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1、函数的最大值、最小值函数的最大值、最小值 观察下列两个函数的图象：观察下列两个函数的图象： 图图1ox0xMy思考思考1:1:这两个函数图象有何共同特征？这两个函数图象有何共同特征？思考思考2:2:设函数设函数y=y=f(xf(x) )图象上最高点的纵坐标为图象上最高点的纵坐标为M，则对函数定义域内任意自变量则对函数定义域内任意自变量x x，f(xf(x) )与与M的大小的大小关系如何？关系如何？y yx xox0图图2M函数图象上最高点的纵坐标叫什么名称？函数图象上最高点的纵坐标叫什么名称？一、函数最大值的定义一、函数最大值的定义函数最大值定义函数最大值定义：一般地，设函数：一般地，设函数y
2、=y=f(xf(x) )的定义域为的定义域为I I，如果存在实数，如果存在实数M M满足：满足：（1 1）对任意的）对任意的 ，都有，都有 ；（2 2）存在）存在 ，使得，使得 。那么，我们称那么，我们称M M是函数是函数y=y=f(xf(x) )的最大值。记的最大值。记作作f f( (x x) )maxmax= = M M图图1yox0xm观察下列两个函数的图象：观察下列两个函数的图象： xyox0图图2m思考思考1:1:这两个函数图象各有一个最低点，函数图这两个函数图象各有一个最低点，函数图象上最低点的纵坐标叫什么名称？象上最低点的纵坐标叫什么名称？思考思考2:2:仿照函数最大值的定义，怎
3、样定义函数仿照函数最大值的定义，怎样定义函数 的最小值？的最小值？ 函数最小值的定义：函数最小值的定义：一般地，设函数一般地，设函数y=y=f(xf(x) )的定义域为的定义域为I I，如果存在实数，如果存在实数N N满足：满足：（1 1）对任意是）对任意是 ，都有，都有 ；（2 2）存在）存在 ，使得，使得 。那么，我们就称那么，我们就称N N是函数是函数y=y=f(xf(x) )的最小值。的最小值。 记作记作f f( (x x) )minmin= N N一、函数最小值的定义一、函数最小值的定义二、二、 对函数最值的理解对函数最值的理解1.1.函数最大值首先应该是某一个函数值，即存在函数最大
4、值首先应该是某一个函数值，即存在 使得使得 。并不是满足所有满足。并不是满足所有满足 的的函数都有最大值。如函数函数都有最大值。如函数 , ,虽虽然对定义域上的任意自变量都有然对定义域上的任意自变量都有 ，但不存在，但不存在自变量使得函数值等于自变量使得函数值等于1.1.2.2.函数的最值是函数在定义域上的整体性质，即函数的最值是函数在定义域上的整体性质，即这个函数值是函数在整个定义域上的最大的值或这个函数值是函数在整个定义域上的最大的值或者是最小的值。者是最小的值。例例1.1.已知函数已知函数 ，求这个函，求这个函数的最大值和最小值。数的最大值和最小值。【分析分析】这个函数在区间这个函数在区
5、间2,62,6上，显然解析式的分母是上，显然解析式的分母是正值且随着自变量的增大而增大，因此函数值随着自变量正值且随着自变量的增大而增大，因此函数值随着自变量的增大而减少，也就是说这个函数在区间的增大而减少，也就是说这个函数在区间22，66上是减函上是减函数，因此这个函数在定义的两个端点上取得最值。数，因此这个函数在定义的两个端点上取得最值。【解题过程分析解题过程分析】函数在定义域上是减函数必需进行证明，函数在定义域上是减函数必需进行证明，然后再根据这个单调性确定函数取得最值的点。因此解题然后再根据这个单调性确定函数取得最值的点。因此解题过程分为两个部分，证明函数在过程分为两个部分，证明函数在
6、22，66上是减函数，求这上是减函数，求这个函数的最大值和最小值。个函数的最大值和最小值。例2 画出函数y=2x2-5x+5的图象，并结合图象写出函数在下列区间上的最大值与最小值.(1) -2,1 (2) 3,6 (3) 1,3 解:根据题意画出如下函数图象(1)最大值为f(-2)=23,最小值为f(1)=2;(2)最大值为f(6)=47,最小值为f(3)=8;(3)最大值为f(3)=8,最小值为f(5/4)=15/8.1.1.求函数求函数 在区间在区间-1,3-1,3的最大值和最的最大值和最小值。小值。 【提示提示】证明函数在区间证明函数在区间-1,3-1,3上是增函数。上是增函数。【答案答
7、案】最大值是最大值是9 9，最小值是，最小值是-3.-3.2.2.求函数求函数 在区间在区间-1,3-1,3上的最大值和最小值。上的最大值和最小值。【提示提示】根据二次函数的性质，函数在区间根据二次函数的性质，函数在区间-1,01,0上是减函数，在区间上是减函数，在区间(0,3(0,3上是增函数，最上是增函数，最小值一定在小值一定在x=0x=0时取得，最大值就是区间的两个时取得，最大值就是区间的两个端点的函数值中最大的。端点的函数值中最大的。【答案答案】最大值最大值9 9，最小值，最小值0.0.对基本的函数如一次函数、二次函数、反比例函数等，对基本的函数如一次函数、二次函数、反比例函数等，今后
8、可以不加证明地使用他们的单调性求函数最值今后可以不加证明地使用他们的单调性求函数最值3.3.求函数求函数 在区间在区间0,20,2上的最大值和最上的最大值和最小值。小值。【提示提示】当当k=0k=0时，函数是常数函数；当时，函数是常数函数；当k0k0时函数是时函数是一次函数，再根据一次函数，再根据k0,k0,k0k0时，函数的最小值是时，函数的最小值是2 2，最大值是，最大值是2k+2;2k+2;k0k0时，函数的最小值是时，函数的最小值是2k+2,2k+2,最大值是最大值是2.2.4.4.求函数求函数 在区间在区间0,40,4上的最小值。上的最小值。【提示提示】二次函数的对称轴二次函数的对称
9、轴x=ax=a是函数单调区间的是函数单调区间的分界点。根据二次函数的对称轴和区间分界点。根据二次函数的对称轴和区间0,40,4的关的关系，分系，分a0,0 a4,a4,结合函数的单调性解结合函数的单调性解决。画出不同情况下函数的图象，有利于理清解决。画出不同情况下函数的图象，有利于理清解题的思路。题的思路。【答案答案】1.1.函数的最值是函数的基本性质之一，函数的最函数的最值是函数的基本性质之一，函数的最值是函数在其定义域上的整体性质。值是函数在其定义域上的整体性质。2.2.具有单调性的函数在其取得最值的点的左右附近的具有单调性的函数在其取得最值的点的左右附近的单调性恰好相反，这是函数的单调性和最值的关系。单调性恰好相反，这是函数的单调性和最值的关系。3.3.根据函数的单调性确定函数最值时，如果是一根据函数的单调性确定函数最值时，如果是一般的函数要证明这个函数的单调性，若是基本的般的函数要证明这个函数的单调性，若是基本的函数可以直接使用函数的单调性。函数可以直接使用函数的单调性。4.4.含有字母系数的函数，在求其最值时要注意分含有字母系数的函数，在求其最值时要注意分情况解决，画出函数的图象有利于问题的解决。情况解决，画出函数的图象有利于问题的解决。
