主惯性平面时，对称弯曲时的正应力公式仍然适用。时的正应力公式仍然适用。由由(1-2)式，得式，得，即，即说明中性轴为说明中性轴为z轴，梁只绕轴，梁只绕z轴弯曲，梁的挠曲线和轴弯曲，梁的挠曲线和外力均在外力均在xy平面内，或外力所在平面和挠曲线平面平面内，或外力所在平面和挠曲线平面平行，即梁发生平面弯曲。平行，即梁发生平面弯曲。15材料力学材料力学(II)电子教案电子
11、教案弯曲问题的进一步研究弯曲问题的进一步研究 如图所示如图所示Z字形截面梁，其字形截面梁，其y、z轴为形心主惯性轴，弯矩轴为形心主惯性轴，弯矩M的矢量与的矢量与y轴的夹角为轴的夹角为j，把，把My=M cosj j，Mz = M sinj j，及及 Iyz = 0代入（代入（1-1）式，得）式，得(3) 梁不具有纵向对称平面，外力也不作用在形心主梁不具有纵向对称平面，外力也不作用在形心主惯性平面内惯性平面内(1-1)16材料力学材料力学(II)电子教案电子教案弯曲问题的进一步研究弯曲问题的进一步研究 上式右端的第一项表示上式右端的第一项表示xz平面内弯曲时的正应力，平面内弯曲时的正应力，第二项
12、表示第二项表示xy平面内弯曲时的正应力。可见外力不平面内弯曲时的正应力。可见外力不作用在形心主惯性平面内时，可将外力向两个形心作用在形心主惯性平面内时，可将外力向两个形心主惯性平面内分解，分别计算两个形心主惯性平面主惯性平面内分解，分别计算两个形心主惯性平面内的弯曲正应力，将二者叠加可得到横截面上任一内的弯曲正应力，将二者叠加可得到横截面上任一点的正应力。点的正应力。中性轴公式成为中性轴公式成为因为因为 所以所以 即中性轴不再垂直于即中性轴不再垂直于M(外力外力)作用平面作用平面(中性轴不沿中性轴不沿M的矢量方向的矢量方向)。外力。外力和挠曲线不在同一平面内，梁产生斜弯曲。和挠曲线不在同一平面
13、内，梁产生斜弯曲。17材料力学材料力学(II)电子教案电子教案弯曲问题的进一步研究弯曲问题的进一步研究(4) 梁具有纵向对称平面，但外力作用面与纵向对梁具有纵向对称平面，但外力作用面与纵向对称平面有一夹角。称平面有一夹角。 这种情况，是情况这种情况，是情况3的特的特例，已在材料力学例，已在材料力学()的的8-2中研究过。中研究过。18材料力学材料力学(II)电子教案电子教案弯曲问题的进一步研究弯曲问题的进一步研究 已知：已知：Iy=28310-8 m4，Iz=1 93010-8 m4，Iyz=53210-8 m4，s s=170 MPa。求求q。例题例题 1-319材料力学材料力学(II)电子
14、教案电子教案弯曲问题的进一步研究弯曲问题的进一步研究1. 用广义弯曲正应力公式计算用广义弯曲正应力公式计算 由于由于q 作用线沿作用线沿y轴，所以轴，所以My=0。由图由图b可见，可见， Mmax=MC=Mz。Mz的矢量方向沿的矢量方向沿z 轴的负方向，所轴的负方向，所以以确定中性轴位置确定中性轴位置(b)例题例题 1-3解解:20材料力学材料力学(II)电子教案电子教案弯曲问题的进一步研究弯曲问题的进一步研究由由 式得式得(b)例题例题 1-321材料力学材料力学(II)电子教案电子教案弯曲问题的进一步研究弯曲问题的进一步研究中性轴中性轴n-n位置如图位置如图c所示。由图所示。由图可见可见，
15、s st,max和和s sc,max分别发生在分别发生在C截面的截面的D点和点和E点。该两点到中点。该两点到中性轴的距离相等，性轴的距离相等，D点的坐标为点的坐标为(c)例题例题 1-322材料力学材料力学(II)电子教案电子教案弯曲问题的进一步研究弯曲问题的进一步研究把有关数值代入上式，把有关数值代入上式，得得 q=23.1kN/m可得可得D点的强度条件为点的强度条件为按按式式例题例题 1-323材料力学材料力学(II)电子教案电子教案弯曲问题的进一步研究弯曲问题的进一步研究 2. . 叠加法叠加法 将将Mz = MC沿形心主轴沿形心主轴y0，z0方向分方向分解解( (图图d) )，分别计算
16、两个平面弯曲时的正应力，然分别计算两个平面弯曲时的正应力，然后进行叠加。确定形心主轴的位置，即后进行叠加。确定形心主轴的位置，即形心主轴形心主轴y0，z0的位置如图的位置如图d所示。所示。zy0yz0D(d)例题例题 1-324材料力学材料力学(II)电子教案电子教案弯曲问题的进一步研究弯曲问题的进一步研究 形心主惯性矩分别为形心主惯性矩分别为沿形心主轴沿形心主轴y0，z0弯矩的分量分别为弯矩的分量分别为2086.910-8m4126.110-8m4例题例题 1-325材料力学材料力学(II)电子教案电子教案弯曲问题的进一步研究弯曲问题的进一步研究D点在点在y0，z0坐标中的坐标坐标中的坐标的
17、绝对值分别为的绝对值分别为zy0yz0D(d)例题例题 1-326材料力学材料力学(II)电子教案电子教案弯曲问题的进一步研究弯曲问题的进一步研究D点的强度条件为点的强度条件为解得解得可见，当形心主轴位置未知时，利用广义弯曲正应可见，当形心主轴位置未知时，利用广义弯曲正应力公式计算较为方便。力公式计算较为方便。例题例题 1-327材料力学材料力学(II)电子教案电子教案弯曲问题的进一步研究弯曲问题的进一步研究1-2 两种材料的组合梁两种材料的组合梁 由由1, 2两种材料组合成一个整两种材料组合成一个整体的矩形截面梁如图体的矩形截面梁如图a所示。设所示。设1, 2两种材料的弹性模量分别为两种材料
18、的弹性模量分别为E1和和E2，且，且E1y，1+y/r1，则，则(h)式成为直梁的正应力公式，式成为直梁的正应力公式，即即 设设C为曲杆横截面的形心到其内边缘的距离，为曲杆横截面的形心到其内边缘的距离，当当RC/C 10时，曲杆的正应力用直梁公式时，曲杆的正应力用直梁公式s s =My/Iz计算，可以得到足够精确的结果。这类曲杆称为计算，可以得到足够精确的结果。这类曲杆称为小小曲率杆曲率杆。当。当RC/C10时，曲杆的正应力必须用公式时，曲杆的正应力必须用公式(1-3)进行计算，这类曲杆称为进行计算，这类曲杆称为大曲率杆大曲率杆。90材料力学材料力学(II)电子教案电子教案弯曲问题的进一步研究
19、弯曲问题的进一步研究 II. 曲杆纯弯曲时的正应力公式，也可以推广到横曲杆纯弯曲时的正应力公式，也可以推广到横力弯曲的情况。当横向力作用在曲杆的纵向对称平力弯曲的情况。当横向力作用在曲杆的纵向对称平面内时，曲杆横截面上的内力一般有弯矩面内时，曲杆横截面上的内力一般有弯矩,轴力和轴力和剪力。和轴力对应的正应力在横截面均匀分布，将剪力。和轴力对应的正应力在横截面均匀分布，将它与弯曲正应力叠加，得到总的正应力。弯曲切应它与弯曲正应力叠加，得到总的正应力。弯曲切应力通常用直梁的切应力公式作近似计算。力通常用直梁的切应力公式作近似计算。91材料力学材料力学(II)电子教案电子教案弯曲问题的进一步研究弯曲
20、问题的进一步研究III. 几种常见截面中性层曲率半径几种常见截面中性层曲率半径r 的计算公式的计算公式(1) 梯形截面梯形截面由由 可知，确定可知，确定r的关键在于计算的关键在于计算 。Oyz92材料力学材料力学(II)电子教案电子教案弯曲问题的进一步研究弯曲问题的进一步研究(2) 矩形截矩形截面面令令(i)式中，式中，b1=b2=b，得，得(i)(j)93材料力学材料力学(II)电子教案电子教案弯曲问题的进一步研究弯曲问题的进一步研究(3) 三角形截面三角形截面 令令(i)式中，式中，b1=0，b2=b，得，得(k)94材料力学材料力学(II)电子教案电子教案弯曲问题的进一步研究弯曲问题的进
21、一步研究yz(4) 圆截面圆截面 95材料力学材料力学(II)电子教案电子教案弯曲问题的进一步研究弯曲问题的进一步研究(1)96材料力学材料力学(II)电子教案电子教案弯曲问题的进一步研究弯曲问题的进一步研究 求图示矩形截面开口圆环求图示矩形截面开口圆环nn截面上的最大正应力。截面上的最大正应力。ynnOz2030609075nn例题例题 1- 697材料力学材料力学(II)电子教案电子教案弯曲问题的进一步研究弯曲问题的进一步研究横截面的形心到中性轴的距离为横截面的形心到中性轴的距离为曲杆的几何尺寸分别为，曲杆的几何尺寸分别为，h =30 mm，b=20 mm，R1=90 mm，R260 mm
22、，RC75mm。 ，该曲杆为大曲率杆。中性层的曲率半径为该曲杆为大曲率杆。中性层的曲率半径为1. 用曲杆公式求用曲杆公式求s st,max和和s sc,max 例题例题 1- 6解解:2030609075nn98材料力学材料力学(II)电子教案电子教案弯曲问题的进一步研究弯曲问题的进一步研究横截面对中性轴横截面对中性轴z的静矩为的静矩为nn截面上的轴力和弯矩分别为截面上的轴力和弯矩分别为 nn截面上的最大拉应力和最大正应力分别截面上的最大拉应力和最大正应力分别发生在其外侧和内侧边缘处，其值分别为发生在其外侧和内侧边缘处，其值分别为例题例题 1- 6nn99材料力学材料力学(II)电子教案电子教案弯曲问题的进一步研究弯曲问题的进一步研究例题例题 1- 6nn100材料力学材料力学(II)电子教案电子教案弯曲问题的进一步研究弯曲问题的进一步研究若用直梁公式计算，最大弯曲正应力为若用直梁公式计算，最大弯曲正应力为其最大误差为其最大误差为2. 按直梁公式求解按直梁公式求解 对于大曲率杆必须用曲杆公式计算正应力。对于大曲率杆必须用曲杆公式计算正应力。例题例题 1- 6101材料力学材料力学(II)电子教案电子教案弯曲问题的进一步研究弯曲问题的进一步研究102
